济宁市第一中学 2023－2024 学年度第二学期阶段性测试
数学试卷参考答案
1．C r r
【详解】因为 a//b，则3t 9，解得 t 3 .
故选：C.
2．D
1 sin 2 1 2sin cos sin2 cos2 2sin cos
【详解】 2 sin sin
π
sin sin cos sin sin cos
4
sin cos 2 sin cos 1 1 ，
sin sin cos sin tan
1
∵ tan 2，\1- =1
1 = 3+ ，
tanθ 2 2
故选：D
3．A
【详解】因为 AE AD DE，又DE 2BE ，
2 2 2 1
所以 AE AD DB AD (AB AD) AB AD .
3 3 3 3
故选：A.
4．B
【详解】由 a 2b a 6 2 可得： a 2a b 6，
2
即 a 2 a b cos a,b 6，
将 a 2， b 1代入可得：22 2 2cos a,b 6，
cos a,b 1所以 ，
2
故选：B
5．C
【详解】∵ f x 2 1 sin x
3
cos x 2sin x ，
2 2
3
且函数 f x 的图象的一条对称轴为 x ，
3
x
∴当 时， f x f 2sin 取最大值或最小值，3 3 3 3
∴ k ,k Z ，
3 3 2
∴
5
3k, k Z ，
2
∵ 0，
答案第 1页，共 6页
{#{QQABBQQQggggApBAARhCEQVwCkEQkACACCoGQEAEIAAAyBNABAA=}#}
∴
5
的最小值为 .
2
故选：C.
6．B
1
【详解】试题分析：由 cos 得 ，则
2 3
，故选 B.
7．B
详解：由函数 y sin 2x y cos 2x3 6
cos 2x .
6
1
只需将函数 y cosx的图象各点的横坐标缩短到原来的 倍，得到 y cos2x；
2
再向右平移 个单位得到： y cos2 x cos 2x .12 12 6
故选 B.
8．D
【详解】因为点G为 ABC 2的重心，所以 AG AF AF 3，则 AG .
3 2
因为D,G,E
2
三点共线， AG AF mAD 1 m AE，
3
3所以 m
3
， 1 m .
2 2
3
所以 , , 0,1 .
2
1 4 1 4 2 2 所以 5
4 2
5 2 4 6 ，
3 3
3
4 1 1 4
当且仅当 ，即 1， 时，等号成立，故 的最小值为
6.2
故选：D
9．BCD
【详解】依题意，如图所示：
因为 AD， BE，CF分别是 BC，CA， AB的中线且交于点O，
所以O是 ABC的重心.
答案第 2页，共 6页
{#{QQABBQQQggggApBAARhCEQVwCkEQkACACCoGQEAEIAAAyBNABAA=}#}
对于 A ：若 A B BC CA，则 AB BC CA，因为 BA BC CA，
所以 BA AB，显然不成立，故 A错误；
对于 B： AO
2
AD 2 1 1 AB AC AB AC ，故 B正确；
3 3 2 3
对于 C： AD BE CF
1
AB AC 1 BA BC 1 CA CB2 2 2
1 1 1
AB BA AC CA BC CB 0，故 C正确；2 2 2
对于 D：OA OB OC
2
AD 2 BE 2 CF
3 3 3
2 AD BE CF 2 0 0，故 D正确.3 3
故选：BCD.
10．CD
a 6,8 3 , 4 a 6,8 3 4 【详解】与a 6,8 共线的单位向量为 , a 10 5 5 或 10 . a 5 5
故选：CD
11．BC r r
【详解】对于 A选项， 若b 0且 a//b，b//c，则 a、 c不一定共线，A错；r
对于 B选项，若向量 a 1, 3 ，b 2,6 ，则1 6 2 3 ，则 a、b不共线，
所以， a、b可作为平面 向量的一组 基底，B对；
对于 C选项，因为向量a 5,0 ，b 4,3 ，
a cos a,b b a a b
b a b
20
所以， a在b上的投影向量为 b 4,3 b 2 2a b b 25
16 ,12 ，C对；
5 5
对于 D选项，因为向量m、n满足 m 2， n 3，m n 3，
2 2 2
则 m n m n m n 2m n 4 9 2 3 19 ，D错.
