2023-2024学年甘肃省武威二十六中九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年甘肃省武威二十六中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
3.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. 且 C. D.
4.等腰三角形的底和腰是方程的两个根，则这个三角形的周长为( )
A. B. C. 或 D. 不能确定
5.设，是方程的两个实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
6.对于抛物线，下列说法错误的是( )
A. 开口向上 B. 对称轴是直线
C. 时，随的增大而减小 D. ，函数有最小值
7.二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为( )
A. 向下、直线、 B. 向下、直线、
C. 向下、直线、 D. 向上、直线、
8.如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得，若点在上，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在中，，，，则的长度为( )
A.
B.
C.
D.
10.七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.关于的一元二次方程的一个根是，则 ______．
12.已知实数，满足，，则 ______．
13.以原点为中心，把点逆时针旋转，得到点，点的坐标为______．
14.将抛物线向右平移一个单位，所得函数解析式为______．
15.在一个不透明口袋中装有个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别搅匀后从口袋中随机摸出个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为______．
16.如图，在中，于点，的长为，则弦的长为______．
17.如图，，是的切线，，是切点，若，则 ______．
18.某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点，为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为，则两个水柱的最高点，之间的距离为______
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．
21.本小题分
等边在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针方向旋转得．
求出点的坐标；
当与的纵坐标相同时，求出的值；
在的条件下直接写出点的坐标．
22.本小题分
如图，已知抛物线经过点。
求的值，并求出此抛物线的顶点坐标；
当时，直接写出的取值范围。
23.本小题分
如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．
求证：；
求的度数．
24.本小题分
如图，在菱形中，为菱形的一条对角线，以为直径作，交于点，交于点，为边上一点，且．
求证：为的切线；
若，，求的半径．
25.本小题分
如图，点为斜边上的一点，，以为半径的与交于点，与交于点，连接且平分．
求证：是的切线；
若，，求阴影部分的面积结果保留
26.本小题分
一个不透明的布袋里装有个白球，个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出个球，是白球的概率．
布袋里红球有多少个？
先从布袋中摸出个球后不放回，再摸出个球，请用列表或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．
27.本小题分
如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若点是抛物线上的一点，当的面积为时，求点的坐标；
点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：．
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
2.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
故选：．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3.【答案】
【解析】【解答】
解：当时，方程化为，解得；
当时，，解得，
综上所述，的取值范围为．
故选C．
【分析】
本题主要考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．讨论：当时，方程化为，方程有一个实数根；当时，方程有实数根，则，然后求出两种情况下的取值范围．
4.【答案】
【解析】解：，
，
解得：，，
若为底，为腰，三角形三边为，，，周长为；
若为腰，为底，三角形三边为，，，周长为．
故选：．
利用因式分解法求出方程的解得到的值，确定出底与腰，即可求出周长．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解法是解本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：是方程的实数根，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故选：．
先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了一元二次方程的根．
6.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，故A选项正确，不符合题意；
抛物线，
对称轴是直线，故B选项正确，不符合题意；
C、时，随的增大而增大，故C选项错误，符合题意；
D、，函数有最小值，故D选项正确，不符合题意；
故选：．
根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，抛物线的开口向下，对称轴为直线、顶点坐标为，
故选：．
根据顶点式的顶点坐标为，，开口象限，即可求解．
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接，
将绕点逆时针旋转得，
，，，
根据勾股定理得：
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
故选：．
连接，由旋转的性质得出、的长度，利用勾股定理即可得出答案．
本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
根据题意和图形，可以求得和的度数，从而可以得到的长，然后根据弧长公式即可求得的长度．
本题考查弧长的计算、等边三角形的判定与性质、圆周角、圆心角，解答本题的关键是求出的长和的度数．
【解答】
解：连接、、，如图所示，
，，
，，
，，
是等边三角形，
，
的长度为：，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目分别用、、、表示，
画树状图如下：
共有种等可能的情况数，其中她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的有种，
则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
11.【答案】
【解析】解：把代入关于的一元二次方程得：
，
，
，
故答案为：．
先把代入关于的一元二次方程得关于的一元一次方程，解方程求出即可．
