初中数学人教版八年级下册 第十六章 二次根式单元验收卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 初中数学人教版八年级下册 第十六章 二次根式单元验收卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 501.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-02 11:42:53 | ||
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文档简介
第十六章 二次根式单元验收卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）若，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
7．（本题3分）若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．（本题3分）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
10．（本题3分）对于任意的正数，定义运算：，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）要使代数式有意义，则应满足的条件是 ．
12．（本题3分）计算： ．
13．（本题3分）如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ．
14．（本题3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ．
15．（本题3分）化简：化成最简二次根式为 ．
16．（本题3分）若a，b，c是三角形的三边，，则 ．
17．（本题3分）当时，代数式的值是 ．
18．（本题3分）已知实数x，y满足，则的值是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题18分）计算
(1) (2)
(3) (4)
(5)． (6)
20．（本题6分）先化简，再求值：．其中．
21．（本题6分）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整分得到该无理数的小数部分，例如的整数部分是1，则是的小数部分．
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)已知无理数的整数部分是m，小数部分是n，求的值．
22．（本题8分）某小区有一块长为m，宽为m的空地，现要对该空地植上草坪进行绿化，解答下面的问题：（其中≈1.41，≈1.73，结果保留整数）
(1)求该空地的周长；
(2)若种植草坪的造价为12元/，求绿化该空地所需的总费用．
23．（本题8分）化简再求值：若，是实数，且，求的值．
24．（本题10分）阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a＝b时，等号成立．∴在a＋b≥2中，只有当a＝b时，a＋b有最小值2.
根据上述内容，解答下列问题：
（1）若a＋b＝9，求的取值范围(a，b均为正实数)．
（2）若m＞0，当m为何值时，m＋有最小值？最小值是多少？
25．（本题10分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设其中、、、均为整数，
则有．
，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：_____________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：；
(3)若，且、、均为正整数，求的值．
参考答案及解析：
1．D
【分析】
本题考查二次根式的定义：形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意；
B、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意；
C、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意；
D、是二次根式，符合题意，
故选：D．
2．A
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，解得．
故选：A．
3．D
【分析】
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
A． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
C．，被开方数中含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
D． ，是最简二次根式，故该选项符合题意，
故选：D．
4．D
【分析】
本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D．
5．B
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的性质以及二次根式的加减法则分别进行判断即可．
【详解】解：中，没有同类二次根式，不能合并，
故A选项不符合题意；
，
故B选项符合题意；
，
故C选项不符合题意；
，
故D选项不符合题意，
故选：B．
6．D
【分析】
本题考查了二次根式的定义，化成最简二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义可求得、的值，继而求得结论．
【详解】
解：，，即，，
，，
．
．
故选：D．
7．B
【解析】略
8．B
【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式．
9．D
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】解：a=2021×2023-2021×2022
=2021（2023-2022）
=2021；
∵20242-4×2023
=（2023+1）2-4×2023
=20232+2×2023+1-4×2023
=20232-2×2023+1
=（2023-1）2
=20222，
∴b=2022；
∵，
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
10．C
【解析】略
11．
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】
解：由题意得：，
解得：．
故答案为：
12．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
故答案为：．
13．26
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先求出图中留下来的阴影部分的面积等于两个长方形的面积之和，再将的值代入计算即可得．
【详解】解：由题意可知，图中留下来的阴影部分的面积为，
，，
，
故答案为：26．
14．3
【分析】由n为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，从而得出结果．
【详解】解：∵n为正整数，
∴也是正整数，
∴是一个完全平方数，
∴n的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，涉及的知识点：如果是整数，那么a是一个完全平方数．
15．
【分析】根据二次根式的性质化简即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质以及最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
16．4
【分析】本题考查三角形三边的关系，二次根式性质的化简，整式的加减，先根据三角形三边的关系去绝对值，化简二次根式，然后利用整体代入计算即可．
【详解】原式，
故答案为：4．
17．2025
【分析】
本题考查了代数式求值，完全平方公式，利用完全平方公式将代数式变形为，再将整体代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：2025．
18．
【分析】
本题考查了二次根式有意义以及乘方运算，完全平方公式的运算，根据非负性，得再代入，即可作答．
【详解】
∵x
∴
∴，
解得
∴，则
故答案为：．
19．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
（5）
（6）
20．；
【分析】
本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，先将分式进行化简，再将代入即可解答，熟练进行分式的化简是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
；
当时，原式．
21．(1)；
(2)
【分析】
本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简求值：
（1）根据无理数的估算方法得到，据此可得答案；
（2）根据无理数的估算方法得到，进而得到，则，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，
∴的小数部分是，
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴无理数的整数部分是7，
∴无理数的小数部分是，
∴，
∴
．
22．(1)54；
(2)2112．
【分析】（1）首先根据二次根式的化简法则进行化简，然后根据矩形的周长计算公式进行计算，得出答案；
（2）根据矩形的面积计算法则求出面积，然后乘以每平方米的造价得出答案．
【详解】（1）解：该空地周长为c=
54()；
（2）解：该空地面积为s==176
种草坪造价为17612=2112(元)．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减以及乘法运算，熟练化简二次根式是解题的关键．
23．，
【分析】首先根据二次根式有意义求出x、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x，y是实数，且，
∴且，
解得：，
∴，
∴
，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．
24．（1）；（2）当m＝1时，m＋有最小值，最小值是2.