故选：BC.
12． 45 或135
a c
sinC csin A 14 sin 30
2
【详解】解：根据正弦定理 得 ，
sin A sinC a 7 2 2
因为C 0 ,150 ，所以C 45 或C 135
故答案为： 45 或135
13． 21
2 2
2
【详解】 2a b 2a b 4a 4a b b 4 4 4 2 1 cos60 1 21 ，
故答案为： 21 .
14．1
以A为坐标原点， AB为 x轴正半轴建立平面直角坐标系，设M 0, y ，则 N 2,2 y ，
y 0,2 ，所以 AM AN y 2 2 y y 1 1 1，当且仅当 y 1时取得最大
答案第 3页，共 6页
{#{QQABBQQQggggApBAARhCEQVwCkEQkACACCoGQEAEIAAAyBNABAA=}#}
值．
t 215．(1)
3
(2) 2
10
【详解】（1）因为 a 1,2 ,b t , 1 ,c 3,1 ，
所以 a b (t 1,1)， 2a c 2(1, 2) ( 3,1) (5,3)，..........2
r r
所以 a b ∥ 2a c ，
t 1 1
所以 ，...............4
5 3
2
解得 t ；......................5
3
（2）因为b t , 1 ,c 3,1 ，所以b c t 3,0 ，..............6
因为 a b c ，所以 a b c t 3 0，得 t 3，..................8
所以b 3, 1 ，...................9
a b 3 2 2
设 a与b夹角为 ，则 cos 1 4 9 1 10 ，..............12a b
2
所以 a与b夹角的余弦值为 .................13
10
16．
(1)
6
47
(2)sin cos 31 ， sin3 cos3
4 128
【详解】（1）由 OA OC 21
1
得 4+cos 2 sin2 21， cos ，...........2
2
1 3
又0 π， ，C , ，..............43 2 2
OB OC
设OB与OC的夹角为 , 0 π ，则 cos 2 3 3 ,..............6OB OC 4 2
又0 π，故OB与OC的夹角 为 ................................7
6
（2）由 AC BC得 AC BC 0，即 cos 4 cos sin sin 4 0，...................9
sin cos 1 ，..................10
4
答案第 4页，共 6页
{#{QQABBQQQggggApBAARhCEQVwCkEQkACACCoGQEAEIAAAyBNABAA=}#}
2sin cos 15 π 0，故 π ,....................12
16 2
sin cos 2 1 15 31 ， sin cos 31 .....................1416 16 4
sin3 cos3 sin cos sin2 sin cos cos2 1 15 1 474 32 ..................15 128
17．（1） f ( ) cos ；（2）a b 2．
【详解】（1）因为 f ( )
sin cos ( tan )
cos ，所以 f ( ) cos ；........5
tan sin
（2）因为 f (C)
1 1
，即 cosC ，又0 C ，所以C ，............7
2 2 3
1
因为 ABC的面积 S 3，所以 S ab sin 3，解得 ab 4，......................10
2 3
2
cosC a b
2 22 1
又 ，所以 a2+b2 8，..............12
2ab 2
ab 4 a 2
由 a2+b2 8，解得 ，b 2 ..................14
所以 a b 2 ...................15
2
18．（1） 2k , 2k k Z ；（2）函数 g x 的最大值、最小值分别为： 3 1， 3 3
1．
【详解】（1） f x a b 1 cos x 3 sin x 1 2sin x 1．.......................4
6
由2k x 2k ， k Z，...................6
2 6 2
2
可得 2k x 2k ， k Z，.............8
3 3
2
∴单调递增区间为： 2k , 2k
k Z ．........................10 3 3
g x f 2x （2）若
2sin
