第1讲：平方根和算术平方根
新知导入
1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。如π=3.1415926…，，
－1.010010001…，都是无理数。
注意：
①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；
②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；
③凡是整数开方开不尽的都是无理数，如、等。
2、平方根：
如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根，即当时，我们称x是a的平方根，记做：，读作“根号a”。因此：
①当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
②当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：；
③当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
3、算术平方根：
我们规定若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根。记为“”，读作“根号a”。特别地，我们规定0的算术平方根是0，即=0。
算术平方根的性质：具有双重非负性，即：。
一个正数有 个算术平方根，是 ；0有 个算术平方根，是 ；负数 。
常用数的平方
，，，，，，，，
5、区分、、
①表示非负数的算术平方根，其结果也是非负数；②若，则=；③而总有意义，且当时，=；当时，=，即
6、算术平方根与平方根的关系：
算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：。
注意：选择平方根的情况：①概念题；②式子本身含有；③解一元二次方程.
典例分析及变式练习
专题一、平方根
【例1】（1）因为（ ）2＝36，所以36的平方根是 ；
（2）因为( )2＝，所以的平方根是 ；
（3）因为( )2＝0.81，所以0.81的平方根是 ；
（4）因为( )2＝289，所以289的平方根是 .
（5）因为（ ）2＝144， 所以144的平方根是 ；
（6）因为（ ）2＝3.61，所以3.61的平方根是 ；
（7）的平方根是 ，算术平方根是 ；
（8）的平方根是 ，算术平方根是 ；
（9）（-2．345）2的平方根是 ，算术平方根是 ；
（10）平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；
（11）若的平方根是±2，则x= ；
（12）在下列各数中0，， ，，，，有平方根的个数是 个．
变式练习：
填空题：
（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；
（2） 的平方根是它本身。
（3）若的平方根是±2，则x= ；的平方根是
（4）当x 时，有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
【例2】（1）当时，有意义；
（2）当时，有意义.
变式练习：（1）当时，有意义；
（2）当时，式子有意义；
【例3】求下列各数的平方根.
（1）361 （2）0.04 （3） （4）
变式练习：求下列各数的平方根.
（1）256 （2）1.44 （3） （4）0.0225
【例4】选择题
1、的平方根为（ ）
A．没有平方根 B． C．0 D．1
2、的平方根为（ ）
A． B．没有平方根 C．0或没有平方根 D．0
3、一个自然数的一个平方根是，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
4、下列说法中正确的是（ ）．
A．若，则 B．是实数，且，则
C．有意义时， D．0.1的平方根是
5、一个数扩大为原来的m倍，那么它的算术平方根（ ）．
A．扩大到m倍 B．扩大到m2倍 C．扩大到倍 D．不变
6、下列各式正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、若a≥0，则的算术平方根是（ ）
A、2a B、±2a C、 D、| 2a |
变式练习：选择题
1、若，则（ ）
A、x>0 B、x≥0 C、a>0 D、a≥0
2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ）
A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定
3、下列结果错误的有（ ）
① ； ② 的算术平方根是4；
③ 的算术平方根是； ④ 的平方根是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、下列语句写成式子正确的是（ ）
A．7是49的算术平方根，即；
B．7是的算术平方根，即；
C．是49的平方根，即；
D．是7的算术平方根，即
5、设为有理数，下列说法正确的是（ ）
A.如果存在平方根，则 B.如果有两个平方根，则
C.如果没有平方根，则 D.如果，则的平方根也大于0
专题二、算术平方根
【例1】直接得出答案：
=_______；=________；________；=_______
_________；_________；=___________
＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝
＝ ， ＝ ，＝ ， ＝
＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ .
【例2】81的算术平方根是 ；的算术平方根是 ，
9的算术平方根是 ；的算术平方根是 ，
16的算术平方根是 ；的算术平方根是 ；
4的算术平方根是 ；的算术平方根是 .
