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数据的集中趋势与离散程度
【学习内容】
数据的离散程度
【学习目标】
1．了解方差概念的产生和形成过程。
2．理解方差的定义和计算公式，会利用计算方差的方法来比较两组数据的离散程度。
【学习重点】
【学习重点】
方差形成过程，会利用计算方差的方法来比较两组数据的离散程度。
会用样本平均数、样本方差估计总体的平均数、方差，并进行简单的分析
【学习难点】
方差意义的理解。
【学习过程】
一、预习课本：
思考：选拔射击手参加比赛时，我们应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？
【答案】选择成绩最稳定的选手。
二、学前准备：
某班50名同学进行科普知识竞赛，根据50名同学的成绩绘成如图所示的统计图．
(1)这50名同学竞赛成绩的众数为多少（直接写答案，不必说明理由）？
(2)求这50名同学的平均成绩？
解：（1）由图可知，
∴这50名同学竞赛成绩的众数为80；
（2）平均成绩为：（分）
答：这50名同学的平均成绩为80分；
三、合作探究：
为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩：（单位：分）
进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年级测试成绩频数统计表
七年级 3 4 3
八年级 1 7 a
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 b 90
八年级 84 84 c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______，______；
(2)如果把分数不低于85分记为“优秀”，现七、八年级共有1200名学生，该估计七八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数；
(3)你认为哪个年级的学生学习提防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
解：（1）解：八年级中随机抽取10名学生的测试成绩有名学生的成绩低于分，
，
根据众数的定义可知，
把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为，
根据中位数的定义得：，
故答案为：，，；
（2）解：七年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为，
八年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为
七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数，
（3）解：由于七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
故八年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好．
问题6 两台机床都生产直径为(20 +0.2)mm的零件,为了检验产品质量,从产品中各抽出10个进行测量,结果如下(单位: mm):
思考：根据以上结果评判哪台机床生产的零件的精度更稳定。
要比较,首先想到比较两组数据的平均值:
A=20.0+(0-0.2 +… -0.2) = 20.0,
B = 20.0 +(0 +0+… -0.2) = 20. 0. .
A=B=20.0mm,它们的中位数也都是20.0mm,从数据集中趋势这个角度很难区分两台机床生产的零件的精度的稳定性.这时,就需考察数据的离散程度了.
把每组零件的直径分别用点来表示,如图20-6.
图中过20.0与横轴平行的直线上的点表示平均数.可见机床A生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2mm的有6个、0.1 mm的有2个;机床B生产出的零件的直径中偏离这个平均数0.2 mm的有2个、0.1 mm的有4个,直观上容易看出机床B比机床A生产的零件的精度更稳定。
下面通过计算方差,来评判问题中机床A和机床B哪台生产的零件的精度更稳定.
前面已经算得A, B两组数的平均数,于是
sA2=0.026( mm2 );
sB2= 0.012( mm2 ).
由于0.026 >0.012, 可知机床A生产的10个零件直径比机床B生产的10个零件直径波动要大.
探究体会：一组数据方差越大，说明这组数据的离散程度越大。
【自主探究】
阅读教材P134～135，完成下列问题：
范例1：水稻种植是嘉兴的传统农业．为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．
（1）哪个品种平均每公顷的产量较高？
（2）哪个品种的产量较稳定？
分析:现在要通过比较甲,乙两个新品种在试验田中的产量和产量的稳定性,来估计甲,乙两个新品种在这一地区的产量和产量的稳定性,这实际。上就是用样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差.
解: 甲,乙两个新品种在试验田中的产量各组成一个样本.
甲==12.3（t)
乙==12.3（t)
说明甲、乙两个新品种平均每公顷的产量一样高.
下面我们来考察甲、乙两个新品种的稳定性.
S甲2==[(12.6-12.3)2 +(12 -12.3)2 +(12.3-123)2+(11.7 -12.3)2 + (12.9 -12.3)2]
=0.18,
S乙2=[(12.3-12.3)2 +(12.3-12.3)2 +(12.3-12.3)2 +(11.4 -12.3)2 + (13.2 -12.3)2]
= 0.324.