【分析】（1）根据（a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据（a、b均为正实数），进而得出即可．
【详解】(1)∵ (a、b均为正实数)，
∴a+b=9,则,即
故答案为
(2)由(1)得：
即,当,即m=1(负数舍去) 时，
故有最小值，最小值是2.
【点睛】考查二次根式的应用，读懂题目中的（a、b均为正实数），并运用公式来解题是解题的关键.
25．(1)
(2)13，4，1，2
(3)7或13
【分析】
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，
（1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，；
故答案为：，．
（2）解：由（1）可得，，，；
故答案为：13，4，1，2．
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵a、m、n均为正整数，
∴，，或，，；
∴a的值为7或13．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）若，则的值为（ ）
A．8 B． C． D．4
7．（本题3分）若，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．2
8．（本题3分）若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（ ）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c
10．（本题3分）对于任意的正数，定义运算：，计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）要使代数式有意义，则应满足的条件是 ．
12．（本题3分）计算： ．
13．（本题3分）如图，从一个大正方形中截去面积分别为和的两个小正方形，若，，则图中留下来的阴影部分的面积为 ．
14．（本题3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ．
15．（本题3分）化简：化成最简二次根式为 ．
16．（本题3分）若a，b，c是三角形的三边，，则 ．
17．（本题3分）当时，代数式的值是 ．
18．（本题3分）已知实数x，y满足，则的值是 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题18分）计算
(1) (2)
(3) (4)
(5)． (6)
20．（本题6分）先化简，再求值：．其中．
21．（本题6分）大家知道每个无理数都含有整数部分和无限不循环小数部分，用一个无理数减去该无理数整分得到该无理数的小数部分，例如的整数部分是1，则是的小数部分．
(1)的整数部分是___________，小数部分是___________；
(2)已知无理数的整数部分是m，小数部分是n，求的值．
22．（本题8分）某小区有一块长为m，宽为m的空地，现要对该空地植上草坪进行绿化，解答下面的问题：（其中≈1.41，≈1.73，结果保留整数）
(1)求该空地的周长；
(2)若种植草坪的造价为12元/，求绿化该空地所需的总费用．
23．（本题8分）化简再求值：若，是实数，且，求的值．
24．（本题10分）阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵(－)2≥0，∴a－2＋b≥0，∴a＋b≥2，只有当a＝b时，等号成立．∴在a＋b≥2中，只有当a＝b时，a＋b有最小值2.