本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值．
12.【答案】或
【解析】解：实数，满足，，
可将，看作一元二次方程的两个实数根，
当时，则，
当时，，，
则，
故答案为：或．
由实数，满足，，可将，看作一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系可得出，，将其代入中，即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，
，
，，
把点逆时针旋转得到点，
，且，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
故答案为：．
分别过、作轴的垂线，垂足分别为、，可证明≌，可求得和的长，则可求得点坐标．
本题主要考查旋转的性质，构造三角形全等求得线段的长度是解题的关键，注意旋转前后对应线段相等．
14.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把点向右平移一个单位得到对应点的坐标为，所以平移后的函数解析式为．
故答案为．
先确定抛物线的顶点坐标为，于是可抛物线平移的问题转化为点平移的问题解决．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15.【答案】
【解析】解：根据题意，袋中球的总个数约为个，
所以袋中白球的个数，
故答案为：．
先用红球的个数除以红球的频率求出袋中球的总个数，继而可得的值．
本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
16.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接根据垂径定理得．
本题考查了垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
17.【答案】
【解析】解：，是的切线，，是切点，
，，
，
，
．
故答案为：．
先根据切线的性质得到，然后根据四边形的内角和计算的度数．
本题考查了切线的性质，正确记忆圆的切线垂直于经过切点的半径是解题关键．
18.【答案】
【解析】解：由二次函数的图象可知，
当时，，
故点的坐标为；
从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
点的坐标为，
之间的距离为．
故答案为：．
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点、的坐标，进而可得出之间的距离．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点、的坐标．
19.【答案】解：．
，
，
，
，
，；
，
，
或，
，．
【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的简便的方法是解题的关键．
20.【答案】解：由题意知：，
且，
解得，
的取值范围为且．
【解析】根据根的判别式列不等式，即可得到结论．
本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确地求出的取值范围是解题的关键．
21.【答案】解：如图所示过点作，垂足为．
为等边三角形，
，．
，，
．
在中，，
．
点的坐标为
如图所示：
点与点的纵坐标相同，
．
如图所示：当时，点与点纵坐标相同．
如图所示：
当时，点与点纵坐标相同．
当或时，点与点纵坐标相同．
如图所示：由旋转的性质可知，点的坐标为，
点的坐标为
如图所示：由旋转的性质可知：点的坐标为
点的坐标为或
【解析】如图所示过点作，垂足为由等边三角形的性质和特殊锐角三角函数值可知，，从而可求得点的坐标；
如图所示，根据平行线的性质和旋转的定义可确定出的值；
利用旋转的性质可知，从而可求得点的值．
本题主要考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．
22.【答案】解：把代入得：
，
解得，
，
抛物线的顶点坐标为；
，
抛物线开口向下，有最大值，
当时，，当时，，
当时，的取值范围是．
【解析】把点代入得到关于的方程，再解方程可确定抛物线解析式，在化为顶点式求顶点坐标；
分别确定自变量为和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解。
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题。
23.【答案】证明：是由绕点按顺时针方向旋转得到的，
，，，
，即，
，
，
可由绕点按顺时针方向旋转得到，
；
解：可由绕点按顺时针方向旋转得到，
≌，
，
设与相交于，
，
．
【解析】由旋转的性质可得出结论；
由全等三角形的性质得出，根据三角形内角和定理可得出答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
24.【答案】证明：如图：连接，
是的直径，
，
四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
又是的半径，
为的切线；
解：如图：连接，
是的直径，
，即，
四边形是菱形，
，
，
设的半径为，则，则，
，
，
解得，
故的半径为．
【解析】连接，首先根据全等三角形的判定定理及圆周角定理，即可证得≌，，再根据平行线的性质及切线的判定定理，即可证得结论；
连接，首先根据圆周角定理及等腰三角形的性质，即可证得，设的半径为，则，则，再根据，列出方程，据此即可求解．
本题考查了菱形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定定理，等腰三角形的性质，勾股定理，作出辅助线是解决本题的关键．
25.【答案】解：证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
与相切；
连接，，
，，
为等边三角形，
，
，
又，
，
，
四边形是菱形，
，
阴影部分的面积扇形的面积
【解析】连接，推出，根据切线的判定推出即可；
连接、，求出阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可．
本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质和判定，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
26.【答案】解：设红球的个数为，由题意可得：，
解得：，经检验是方程的根，
即红球的个数为个；
画树状图如下：
摸得两白．
【解析】设红球的个数为，根据白球的概率可得关于的方程，解方程即可；
画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
27.【答案】解：将、代入得，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
设点的坐标为，
、，
，
，
即，
或无解舍去，
解得：，，
点的坐标为或；
在抛物线上存在一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
抛物线的对称轴为：，
假设存在，设，，
，
分两种情况讨论：
当为四边形的对角线时，，，
，
即，
此时点的坐标为；
当为边时，，，
，即，
解得：或，
此时点的坐标为或．
综上所述，存在满足条件的点的坐标为或或．
【解析】利用待定系数法求解析式即可；
设点的坐标为，利用的面积为，列出等式求解即可；
分情况讨论，当为四边形的对角线时或当为边时，分别求解即可．
本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
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