得出S甲2可知，甲品种每公顷的产量波动比乙品种每公顷的产量波动要小，由此估计甲品种的稳定性好。
四、方差定义：
各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，用公式表示为：
S2=[(x1-)2+(x2-)2+…+（xn-)2]
五、学习体会：
1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2．预习时的疑难解决了吗？
六、自我检测：
1.某学校举行党史知识竞赛，甲、乙两个小组成绩的方差分别是、，已知甲组的成绩比乙组的成绩更稳定，若，则可能是（ ）
A．0.8 B．1 C．1.6 D．3.2
【答案】D
【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
【详解】解：∵，甲组的成绩比乙组的成绩更稳定，
∴．
故选D．
2．某特警队为了选拔“神枪手”，甲、乙、丙、丁四人进行射击比赛，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别为，则四人中成绩最稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【分析】本题考查了方差的意义；根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵，
∴四人中成绩最稳定的是丙．
故选：C．
3．某同学对数据27，38，38，49，5■，53进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B
【分析】本题考查了方差,众数，利用平均数、众数、中位数、方差的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：这组数据的平均数、众数、方差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为38与49的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
4．某专卖店专营某品牌运动鞋，下表是店主统计的上周不同尺码的运动鞋销售量情况：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
如果每双运动鞋的利润相同，在下列统计量中，对该店主下次进货最具参考意义的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】D
【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键.
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故该店主下次进货最具参考意义的是众数．
故选：D．
5.甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是 ．
【答案】丁
【分析】此题主要考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，是解题关键．
利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量逐项判断即可解答．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴这四名同学跳高成绩最稳定的是丁，
故答案为：丁．
6．甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打10发子弹，根据命中环数求得方差分别是，，则运动员 的成绩比较稳定．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．据此即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
甲的方差小于乙的方差，
∴甲的成绩比较稳定．
故答案为：甲．
7．对于1，2，3，4，5这组数据的方差是 ．
【答案】2
【分析】此题考查方差，先根据平均数的定义确定平均数，再根据方差公式进行计算即可求出答案．解题关键在于掌握方差的计算公式．
【详解】这组数据的平均数是：，
则方差．
故答案为：2．
8．一组数据：，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ．
【答案】2.8
【分析】本题考查了极差、求平均数、求方差，根据这组数据的极差是4，求出的值，再根据平均数的定义和方差的定义进行计算即可，解题的关键是根据极差求出的值．
【详解】解：∵数据：，2，2，5，5的极差是4，
或，
或6，
当时，这组数据的平均数是，
方差，
当时，这组数据的平均数是，
方差，
∴这组数据的方差为，
故答案为：．
9.某校初二开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示：
(1)根据图示填写下表：
班级 中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
爱国班 85
求知班 100 85
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？
(3)已知爱国班复赛成绩的方差是70，请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？
【答案】(1)见解析
(2)爱国班成绩好些．因为两班平均数相等，爱国班的中位数高，所以爱国班成绩好些．（回答合理即可）
(3)160；爱国班成绩较为稳定
【分析】本题考查了中位数、众数以及平均数的求法，同时也考查了方差公式，解题的关键是牢记定义并能熟练运用公式．
（1）观察图分别写出爱国和求知5名选手的复赛成绩，然后根据中位数的定义和平均数的求法以及众数的定义求解即可；
（2）在平均数相同的情况下，中位数高的成绩较好；
（3）根据方差公式计算即可：（可简单记忆为“等于差方的平均数”）．
【详解】（1）由条形统计图可知爱国班5名选手的复赛成绩为：75、80、85、85、100，
求知班5名选手的复赛成绩为：70、100、100、75、80，
爱国班的众数为85，
爱国班的平均数为，
求知班的中位数是80；
班级 中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
爱国班 85 85 85
求知班 80 100 85
（2）爱国班成绩好些．
因为两班平均数相等，爱国班的中位数高，所以爱国班成绩好些．（回答合理即可）
（3）
∵，
∴爱国班成绩较为稳定．
10．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环；
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
(3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
【答案】(1)9；9；
(2)=，=
(3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由见解析
【分析】本题考查求平均数，方差，利用方差作决策．
（1）数据总和除以数据个数求出平均数即可；
（2）利用方差公式计算方差即可；
（3）利用方差作决策即可．
掌握平均数和方差的计算方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：甲：，
乙：；
故答案为：9；9；
（2）
；
；
推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
11.某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的消防知识成绩进行了统计，整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的八年级10名学生的成绩扇形统计图（如图）
抽取的七、八年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 “优秀”等级所占百分比
七年级 90 89 a 40%
八年级 90 b 90 30%
(1)填空：______，______，______；
(2)如该校七年级学生有600人，请估计七年级消防知识成绩为“优秀”的学生大约有多少人？
(3)根据以上数据，你认为该校七八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
【答案】(1)；；；