2x 1．...............12
3 6
x , 5 当 时， 2x
，............14
3 4 6 6 3
即 1 sin 2x
3 ，则 1 g x 3 1，.......................16
6 2
所以函数 g x 的最大值、最小值分别为： 3 1， 1．..................17
π
19．(1) f x sin x 6 ，最小正周期为2π
(2)实数m的取值范围是 3 1,1 ， tan x x 31 2 3
1 f (x)
1
cos2 x 1 sin2 x 3 sin x【详解】（ ） cos
x
2 2 2 2 2 2
1 cos2 x sin2 x 3 2sin x x cos2 2 2 2 2 2
1
cos x 3 sin x
2 2
答案第 5页，共 6页
{#{QQABBQQQggggApBAARhCEQVwCkEQkACACCoGQEAEIAAAyBNABAA=}#}
sin x
π
6
，.........................3
2π
∴函数 f (x)的最小正周期T 2π ..........4
1
2
π
（ ）由（1） f x sin x ，
6
将函数 f (x)
1 π
的图象各点的横坐标缩小为原来的 2（纵坐标不变），再向左平移 个单位长度，12
y π π π得到函数 g(x) 的图象，∴ g x sin 2 x sin
2x
，............5
12 6 3
π
由 2kπ 2x
π π
2kπ 5π kπ x π， k Z ，得 kπ， k Z ，...........7
2 3 2 12 12
∴ g x sin 2x
π 5π π
在区间 kπ, kπ （ k Z ）上单调递增，..........8 3 12 12
g x sin 2x π π kπ, 7π kπ 同理可求得 在区间 （ k Z ）上单调递减，.............9
3 12 12
且 g x π kπ的图象关于直线 x ， k Z 对称，.............10
12 2
m 1
方程 2g(x) m 1等价于 g(x) ，....................11
2
∴当 x [0,
]时，方程 g(x)
m 1
有两个不同的解x ，x
2 2 1 2
，
由 g x π π π 单调性知， g x 在区间 0, 12 上单调递增，在区间
, 上单调递减，
12 2
g 0 3 g π g π π 3且
2 6
， 1， g
12 2
，...............12
2
3 m 1
∴当 1时，方程 g(x)
m 1
有两个不同的解x1，x2 2 2 2
，
∴ 3 1 m 1，...................13
实数m的取值范围是 3 1,1 ...............14
又∵ g x π x x π的图象关于直线 x 对称，∴ 1 2 ，.................15
12 2 12
π
即 x1 x2 ，................166
3
∴ tan x1 x2 ...............173
答案第 6页，共 6页
{#{QQABBQQQggggApBAARhCEQVwCkEQkACACCoGQEAEIAAAyBNABAA=}#}济宁市第一中学 2023－2024 学年度第二学期阶段性测试
数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I卷（选择题）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项
是符合题目要求的
r r
1．已知向量 a 1,t ，b 3,9 ，若 a//b，则 t （ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
1 sin 2
2．若 tan 2，则 2 sin π sin
（ ）
4
1 1 3
A． B C 3． ． D．
2 2 2 2
3．已知点 E为平行四边形 ABCD对角线 BD上一点，且DE 2BE ，则 AE （ ）
2 1 2 1 1
A． AB AD B． AB AD C． AB
2 AD 1 AB 2 D． AD
3 3 3 3 3 3 3 3
4．若向量 a，b满足 a 2， b 1， a 2b a 6，则 cos a,b （ ）．
3 1 1A． B． 2 C． D
3
．
2 2 2
5．若函数 f x sin x 3 cos x 0 的图象的一条对称轴为 x ，则 的最小值
3
为（ ）
3 5
A． B． 2 C． D．3
2 2
6．若 cos
1
，则 cos 2
2 3
4 2 7 7A． B C 4 2． ． D．
