文昌中学2023-2024学年高一下学期第一次月考
数 学
（时间：120分钟 满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卡的相应位置上。
1．设集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，若与共线，则（ ）
A． B．4 C．9 D．
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则的值是（ ）
A．2 B．－3 C．－2 D．3
5．已知偶函数f(x)＝2sin的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则f＝（ ）
A． B．－ C．－ D．
6．将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
(
图1
图2
)7．扇子最早称“翣”，其功能并不是纳凉，而是礼仪器具，后用于纳凉 娱乐 欣赏等。扇文化是中国传统文化的重要门类，扇子的美学也随之融人到建筑等艺术审美之中。图1为一古代扇形窗子，此窗子所在扇形的半径（图2），圆心角为，且为的中点，则该扇形窗子的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点P是线段上的动点，则的最小值为（ ）
A．48
B．
C．3
D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分或者2分，有选错得0分。请将答案填写在答题卡相应的位置上。
9．下列说法正确的是（ ）
A．对任意向量，，都有
B．对任意非零向量，，都有
C．若向量，满足，则
D．若非零向量，满足，则
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为
B．是函数的一个对称中心
C．是函数的一个周期
D．不等式的解集
11．下列命题为真命题的是（ ）
A．在△ABC中，若，则△ABC为锐角三角形
B．若P为△ABC 的垂心，，则
C．△ABC是边长为2的等边三角形，为平面ABC内一点，则的最小值为
D．O为△ABC内部一点，，则△OAB, △OAC, 的面积比为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请将答案填写在答题卡相应位置上。
12．若，则 ．
13．已知向量，. 则在上的投影向量的坐标为 .
14．如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，
轴正方向的单位向量），则P点的斜坐标为，向量
的斜坐标为，，，则△
的面积为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请将答案填写在答题卡相应的位置上。
15.（本小题满分13分）已知， ，的夹角为，
（1）求的值；
（2）当为何值时，.
16.（本小题满分15分）已知向量＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，＝(1,2).
（1）若∥，求 的值；
（2）若||＝||，0<θ<π，求θ的值.
17.（本小题满分15分）已知在△ABC中，是边的中点，且，设 与交于点．记，．
（1）用，表示向量，；
（2）若，且，求向量和的
夹角的余弦值．
18.（本小题满分17分）已知向量，函数图象相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）求的解析式；
（2）若且，求的值.
19.（本小题满分17分）已知函数的部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式：
（2）将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．
① 当时，求函数的值域；
② 若方程在上有三个
不相等的实数根，
求的值．文昌中学2023-2024学年高一下学期第一次月考答案
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填写在答题卡的相应位置上。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D A B A B D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错得0分。请将答案填写在答题卡相应的位置上。
题号 9 10 11
答案 AC ACD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。请将答案填写在答题卡相应位置上。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请将答案填写在答题卡相应的位置上。
15．解：（1）因为， ，的夹角为，
所以. ……………2分
所以 ……5分
（2）由（1）知，，，
因为，
所以， ……………7分
即， ……………9分
所以，解得.
所以当时， ……………13分
16．解：（1）因为∥，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ， ……………2分
于是4sinθ＝cosθ； ……………3分
当cosθ＝0时，sinθ＝0，与sin2θ＋cos2θ＝1矛盾， ……………4分
所以cosθ≠0，故tanθ＝， ……………5分
所以＝＝＝ ……………7分
（2）由||＝||知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5， ……………9分
即1－4sinθcosθ＋4sin2θ＝5， ……………10分
从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，
于是sin＝－， ……………12分
又由0<θ<π知，<2θ＋<，
所以2θ＋＝或2θ＋＝，因此θ＝或θ＝ ……………15分
17．解：（1） ……………2分
………4分
……………6分
（2）∵三点共线，由得， ……………8分
，即， ……………10分
∴， ……………12分
∴，∴的余弦值为. ……………15分
18．解：（1）由题知， ……………2分
……4分
又函数相邻两条对称轴之间的距离为. 即， …………5分
则， …………6分
（2）由题知，， ……………7分
则，又，则， …8分
当时，， ……………10分
而， ……………11分
因此，此时 ……………13分
则
……………15分
19．解：（1）由图示得：， ……………2分
又，所以， ……………3分
所以，所以， ……………4分
又因为过点，所以， ……5分
即，
所以，解得，
又，所以，
所以； ……………6分
（2）①由已知得，
当时， ……………7分
所以，所以， ……8分
所以，
所以函数的值域为； ……………9分
②当时，，
令，则， …………10分
令，则函数的图象如下图所示，
且，
，
，……11分
由图象得有三个不同的实数根，
则，，
所以，即，……13分
所以，
所以，
故. ……………15分