(2)人
(3)七年级掌握的更好，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件可以分别求出“优秀”和“良好”的人数，从而可以求解；根据众数和中位数的定义即可求解，；
（2）由总人数乘以优秀人数的百分比即可；
（3）结合平均数、众数、中位数、方差进行分析即可．
【详解】（1）解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，
“优秀”等级人数为：（人），
八年级10名学生中“良好”等级为5人，
八年级10名学生中“合格”等级人数为：（人），
∴，即；
10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
；
由（1）可知，10名八年级学生中“合格”等级人数为2人，
八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，
即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，（分）．
∴；
（2）该校七年级学生有600人，估计七年级消防知识成绩为“优秀”的学生大约有：
（人）；
（3）解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好．
【点睛】本题考查了会从统计图中获取信息进行相关计算，众数、中位数的定义，平均数、众数、中位数、方差的特征，正确获取信息，会根据数据的集中趋势特征数和离散程度的特征数进行分析决策是解题的关键．
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数据的集中趋势与离散程度
【学习内容】
数据的离散程度
【学习目标】
1．了解方差概念的产生和形成过程。
2．理解方差的定义和计算公式，会利用计算方差的方法来比较两组数据的离散程度。
【学习重点】
【学习重点】
方差形成过程，会利用计算方差的方法来比较两组数据的离散程度。
会用样本平均数、样本方差估计总体的平均数、方差，并进行简单的分析
【学习难点】
方差意义的理解。
【学习过程】
一、预习课本：
思考：选拔射击手参加比赛时，我们应该挑选测试成绩中曾达到最好成绩的选手，还是成绩最稳定的选手？
二、学前准备：
某班50名同学进行科普知识竞赛，根据50名同学的成绩绘成如图所示的统计图．
(1)这50名同学竞赛成绩的众数为多少（直接写答案，不必说明理由）？
(2)求这50名同学的平均成绩？
三、合作探究：
为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、八年级学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩：（单位：分）
进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年级测试成绩频数统计表
七年级 3 4 3
八年级 1 7 a
七、八年级测试成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 b 90
八年级 84 84 c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______，______；
(2)如果把分数不低于85分记为“优秀”，现七、八年级共有1200名学生，该估计七八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数；
(3)你认为哪个年级的学生学习提防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
问题6 两台机床都生产直径为(20 +0.2)mm的零件,为了检验产品质量,从产品中各抽出10个进行测量,结果如下(单位: mm):
思考：根据以上结果评判哪台机床生产的零件的精度更稳定。
【自主探究】
阅读教材P134～135，完成下列问题：
范例1：水稻种植是嘉兴的传统农业．为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取5棵植株，将测得的苗高数据绘制成下图：请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势．
（1）哪个品种平均每公顷的产量较高？
（2）哪个品种的产量较稳定？
四、方差定义：
各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，用公式表示为：
五、学习体会：
1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？
2．预习时的疑难解决了吗？
六、自我检测：
1.某学校举行党史知识竞赛，甲、乙两个小组成绩的方差分别是、，已知甲组的成绩比乙组的成绩更稳定，若，则可能是（ ）
A．0.8 B．1 C．1.6 D．3.2
2．某特警队为了选拔“神枪手”，甲、乙、丙、丁四人进行射击比赛，每人10次射击成绩的平均数都是环，方差分别为，则四人中成绩最稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．某同学对数据27，38，38，49，5■，53进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
4．某专卖店专营某品牌运动鞋，下表是店主统计的上周不同尺码的运动鞋销售量情况：
尺码 39 40 41 42 43
平均每天销售量/双 10 12 20 12 12
如果每双运动鞋的利润相同，在下列统计量中，对该店主下次进货最具参考意义的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
5.甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是，，，，则这四名同学跳高成绩最稳定的是 ．
6．甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打10发子弹，根据命中环数求得方差分别是，，则运动员 的成绩比较稳定．（填“甲”或“乙”）
7．对于1，2，3，4，5这组数据的方差是 ．
8．一组数据：，2，2，5，5的极差是4，则这组数据的方差为 ．
9.某校初二开展英语拼写大赛，爱国班和求知班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩如图所示：
(1)根据图示填写下表：
班级 中位数（分） 众数（分） 平均数（分）
爱国班 85
求知班 100 85
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩比较好？
(3)已知爱国班复赛成绩的方差是70，请求出求知班复赛成绩的方差，并说明哪个班成绩比较稳定？
10．省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
甲 10 8 9 8 10 9
乙 10 7 10 10 9 8
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环；
(2)分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；
(3)根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．
11.某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的消防知识成绩进行了统计，整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98
10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的八年级10名学生的成绩扇形统计图（如图）
抽取的七、八年级学生成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 “优秀”等级所占百分比
七年级 90 89 a 40%
八年级 90 b 90 30%
(1)填空：______，______，______；
(2)如该校七年级学生有600人，请估计七年级消防知识成绩为“优秀”的学生大约有多少人？
(3)根据以上数据，你认为该校七八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
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