2023-2024学年河北省廊坊市文安一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年河北省廊坊市文安一中高一（下）第一次月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.将向量绕坐标原点逆时针旋转得到，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知的内角，，的对边分别为，，，若，，且为边上的高，为边上的中线，则的值为( )
A. B. C. D.
5.判断下列各命题的真假：向量与平行，则与的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；零向量是没有方向的；向量就是有向线段其中假命题的个数为( )
A. B. C. D.
6.已知，，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知点是的重心，则( )
A. B.
C. D.
8.已知平面向量，的夹角为，且，，在中，，，为中点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最大值为
B. 的图像关于点对称
C. 在上单调递增
D. 直线是图像的一条对称轴
10.设平面向量，( )
A. 若，则 B. 若，则
C. ， D. ，使
11.在平面直角坐标系中，已知点，，，则( )
A.
B. 与的夹角为
C. 在方向上的投影向量的坐标为
D. 与垂直的单位向量的坐标为或
12.设，，是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题中的真命题是( )
A.
B.
C. 不与垂直
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的值域为______．
14.已知，，向量，则的最大值为______．
15.长江流域内某地南北两岸平行，如图所示，已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为设与所成的角为，若游船要从处航行到正北方向上位于北岸的码头处，则 ______．
16.设点，，，若动点满足，且，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量、的夹角为．
求的值
当时，对于任意的，证明，和都垂直．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，．
若，证明：；
若，求周长的最大值．
20.本小题分
已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
求；
若，求的值；
若的面积为，，求的周长．
21.本小题分
已知非零向量，不共线．
如果，，，求证：，，三点共线；
欲使和共线，试确定实数的值．
22.本小题分
已知，，，
求函数图像的对称轴方程；
设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
求出集合，利用交集定义能求出．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，运算求解能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，且，
所以．
故选：．
根据平面向量的数量积计算即可．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了逻辑推理与数学运算素养，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由于，，所以，
由，
当且仅当时取等号，可得的最小值为．
故选：．
根据基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由题意，为边上的高，
则由数量积的几何意义可得：
，
，
又为边上的中线，
则有，又，
所以
．
故选：．
由题设，根据数量积的几何意义，得出及的值，进而根据向量数量积运算求解即可．
本题考查三角形中的几何计算，考查平面向量数量积的几何意义，属中档题．
5.【答案】
【解析】解：对于：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，为假命题，共有个．
故选：．
根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以，
所以，解得，
故，解得正值舍去．
故选：．
首先求出的坐标，再由夹角公式得到关于的方程，求解即可．
本题考查平面向量的夹角公式，考查向量的坐标运算，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：设的中点为，连接，
因为点是的重心，则在上，
故
，
由此可知，，C错误，D正确．
故选：．
利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案．
本题考查三角形重心性质，考查平面向量基本定理，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：平面向量，的夹角为，且，，
，
由为边的中点，
，
，
；
故选：．
由已知中平面向量，的夹角为，且，，，再由为边的中点，，利用平方法可求出，进而得到答案．
本题考查了平面向量数量积，向量的模，一般地求向量的模如果没有坐标，可以通过向量的平方求模．
9.【答案】
【解析】解：，
的最大值为，A正确；
又，
的图像不关于点对称，B错误；
，
在上单调递增，C正确；
又，
直线不是图像的一条对称轴，D错误．
故选：．
化简得，利用正弦函数的性质对各个选项逐一分析可得答案．
本题考查正弦函数的单调性、对称性及最值等性质的应用，考查运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，时，，解得，选项A正确；
对于，时，，，所以，所以，选项B正确；
对于，，选项B正确；
对于，若，则，化简得，等式不成立，即不成立，选项D错误．
故选：．
中，利用时，求出的值；
中，时求出，计算的值即可；
中，计算的值即可；
中，求时的值是否存在即可．
