甘肃省白银市靖远县第四中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题（含解析）

靖远县第四中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学
时间：120分钟；分值：150分
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．设为可导函数，且满足，则为（ ）
A．1 B．
C．2 D．
4．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A．函数在处取得最小值 B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零
5．已知函数，则该函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
7．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图是函数的大致图象，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
10．已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．
C．方程有实数解 D．存在实数，使得方程有4个实数解
三、填空题
12．在长方体中，设，则=
13．已知函数满足：①既有极大值，也有极小值；②，都有．请写出一个满足上述两个条件的函数 ．
14．已知函数为偶函数，则不等式的解集为 .
四、解答题
15．设函数在处取得极值-1.
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
16．如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．

(1)试用，，表示．
(2)求证：平面．
17．图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，．
（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；
（2）求当取何值时，凹槽的强度最大．
18．已知函数（）．
(1)当时，过点作的切线，求该切线的方程；
(2)若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围．
19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
靖远县第四中学2023-2024学年高二下学期4月月考
数学答案
时间：120分钟；分值：150分
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空间直角坐标系的对称性可解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即．
故选：C.
2．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据基本初等函数的求导公式和导数的运算法则判断即可.
【详解】根据基本初等函数的求导公式和导数的运算法则，
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误.
，故D正确.
故选：D.
3．设为可导函数，且满足，则为（ ）
A．1 B．
C．2 D．
【答案】B
【分析】利用导数的定义进行求解.
【详解】因为，
所以，
即
所以.
故选：B.
4．函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A．函数在处取得最小值 B．是函数的极值点
C．在区间上单调递增 D．在处切线的斜率大于零
【答案】B
【分析】根据极值和最值的关系即可判断A；根据极值点的定义即可判断B；由导数的正负和函数的增减关系即可判断C；由导数的几何意义即可判断D．
【详解】对于A，因为时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
所以在处取得最小值，故A正确；
对于B，时，，当时，，
所以不是函数的极值点，故B错误；
对于C，当时，，在区间上单调，故C正确；
对于D，因为，在处切线的斜率大于零，故D正确．
故选：B．
5．已知函数，则该函数的图象在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函数的导数，再赋值法求出，然后得到的函数解析式可得切点，后将数据代入点斜式方程可得答案.
【详解】因为，所以，解得，
所以，
即切点
所以切线方程为：，即.
故选：A.
6．已知函数，若函数在上单调，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】由题意转化为或，参变分离后，转化为求函数的最值，即可求得的取值范围.
【详解】在区间上单调，，或，即或恒成立，
设，，
函数在区间上单调递减，函数的值域是，
所以或.
故选：C
7．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出．
【详解】对A，，当时，，所以A错误；
对B，，在上恒成立，所以B正确；
对C，，，所以C错误；
对D，，，因为，所以D错误．
故选：B．
8．如图是函数的大致图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由图像所给信息可以确定，再观察图像知导函数的零点即，可得解.
【详解】由图示可知：经过（0,0）、（1,0）、（2,0），
所以有：，即，解得：，
所以，.
由图示可知是的极值点，所以是的两根.
所以.
故选：C.
二、多选题
9．《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】BD
【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项.
【详解】因为
，故A不正确，B正确．
如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，
故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为，
由题意易得故，C不正确． ，D正确．
故选：BD
10．已知定义在R上的函数及其导数，若为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由偶函数得对称性，判断A，由为奇函数，得对称性判断C，由求导得，，得，再由由，得，两者比较得所以，从而得周期性，判断D，利用周期性与对称性求值判断B.
【详解】A.为偶函数，所以，，，所以，正确；
C.为奇函数，所以，关于对称，且，，C错误；
D.由两边求导得，得
由，得，所以，即，正确.
B.所以，正确；
故选：ABD．
11．已知函数，则以下结论正确的是（ ）
A．在上单调递增 B．
C．方程有实数解 D．存在实数，使得方程有4个实数解
【答案】BCD
【解析】对求导，由导函数的符号可判断的单调性，即可判断选项A；比较
，以及的单调性即可判断选项B；令，由零点存在定理可判断选项C；等价于，有一个根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实数解，令，对求导判断单调性，作出函数图象，数形结合即可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】由可得，
由可得：，由可得：，
所以在单调递减，在单调递增，故选项A不正确；
对于选项B：，在单调递增，
因为，所以即
，故选项B正确；
对于选项C：令，因为，
，，根据零点存在定理可知存在使得，所以方程有实数解，故选项C正确；
对于选项D：方程即，有一根为，所以原方程有4个根等价于方程有个实数解，
令，则，
令可得或，
令可得，
所以在和单调递增，在单调递减，
，
作出的图形如图所示：
所以存在时，方程有个实数解，此时方程有4个实数解.
故选：BCD
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：
（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；
（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.
三、填空题
12．在长方体中，设，则=
【答案】
【分析】根据长方体的结构特征，结合空间向量减法的几何意义及已知条件，求目标向量的模即可.
【详解】
由
故答案为：
13．已知函数满足：①既有极大值，也有极小值；②，都有．请写出一个满足上述两个条件的函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题目所给函数要满足的条件，写出相应的函数的例子.
【详解】依题意可知，函数有极大值2，也有极小值0，
且满足，.
故答案为：（答案不唯一）
14．已知函数为偶函数，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由为偶函数，算出，讨论的单调性奇偶性，利用性质解不等式.
【详解】为偶函数，有，即，得，则，，，
设，函数定义域为R，，，所以为奇函数在R上单调递增，
由，则
∴，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题
15．设函数在处取得极值-1.
(1)求、的值；
(2)求的单调区间.
【答案】(1)
(2)的单调递增区间为，单调递减区间为.
【分析】（1）根据极值和极值点列出方程组，求出；（2）结合第一问得到单调区间.
【详解】（1），由题意得：，，
解得：，
此时，
当时，，当或时，，
故为极值点，满足题意，
所以.
（2）由（1）可知：当时，，当或时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为
16．如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点．