9 9 9 9
7．函数 y sin(2x )的图象可由函数 y cos x的图象
3
A 1
．先把各点的横坐标缩短到原来的 2 倍,再向左平移 个单位6
B 1．先把各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，再向右平移 个单位12
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABBQQQggggApBAARhCEQVwCkEQkACACCoGQEAEIAAAyBNABAA=}#}
C．先把各点的横坐标伸长到原来的 2倍，再向左平移 个单位
6
D．先把各点的横坐标伸长到原来的 2倍，再向右平移 个单位
12
8．已知点G为 ABC的重心，D,E分别为 AB， AC边上一点，D，G， E三点共线，
1 4
F 为 BC的中点，若 AF AD AE，则 的最小值为（ ）
27
A 9． B．7 C． D．6
2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分
9．在 ABC中， AD， BE，CF分别是 BC，CA， AB的中线且交于点O，则下列结
论正确的是（ ）
1
A． AB BC CA B． AO AB AC3
C． AD BE CF 0 D．OA OB OC 0
10．与向量a 6,8 共线的单位向量的坐标为（ ）
4 3 4 3
A． , B． ,
5 5 5 5
3 4 3
C． , D． ,
4
5 5 5 5
11．下列四个命题为真命题的是（ ）
r r r r
A．若向量 a、b、 c，满足 a//b，b//c，则 a//c
r
B．若向量 a 1, 3 ，b 2,6 ，则 a、b可作为平面向量的一组基底
a 5,0 b 4,3 16 12 C．若向量 ， ，则 a在b上的投影向量为 ,
5 5
D．若向量m、 n满足 m 2， n 3，m n 3，则 m n 7
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在 ABC中，若 A 30 ， a 7 2， c 14，则C ．
13
．已知向量 a,b 满足 a 2, b 1 a ， ,b 的夹角为60 ，则 2a b .
14．已知正方形 ABCD的边长为 2，O为对角线的交点，动点M 在线段 AD上，点M 关
于点O的对称点为点 N，则 AM AN的最大值为 ．
试卷第 2页，共 4页
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题 13分）
已知向量 a 1,2 ,b t , 1 ,c 3,1 ．
r r
(1)若 a b ∥ 2a c ，求实数 t的值；
(2)若 a b c ，求 a与b夹角的余弦值．
16．（本小题 15分）
已知 A 4,0 ,B 0, 4 ,C cos , sin , (0 π)．
(1)若 OA OC 21（O为坐标原点），求OB与OC的夹角；
(2)若 AC BC，求 sin cos ,sin3 cos3 的值.
f ( ) sin( )cos(2 ) tan(2 )
17．（本小题 15分）已知 tan( )cos 3
．
2
（1）化简： f ( )；
1
（2）在 ABC中，内角 A、B、C所对的边长分别是 a、b、c，若 c 2， f (C) ，
2
且 ABC的面积 S 3，求 a、b的值．
试卷第 3页，共 4页
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18．（本小题 17分）已知向量 a cos x, 3 ，b 1,sin x ，函数 f x a b 1．
（1）求函数 f x 的单调递增区间；
g x f （2）若 2x ， x , 时，求函数 g x 的最值． 3 3 4
1 2 x 1 2 x x x19．（本小题 17分）已知函数 f (x) cos sin 3 sin cos
2 2 2 2 2 2
(1)将函数 f (x)化简成 Asin( x )的形式，并求出函数的最小正周期；
π
(2) 1将函数 f (x)的图象各点的横坐标缩小为原来的 2（纵坐标不变），再向左平移 个单12
位长度，得到函数 y g(x)的图象.若方程 2g(x) m 1在 x [0,
]上有两个不同的解x ，
2 1
x
2，求实数m的取值范围，并求 tan(x1 x2 )的值.
试卷第 4页，共 4页
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答案第 1页，共 1页
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