【例3】若，求xy的值。
变式练习：
1、若，求的值。
2、已知，求的平方根。
【例4-1】求下列各数的平方根：，，，。
【例4-2】已知，
① 求和的值；
② 若=0．4858，求的值；
变式练习：
求下列各数的平方根
（1）； （2）； （3）；
； （5）
2、已知，则= ，= ，= 。
【例5】解方程：
变式练习：求下列各式中的值：
（1） （2） （3） -100
中考链接
（2014·黄冈）函数中，自变量的取值范围是（ ）
B. C.且 D.且
（2014·昆明）下列计算正确的是（ ）
B. C. D.
（2014·北京）已知，求代数式的值.
培优提高
对正有理数、定义运算“★”，a★b=，试求4★（4★4）的值.
设a、b、c是非零有理数，求的最小值.
3、已知a、b是有理数且，求a、b的值.
4、如果x、y分别是4－的整数部分和小数部分。求x － y的值.
课后练习
一、选择题
1、若，则（ ）
A、x>0 B、x≥0 C、a>0 D、a≥0
2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ）
A、大于0 B、等于0 C、小于0 D、不能确定
3、一个正方形的边长为a，面积为b，则（ ）
A、a是b的平方根 B、a是b的的算术平方根 C、 D、
4、若a<0，则等于（ ）
A、 B、 C、± D、0
5、下列说法：①一个数的平方根一定有两个；②一个正数的平方根一定是它的算术平方根；③负数没有立方根．其中正确的个数有（）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
6、若ｘ使（ｘ－1）2＝4成立，则ｘ的值是（ ）
A、3 B、－1 C、3或－1 D、±2
二、填空题
1、的平方根是 ，是 的平方根．
2、在下列各数中0，， ，，，，有平方根的个数是 个．
3、 144的算术平方根是 ，的平方根是 ；
4、代数式的最大值为 ，这是的关系是 ．
5、若，，其中、为整数，则 ．
三、解答题
1、解方程：
（1） （2）
（3） （4）
第2讲：立方根
新知导入
1、立方根：如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a，即,那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根。
2、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
3、常见立方数：； ； ； ； ；； ； ； ；
4、常用公式：，
5、n次方根的定义：如果一个数x的n次方等于a，即，则这个数x叫做a的n次方根。
6、n次方根的性质：
（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；
（2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负；
（3）0的任何次方根为0。
典例分析及变式练习
【例1】求下列各式的值：
（1）； （2） ； （3）； （4）
变式练习：
1、填空题
的平方根是 ； -512的立方根是 ；
的平方根是 ； -27的立方根是 ；
64的平方根是 ； 343的立方根是 。
= ； = ； = ；
2、下列各式中，不正确的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
3、下列各式中值为正数的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】 当，下列关系式成立的是（ ）
Ａ．， Ｂ．，
Ｃ．， Ｄ．，
变式练习：
1、下列说法中，正确的是（ ）
Ａ．的立方根是，记作 Ｂ．的算术平方根是
Ｃ．的三次立方根是 Ｄ．正数的算术平方根是
2、下列命题中正确的是（ ）
（1）0.027的立方根是0.3； （2）不可能是负数；
（3）如果a是b的立方根，那么ab0;
(4)一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1.
A.（1）（3） B.（2）（4） C.（1）（4） D.（3）(4)
3、若x＜0，则等于（ ）
A.x B.2x C.0 D.－2x
【例3】（1）若,则a= ；若，则x= ；
（2）若，则（x+17）的立方根是 ；
（3）若，，求x。
变式练习：
1、若，则的值为 ．
2、的立方根是 ；若，则= ；若，
则= 。
若，则 ，若，则 ．
【例4】已知互为相反数，求m+n的值。
变式练习：
1、已知，求x的值。
2、已知，则24+x的平方根是多少？
3、已知，互为相反数，求代数式的值．
【例5】解方程
(1)125x3=27 (2) (－2+x)3=－343
变式练习：
（1） (2)27(x-1)3+125=0
【例6】已知是M的立方根，是的相反数，且，请你求出的平方根．
变式练习：已知数a满足，求的值。
【例7】已知一个正方体的体积是1000，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，截去后余下的体积是488，问截去的每个小正方体的棱长是多少？
变式练习：已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸
盒的体积大127 ，求第二个纸盒的棱长？
中考链接
（2014·福州·13）计算：= .
