2023-2024学年吉林省松原市宁江区油田十二中九年级（下）期初数学试卷（含解析）

2023-2024学年吉林省松原市宁江区油田十二中九年级（下）期初数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在实数，，，，中，无理数的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.下列计算结果为的是( )
A. B. C. D.
3.截至年月日，携带“祝融号”火星车的“天问一号”环绕器在轨运行天，距离地球千米；用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点
5.如图，直线，，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，为的直径，点在函数的图象上，若的面积为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.分解因式： ．
8.不等式的解集是______．
9.函数的自变量的取值范围是______．
10.方程组的解为______．
11.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为______．
12.如图，中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点则图中弧的长为______结果保留．
13.如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为______．
14.如图，抛物线的顶点为，平行于轴的直线与该抛物线交于点，点在点左侧，根据对称性恒为等腰三角形，我们规定：当为直角三角形时，就称为该抛物线的“完美三角形”如图，则抛物线的“完美三角形”斜边的长______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.先化简，再求值：，其中，．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
明明家客厅里装有一种开关如图所示，从左到右依次分别控制着楼梯，客厅，走廊，洗手间四盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯．
若明明任意按下一个开关，则下列说法中，正确的是______填字母．
A.打开的一定是楼梯灯
B.打开的可能是卧室灯
C.打开的可能是客厅灯
D.打开走廊灯的概率是
若任意按下一个开关后，再按下另三个开关中的一个，则客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．
17.本小题分
如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点求证：．
18.本小题分
某校组织“衫衫来了，爱心义卖”活动，购进了黑白两种纯色的文化衫共件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给“幸福村”每种文化衫的成本和售价如表，假设文化衫全部售出，共获利元，求购进两种文化衫各多少件？
白色文化衫 黑色文化衫
成本元
售价元
19.本小题分
如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求画出格点三角形与格点四边形．
在图中以线段为边画一个格点，使．
在图中以线段为边画一个格点四边形，使其面积为，且．
20.本小题分
如图，在平的直角坐标系中，直线与轴轴分别相交于点，，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点．
求双曲线表示的函数解析式；
将正方形沿轴向左平移______个单位长度时，点的对应点恰好落在中的双曲线上．
21.本小题分
年月日晚，当我国运动员迪妮格尔衣拉木江和赵嘉文将最后一棒火炬嵌入主火炬“大雪花”中央时，第届北京冬奥会向世界展示了低碳环保的“点火”仪式．小华有幸在现场目睹这一过程，在“大雪花”竖直升起的某一刻，从小华的位置点观测“大雪花”的顶部的仰角为，底部的俯角为，已知“大雪花”高约，求小华的位置离“大雪花”的水平距离结果精确到，参考数据：，，，
22.本小题分
某校组织学生参加“防疫卫生知识竞赛”满分为分竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各名学生的成绩，并对数据成绩进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息．
甲、乙两班各名学生数学成绩的频数分布统计表如下：
成绩
班级
甲
乙
说明：成绩分及以上为优秀，分为良好，分为合格，分以下为不合格
甲班成绩在这一组的是：
，，，，，，，，，，，，
甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：
班级 平均分 中位数 众数
甲
乙
根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值为______．
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属班级排在前名，由表中数据可知该学生是______班的学生填“甲”或“乙”，理由是______．
假设学校名学生都参加此次竞赛，估计成绩优秀的学生人数．
23.本小题分
甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息解答下列问题：
甲队在开挖后小时内，每小时挖______
当时，求与的之间的函数关系式．
直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差．
24.本小题分
如图，在中，，以点为中心，把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，得到，连接，则与的位置关系为______；
如图，当是锐角三角形，时，将按照中的方式旋转，连接，探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；
如图，在图的基础上，连接，若，的面积为，则的面积为______．
25.本小题分
如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度先沿方向运动到点，再沿方向向终点运动，以、为邻边构造 ，设点运动的时间为秒．
当点落在边上时，求和 的面积；
当点在边上时，设 的面积为，求与之间的函数关系式；
连接，直接写出将 分成的两部分图形面积相等时的值．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点和点．