本题考查了平面向量的基本概念与应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，所以，所以，故A错误；
设与的夹角为，所以，因为，所以与的夹角为，故B正确；
设与同向的单位向量为，因为，所以，
所以在方向上的投影向量的坐标为，故C错误；
因为，设与垂直的单位向量为，
则，解得或，
所以与垂直的单位向量的坐标为或，故D正确．
故选：．
求出即可判断选项；设与的夹角为，求出即可判断选项；设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断选项；设与垂直的单位向量为，解即可判断选项．
本题列出平面向量的坐标运算，数量积与夹角，投影向量等，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由于是不共线的向量，因此不一定等于，故A错误；
由于不共线，故构成三角形，因此B正确；
由于，故C中两向量垂直，故C错误；
根据向量数量积的运算可以得出是正确的．
故选：．
利用向量的基本知识进行分析转化是解决本题的关键．根据向量的数乘运算、向量的数量积运算性质，向量减法的几何意义对有关问题进行求解并加以判断．
本题考查平面向量的基本运算性质，数量积的运算性质，考查向量问题的基本解法，等价转化思想．要区分向量运算与数的运算．避免类比数的运算进行错误选择．
13.【答案】，
【解析】解：当时，，
当时，，
，，
综上所述，函数的值域为，．
故答案为：，．
分和两种情况，分别求出的取值范围，最后取并集即可．
本题主要考查了求分段函数的值域，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意知，故，
又，，所以，故，
当且仅当且，即时取等号，
故的最大值为．
故答案为：．
根据向量的数量积的坐标运算可得，结合题意，利用基本不等式即可求解．
本题考查平面向量数量积的坐标运算及基本不等式的应用，属基础题．
15.【答案】
【解析】解：设船的实际速度为，
因为与所成的角为，北岸的点在的正北方向，
所以游船正好到达处，则，
所以．
故答案为：．
由向量表示速度，结合题意可得，结合直角三角形中锐角三角函数的定义即可求出．
本题考查平面向量的概念及向量加法的平行四边形法则，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，则，，
因为，所以，
即，化简得，即为动点的轨迹方程．
因为，，，且，
所以，相加得，所以，
由，得，即，，当且仅当时，等号成立．
所以当时，的最大值为．
故答案为：．
根据题意设，求出动点的轨迹方程，结合计算出，进而利用基本不等式求出的最大值．
本题主要考查动点的轨迹方程求法、向量的坐标运算、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
17.【答案】解：由向量、的夹角为，
可得；
证明：当时，，
则，与实数的值无关，
即当时，对于任意的，和都垂直．
【解析】根据数量积的定义运算求解；
根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
18.【答案】解：因为
，
令，得，
所以的单调递增区间为，；
将函数的图象向右平移个单位，得到，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到，
当，可得，
所以的值域．
【解析】利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，利用正弦函数的单调性即可求解；
将利用三角函数的图象变换可求，进而利用正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的图象变换以及正弦函数的性质，考查了函数思想，属于基础题．
19.【答案】解：证明：因为在中，内角，，的对边分别为，，，，，
所以由余弦定理可得
，
所以，即，
所以
，
又，可得，
所以，得证；
因为，，
由余弦定理可得：，
所以可得，当且仅当时取等号，
解得，
所以三角形的周长最大值为：．
【解析】由已知利用余弦定理可得，利用正弦定理可得，利用平方差公式即可证明；
由余弦定理，基本不等式可求的最大值，即可求解三角形的周长的最大值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，平方差公式以及基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
所以由正弦定理得：，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以；
因为，且，所以，
所以，，
所以，
因为，
所以，
由余弦定理得：，
即，解得，
所以的周长为．
【解析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得，由为三角形内角，，解得，结合范围，即可求得的值．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式即可求解．
由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而根据余弦定理可求的值，即可得解的周长．
本题考查正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，还考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
21.【答案】证明：，，，
，
，且有公共点，
故A，，三点共线；
解：和共线，
存在实数，使得，
且，可得．
【解析】根据已知得到，进而求解结论，
根据向量共线得到，进而求解结论．
本题运用平面向量基本定理考查向量共线，垂直的概念，属于综合性概念考查题．
22.【答案】解：已知，，
则，
由，，可得，，
即函数图像的对称轴方程为，；
由，
则，
又，
即，
即，
又，
由正弦定理可得：，，
即，
又，
则，
即
即的取值范围为．
【解析】由平面向量数量积的运算及三角恒等变换，结合三角函数的性质求解即可；
由正弦定理可得，然后结合三角函数值域的求法求解即可．
本题考查了三角恒等变换，重点考查了正弦定理及三角函数值域的求法，属中档题．
第1页，共1页