(1)试用，，表示．
(2)求证：平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据点M，N的位置用基底表示向量；
（2）证明向量与平面中的向量共线，即可证明平面．
【详解】（1）
因为，所以，
同理，，
所以；
（2）证明：因为，所以，即，
因为平面，平面，所以平面．
17．图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形是矩形，弧是半圆，凹槽的横截面的周长为．若凹槽的强度等于横截面的面积与边的乘积，设，．
（1）写出关于函数表达式，并指出的取值范围；
（2）求当取何值时，凹槽的强度最大．
【答案】（Ⅰ）（）．（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）凹槽的横截面的周长为半圆周长与AD,AB,CD的长度之和，半圆直径为AB，因此，解得，再根据实际意义得，代入解得的取值范围（Ⅱ）由凹槽的强度定义得，利用导数求其最值：先求导数，再求导函数在定义区间上的零点，列表分析导函数符号变化规律，确定最值
试题解析：（Ⅰ）易知半圆的半径为，故半圆的弧长为．
所以，
得
依题意知：
得
所以，（）．
（Ⅱ）依题意，设凹槽的强度为，横截面的面积为，则有
，，
因为，
所以，当时，，当时，，
所以当，凹槽的强度最大．
答：所以当，凹槽的强度最大．
考点：利用导数求函数最值
【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．
18．已知函数（）．
(1)当时，过点作的切线，求该切线的方程；
(2)若函数在定义域内有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设切点为，求导，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线过点，求出切点，即可得解；
（2）分离参数，构造函数，将问题转化为直线与函数的图象仅有两个交点，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，则，
设切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，即，所以，
所以切线方程为，即；
（2）由，得，令，
则，
令得，令得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
当趋向于时，趋向，当趋向于时，趋向，
作出函数的图象和直线，
如图示，在定义域内有且仅有两个零点,
即和有且只有两个交点，
由图象知，的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
19．帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，．已知在处的阶帕德近似为．注：
(1)求实数，的值；
(2)求证：；
(3)求不等式的解集，其中．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】
（1）求出，，，，依题意可得，，即可得到方程组，解得即可；
（2）由（1）知，即证，令，即证时，记，，利用导数说明函数的单调性，即可证明；
（3）分析可得，即或，先考虑，该不等式等价于，结合（2）的结论即可，再考虑，该不等式等价于，利用导数证明，，即可得到，，再分类讨论即可判断.
【详解】（1）因为，所以，，
，则，，
由题意知，，，
所以，解得，.
（2）由（1）知，即证，
令，则且，
即证时，
记，，
则，
所以在上单调递增，在上单调递增，
当时，即，即成立，
当时，即，即成立，
综上可得时，
所以成立，即成立.
（3）由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有，即或，
首先考虑，该不等式等价于，即，
又由（2）知成立，
所以使得成立的的取值范围是，
再考虑，该不等式等价于，
记，，
则，所以当时，时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，，
所以，，
当时由，可知成立，
当时由，可知不成立，
所以使得成立的的取值范围是，
综上可得不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：第三问，首先确定或，分别求、对应解集，进一步转化为求、的解集，构造中间函数研究不等式成立的x取值.