此二次函数的图象与轴的交点的纵坐标为______．
求此二次函数的关系式．
当时，求二次函数的最大值和最小值．
点为二次函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小．直接写出线段与二次函数的图象只有个公共点时，的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
无理数有，，共有个，
故选：．
根据无理数的定义逐个判断即可．
本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，能理解无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数包括三方面的数：开方开不尽的根式，含的，一些有规律的根式．
2.【答案】
【解析】解：、，此选项不符合题意；
B、，此选项不符合题意；
C、，此选项符合题意；
D、，此选项不符合题意；
故选：．
分别根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则逐一计算可得．
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方的运算法则．
3.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法：把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：，其中，为正整数．】
本题主要考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数的方法进行求解是解决本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：二次函数，
该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴是直线，故选项B错误，不符合题意；
顶点坐标是，故选项C正确，符合题意；
当时，方程无解，即该函数图象与轴无交点，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以逐一判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5.【答案】
【解析】【分析】
先根据两直线平行，同位角相等求出，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求出的度数。
【解答】
解：如图，，
，
故选A。
6.【答案】
【解析】解：如图连接，
是直径，
，
，
，
与轴相切于点，
轴，
，
，
故选：．
连接，求出面积即可解决问题．
本题考查反比例函数、切线的性质等知识，解题的关键是理解，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了用提取公因式法和平方差公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】
解：，
，
．
故答案为：．
8.【答案】
【解析】解：移项，得：，
即，
系数化为，得：．
不等式组的解集为：．
故答案为：．
根据解不等式的一般步骤：移项，合并同类项，系数化为，得出即可．
此题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
得，，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
所以方程组的解是．
故答案为：．
把第一个方程乘以，然后利用加减消元法求解即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
11.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，
得到的抛物线的函数表达式为：，即．
故答案为：．
根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：中，，
，
，
，
弧的长为：；
故答案为：．
先根据等腰直角三角形的性质可得，根据弧长公式计算即可．
本题考查弧长公式，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化平移，得出点纵坐标为是解题的关键．先求出直线与轴交点的坐标为，再由在线段的垂直平分线上，得出点纵坐标为，将代入，求得，即可得到的坐标．
【解答】
解：直线与轴交于点，
时，得，
．
以为边在轴右侧作等边三角形，
在线段的垂直平分线上，
点纵坐标为．
将代入，得，
解得．
的坐标是．
14.【答案】
【解析】解：过点作轴于，如图所示：
由题意得为等腰直角三角形，
，
轴，
，
是等腰直角三角形，
设点坐标为，
点在抛物线上，
，
或不合题意，舍去，
点坐标为，
点坐标为，
．
故答案为：．
过点作轴于，可推出和为等腰直角三角形，设点坐标为，根据点在抛物线上，可求得点和点的坐标，从而得出的长．
本题考查了二次函数的性质、等腰直角三角形的性质，正确理解“完美三角形”的概念并数形结合是解题的关键．
15.【答案】解：
，
当， 时，
原式--
．
【解析】根据整式的混合运算顺序进行计算，然后代入值计算即可．
本题考查了整式的混合运算化简求值，解决本题的关键是先进行整式的混合运算，再代入值．
16.【答案】
【解析】解：明明家客厅里装有一种开关如图所示，从左到右依次分别控制着楼梯，客厅，走廊，洗手间四盏电灯，
明明任意按下一个开关，打开的不一定是楼梯灯，打开的不可能是卧室灯，打开的可能是客厅灯，打开走廊灯的概率是，
故选项A、、不符合题意，选项C符合题意，
故选：；
画树状图得：
共有个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有个，
客厅灯和走廊灯亮的概率为．
分别对个选项进行判断即可；
画树状图，共有个等可能的结果，客厅灯和走廊灯亮的结果有个，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．熟记求随机事件的概率公式是解题的关键．
17.【答案】证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
在与中
，
≌，
．
【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
本题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
18.【答案】解：设购进白色文化衫件，黑色文化衫件，
根据题意得：，
解得：．
答：购进白色文化衫件，黑色文化衫件．