根据上述内容，解答下列问题：
（1）若a＋b＝9，求的取值范围(a，b均为正实数)．
（2）若m＞0，当m为何值时，m＋有最小值？最小值是多少？
25．（本题10分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：
设其中、、、均为整数，
则有．
，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得：_____________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数、、、填空：；
(3)若，且、、均为正整数，求的值．
参考答案及解析：
1．D
【分析】
本题考查二次根式的定义：形如的代数式叫做二次根式，其中a叫做被开方数，据此逐项判断即可．
【详解】解：A、中的被开方数，故不是二次根式，不符合题意；
B、是三次根式，故不是二次根式，不符合题意；
C、中的a不一定大于等于0，故不是二次根式，不符合题意；
D、是二次根式，符合题意，
故选：D．
2．A
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，解得．
故选：A．
3．D
【分析】
本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【详解】
A． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
B． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
C．，被开方数中含分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意，
D． ，是最简二次根式，故该选项符合题意，
故选：D．
4．D
【分析】
本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确；
故选D．
5．B
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的性质以及二次根式的加减法则分别进行判断即可．
【详解】解：中，没有同类二次根式，不能合并，
故A选项不符合题意；
，
故B选项符合题意；
，
故C选项不符合题意；
，
故D选项不符合题意，
故选：B．
6．D
【分析】
本题考查了二次根式的定义，化成最简二次根式是解题的关键．根据二次根式的定义可求得、的值，继而求得结论．
【详解】
解：，，即，，
，，
．
．
故选：D．
7．B
【解析】略
8．B
【分析】把化成最简二次根式，由最简二次根式的含义：被开方数相同，可得关于m的方程，解方程即可．
【详解】∵，而最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
解得：；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．但要注意，要把化成最简二次根式．
9．D
【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论．
【详解】解：a=2021×2023-2021×2022
=2021（2023-2022）
=2021；
∵20242-4×2023
=（2023+1）2-4×2023
=20232+2×2023+1-4×2023
=20232-2×2023+1
=（2023-1）2
=20222，
∴b=2022；
∵，
∴c＞b＞a．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
10．C
【解析】略
11．
【分析】
此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，再解不等式即可．
【详解】
解：由题意得：，
解得：．
故答案为：
12．
【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
故答案为：．
13．26
【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先求出图中留下来的阴影部分的面积等于两个长方形的面积之和，再将的值代入计算即可得．
【详解】解：由题意可知，图中留下来的阴影部分的面积为，
，，
，
故答案为：26．
14．3
【分析】由n为正整数，也是正整数，知是一个完全平方数，从而得出结果．
【详解】解：∵n为正整数，
∴也是正整数，
∴是一个完全平方数，
∴n的最小值是3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，涉及的知识点：如果是整数，那么a是一个完全平方数．
15．
【分析】根据二次根式的性质化简即可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质以及最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
16．4
【分析】本题考查三角形三边的关系，二次根式性质的化简，整式的加减，先根据三角形三边的关系去绝对值，化简二次根式，然后利用整体代入计算即可．
【详解】原式，
故答案为：4．
17．2025
【分析】
本题考查了代数式求值，完全平方公式，利用完全平方公式将代数式变形为，再将整体代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为：2025．
18．
【分析】
本题考查了二次根式有意义以及乘方运算，完全平方公式的运算，根据非负性，得再代入，即可作答．
【详解】
∵x
∴
∴，
解得
∴，则
故答案为：．
19．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
（5）
（6）
20．；
【分析】
本题考查了分式的化简求值，二次根式的运算，先将分式进行化简，再将代入即可解答，熟练进行分式的化简是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
；
当时，原式．
21．(1)；
(2)
【分析】
本题主要考查了无理数的估算，二次根式的化简求值：
（1）根据无理数的估算方法得到，据此可得答案；
（2）根据无理数的估算方法得到，进而得到，则，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是，
∴的小数部分是，
故答案为：；；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴无理数的整数部分是7，
∴无理数的小数部分是，
∴，
∴
．
22．(1)54；
(2)2112．
【分析】（1）首先根据二次根式的化简法则进行化简，然后根据矩形的周长计算公式进行计算，得出答案；
（2）根据矩形的面积计算法则求出面积，然后乘以每平方米的造价得出答案．
【详解】（1）解：该空地周长为c=
54()；
（2）解：该空地面积为s==176
种草坪造价为17612=2112(元)．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减以及乘法运算，熟练化简二次根式是解题的关键．
23．，
【分析】首先根据二次根式有意义求出x、y的值，再化简后面的代数式，最后代入求值即可．
【详解】解：∵x，y是实数，且，
∴且，
解得：，
∴，
∴
，
当，时，原式．
【点睛】本题主要考查含字母的二次根式化简求值，需要注意利用二次根式有意义的情况求未知数的值．
24．（1）；（2）当m＝1时，m＋有最小值，最小值是2.
【分析】（1）根据（a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据（a、b均为正实数），进而得出即可．
【详解】(1)∵ (a、b均为正实数)，
∴a+b=9,则,即
故答案为
(2)由(1)得：
即,当,即m=1(负数舍去) 时，
故有最小值，最小值是2.
【点睛】考查二次根式的应用，读懂题目中的（a、b均为正实数），并运用公式来解题是解题的关键.
25．(1)
(2)13，4，1，2
(3)7或13
【分析】
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，
（1）根据上面的例子，将，按完全平方展开，可得出答案；
（2）由（1）可写出一组答案，不唯一；
（3）将展开得出，由题意得，，再由a、m、n均为正整数，可得出答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，；
故答案为：，．
（2）解：由（1）可得，，，；
故答案为：13，4，1，2．
（3）解：∵，
∴，
∴，，
∵a、m、n均为正整数，
∴，，或，，；
∴a的值为7或13．
答案第1页，共2页
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