（2014·福州·16）
（2014·哈尔滨）= .
（2014·黄冈）= .
四、培优提高
1、已知三个有理数a、b、c的积是负数，它们的和是正数，当时，求代数式的值.
如果a、b是有理数，而且，求a、b的值.
设，，且，求的值.
课后练习
一、选择题
1、下列计算不正确的是（ ）
=±2 B．=9 C．=0.4 D．=-6
2、下列说法中不正确的是（ ）
A．9的算术平方根是3 B．的平方根是±2
C．27的立方根是±3 D．立方根等于-1的实数是-1
3、的平方根是（ ）
A．±8 B．±4 C．±2 D．±
在下列说法中，正确的是（ ）
一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B.一个数有立方根，则一定有平方根
C.一个数的立方根的符号和被开方数的符号相同 D.负数没有立方根
二、填空题
5、的平方根是_______；9的立方根是_______．
6、如果，那么的值是 .
解答题
7、计算题：
（1）- （2） （3） （4）±
（5）（2x-1）2-169=0 （6）4（3x+1）2-1=0
（7）x3-2=0； （8）（x+3）3=4．
8、将半径为12cm的铁球熔化，重新铸造出8个半径相同的小铁球，不计损耗，小铁球的半径是多少厘米？（球的体积公式为V=R3）
第3讲 二次根式
新知导入
二次根式的概念：形如（≥0）的式子叫做二次根式，叫做被开方数（式）。
2、最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
3、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的因式。
4、二次根式的性质：
（1）（）2= （a ≥0）；
（2）
（3）积的性质：=（≥0,b≥0）；
（4）商的性质：
5、分母有理化：又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将分母中的根号化去。
分母是一个单项式
（）
（2）分母是一个多项式
典例分析及变式练习
【例1-1】下列各式中，哪些是二次根式？
（1） （2） （3） （4) （5）
（6） （7） （8） （9）
【例1-2】若是二次根式，则x的取值范围是_________；若是二次根式，则x的取值范围是__________。
变式练习：
1、下列各式：①；②；③；④其中，属于二次根式的有_________
2、下列式子一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3、有意义，则a= ；是二次根式，则x 。
4.若是二次根式，则a，b应满足的条件是（ ）
A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b>0 D．
【例2】下列根式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
，，，，，，，，，（其中，）。
【例3】将下列各式化简为最简二次根式。
（2） （3） （4）
变式练习：
1.将下列各式化简为最简二次根式。
（2） （3） （4）
2.将下面各式化简为最简二次根式。
（2） （3）
（5）
（7）
3.化简=_________。
【例4-1】下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
B. C. D.
【例4-2】如果最简二次根式与是同类二次根式，则=__________。
变式练习：
1、下列二次根式：①；②；③；④；⑤，其中，属于同类二次根式的是____________（填写正确答案的序号）。
2、若最简二次根式 与是同类二次根式，则= ；= 。
3、下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【例5】将下列各式化简。
； （2）； （3）
(4) (5)
变式练习：
1、化简：（1); (2); (3)
（4） (5)
【例6】找出下列各式的有理化因式
变式练习：找出下列各式的有理化因式
【例7】把下列各式分母有理化
变式练习：1.把下列各式分母有理化：
（1）
（3） （4）
2.把下列各式分母有理化
中考链接
（2014·安徽）函数中，自变量的取值范围是 .
（2014·襄阳）已知求的值.
（2014·烟台）将一组数按下面的方法进行排列：
；
；
若的位置记为（1，4），的位置记为（2，3），则这组数中最大的有理数的位置为（ ）
A.（5，2） B.（5，3） C.（6，2） D. （6，5）
培优提高
设等式在实数范围内成立，其中是两两不同的实数，求的值.