【解析】设购进白色文化衫件，黑色文化衫件，利用总利润每件的销售利润销售数量购进数量，结合购进的件两种文化衫全部售出后获得的利润为元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19.【答案】解：如图，即为所求作．
如图，四边形即为所求作．

【解析】作等腰直角三角形即可．
利用数形结合的思想解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】
【解析】解：过点作轴于点．
直线与轴，轴相交于点，
当时，，即．
当时，，即．
四边形是正方形，
，．
．
，
≌
，，
，．
点 的坐标为
把代入 中，得．
；
过点作轴，
≌，
同理可得出：≌，
点纵坐标为：，
代入，
，
应该将正方形沿轴向左平移个单位长度时，点的对应点恰好落在中的双曲线上．
故答案为：．
根据已知得出，的长度，进而得出≌，求出点坐标，进而得出解析式；
利用≌，同理可得出：≌，即可得出点纵坐标，如果点在图象上，利用纵坐标求出横坐标即可．
此题主要考查了反比例函数的综合应用，根据图象上点的坐标性质以及全等三角形的判定与性质得出是解题关键．
21.【答案】解：设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
答：小华的位置离“大雪花”的水平距离约为．
【解析】设，在两个直角三角形中分别用含的代数式表示出和的长度，再列出方程可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，分别用解直角三角形的知识求出、的长度，难度一般．
22.【答案】 甲 这名学生的成绩为分，大于甲班样本数据的中位数分，小于乙班样本数据的中位数分
【解析】解：这组数据的中位数是第、个数据的平均数，
所以中位数；
故答案为：；
这名学生的成绩为分，大于甲班样本数据的中位数分，小于乙班样本数据的中位数分，
所以该学生在甲班排在前名，在乙班排在后名，而这名学生在所属班级排在前名，说明这名学生是甲班的学生．
故答案为：甲；这名学生的成绩为分，大于甲班样本数据的中位数分，小于乙班样本数据的中位数分；
估计成绩优秀的学生人数为人．
根据中位数的定义求解可得；
根据这名学生的成绩为分，大于甲班样本数据的中位数分，小于乙班样本数据的中位数分可得；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23.【答案】
【解析】解：根据图象可知，甲队在开挖后小时内，每小时挖米，
故答案为：；
设乙队在的时段内与之间的函数关系式为，
由图可知，函数图象过点、，
，
解得，
当时，与的之间的函数关系式为；
当时，设与的函数解析式为，
可得，
解得，
即；
设甲队在的时段内与之间的函数关系式，
由图可知，函数图象过点，
，
解得，
；
当时，，
解得；
当时，，
解得或．
答：当两队所挖的河渠长度之差为时，的值为或或．
结合图象，用甲小时挖的长度时间，即可得出结论；
根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
先用待定系数法求出与的之间的函数关系式以及当时与的函数解析式，然后根据他们所挖河渠长度差为米，列出方程，解方程即可．
此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
24.【答案】平行 ；
证明：如图，过作，交于，则，
由旋转的性质知，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
．
【解析】解：平行，
把逆时针旋转，得到；再以点为中心，把顺时针旋转，得到，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
故答案为：平行；
见答案；
由知，
设与之间的距离为，
，
，
，，
，
的面积为，
的面积为，
故答案为：．
根据旋转的性质得到，，根据平行线的判定得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
过作于，于是得到，由旋转的性质得到，，等量代换得到，根据等腰三角形的判定得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；
设与之间的距离为，由已知条件得到，根据三角形的面积公式得到，于是得到结论．
本题考查了几何变换，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，过作是解题的关键．
25.【答案】解：当点落在边上时，，
，
，
，
，
为的中位线，
，
；
如图，当时，作于，
则，，
；
如图，当时，作于，
则，，
同法可得；
综上：；
当点落在直线上时，将 分成的两部分面积相等，有两种情况：
当点在上，且点在上时，如图，
过点作于，过点作于，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
解得，
当点在上时，此时点在上符合题意，作于，
，
，
，
，
，，
，
解得，
综上：或．
【解析】根据平行线分线段成比例定理知点为的中点，可知为的中位线，从而得出答案；
当时，作于，则，，当时，作于，则，，从而得出答案；
当点在上，且点在上时，利用证明≌，得，根据，得，当点在上时，此时点在上符合题意，作于，可得，则，，得，解方程即可得出答案．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角函数等知识，熟练掌握等角的三函数值相等是解题的关键，同时注意分类思想的运用．
26.【答案】
【解析】解：在中，令得，
二次函数的图象与轴的交点的纵坐标为，
故答案为：；
将和代入得：
，解得，
二次函数的关系式为；
，
抛物线顶点为：，对称轴为直线，
，且，
当时，二次函数在时取得最大值，最大值是，
而，
时，二次函数在时取得最小值，最小值是，
当时，二次函数最大值是，最小值是，
，
当时，，的长度随的增大而减小，
当时，，的长度随增大而增大，
满足题意，解得，
到对称轴直线的距离为，当时，线段与二次函数的图象只有个公共点，如图：
，
解得，
，
如图：
时，，
在中，令得，
解得或，
当时，线段与二次函数的图象只有个公共点．
综上所述，线段与二次函数的图象只有个公共点，的范围是或．
令得，即可得答案；
用待定系数法即可得答案；
求出抛物线顶点为：，对称轴为直线，由，计算顶点坐标及时的函数值，即可得答案；
，由的长度随的增大而减小，得，到对称轴直线的距离为，当时，线段与二次函数的图象只有个公共点，故，即得，时，，在中，令得或，故当时，线段与二次函数的图象只有个公共点．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、线段与抛物线的交点等知识，解题的关键是根据题意，列出不等式，数形结合解决问题．
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