已知都是有理数，且满足方程，求的值.
设为两两不相等的有理数，求证：为有理数.
若，求的值.
已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且满足，求的值.
课后练习
选择题
下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
B. C. D.
在下列运算中，正确的是（ ）
B.
C.
D.
在下列各组二次根式中，同类二次根式的是（ ）
B. C. D.
已知，则代数式的值等于（ ）
-3 B. C. D.4
填空题
化简：
； （2） ； （3） ；
； （5） ； （6） .
等式成立的条件是 ；
已知等腰三角形的两条边长分别为，那么这两个三角形的周长等于 .
解答题
当时，求代数式的值.
第4讲：数的混合运算
新知导入
1、二次根式的运算：
乘法：（两个二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘）
除法：
平方差公式：-）（+=a-b(a≥0，b≥0)
完全平方公式：
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式（合并同类二次根式与合并同类项类似，将同类二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变，没有同类二次根式的也要写在结果中）。
（6）二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。运算结果是根式的应表示为最简二次根式。
2、常见公式（自行区分各字母的取值范围）
，，，
，，，
典例分析及变式练习
【例1】在实数，，，，，中，无理数共有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
变式练习：以下各数：－1,,3.14,－π,3.,0,2,,,－0.2020020002(相邻两个2之间0的个数逐次加1)，，……,其中，是有理数的是_____________，是无理数的是_______________.在上面的有理数中，分数有__________，整数有____________.
【例2】下列说法中正确的是（ ）
A．不循环小数是无理数 B．分数不是有理数
C．有理数都是有限小数 D．3.1415926是有理数
变式练习：
1、判断下列语句是否正确，并说明理由
无限小数是无理数
无理数都是无限小数
3）正实数包括正有理数和正无理数；
4）实数可以分为正实数和负实数两类；
5）无理数包括正无理数、零、负无理数.
6）有理数都是有限小数。
2、下列六种说法正确的个数是 ( )
(A) 1 ( B) 2 (C) 3 (D) 4
①无限小数都是无理 ②正数、负数统称有理数 ③无理数的相反数还是无理数 ④无理数与无理数的和一定还是无理数 ⑤无理数与有理数的和一定是无理数 ⑥ 无理数与有理数的积一定仍是无理数
已知a、b是有理数且，求a、b的值
【例3】计算：（1）； （2）；
（3） （4）； （5）
变式练习：计算题
（1） （2） （3）
【例4】计算：（1）； （2）；
（3） （4）
变式练习：
1、计算：
（1） （2）（＋－1）（－＋1）
（3）
（4）
2、计算：（1）； （2）
；（4）；（5）
3、已知，求的值。
【例5】已知，求代数式的值；2）求当时，代数式的值。
变式练习：
1、已知
已知，，求下列各式的值：（1）（2）
中考链接
（2014·凉山州·13）函数中，自变量的取值范围是 .
（2014·凉山州·15）已知，则= .
（2014·连云港）计算：.
（2014·珠海）计算：.
（2014·梅州）计算：.
培优提高
【例1】计算：
变式练习：
【例2】计算：
【例3】已知，，计算的值。
【例4】计算：，其中，。
【例5】已知，求的值。
课后练习
选择题
下列说法中，正确的是（ ）
正实数、负实数统称实数 B.无理数的倒数可能是有理数
C.平方根等于本身的数有0，1 D.数轴上任意两点之间还有无数个点
2、下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
3、若，且，则的值为（ ）
A.-2 B.5 C.5 D.-5
4、在算式的中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A.加号 B.减号 C.乘号 D.除号
二、填空题
5、已知，则的值为 .
6、计算：= .
7、若，则= .
三、解答题
8、计算题
（1） （2）
（3） （4）
（6）
已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根.
已知，求下列各式的值：
（1）； （2）
