(共32张PPT)
19.1.2.1函数的图象
人教版八年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1.理解函数的图象的概念；
2.掌握画函数图象的一般步骤,能画出一些简单的函数图象；
3.能根据所给函数图象读出一些有用的信息.
新知导入
下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？为什么？
由图知对于自变量 t 的每一个确定的值，变量h 不是都有唯一确定的值与其对应，如t=4cm时，h=0.6cm或4cm或5cm.所以变量h不是变量t的函数.
不是
新知导入
蚂蚁离起点的水平距离 t 是离地高度 h 的函数吗？为什么？
由图易知对于自变量 h 的每一个确定的值，变量 t 都有唯一确定的值与其对应.所以水平距离t是离地高度h的函数.
是.
新知讲解
即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观.
例如，正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2.
根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0.我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系.
计算并填写下表：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S 0 0.25 1
2.25
4
6.25
9
12.25
16
新知讲解
描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数值所对应的点.
连线：把所描出的各点用平滑的曲线连接起来.
点（0，0）在不在曲线上，
不在曲线上的点用空心圈表示.
在曲线上的点用实心圈表示.
我们要怎么表示呢？
不在
新知讲解
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 如上图的曲线即函数S=x2 (x＞0)的图象.
新知讲解
9
9
18
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？
可以认为，气温 T 是时间 t 的函数，上图是这个函数的图象.
新知讲解
9
9
18
由图象可知：
(1)这一天中凌晨4时的气温最低(-3℃)，14时的气温最高(8℃)
(2) 从0时至4时气温呈下降状态(即温度随时间的增长面下降)。从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态
(3)我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少。
典例精析
9
9
18
例1、如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报纸，然后回家。图中反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系。
根据图象回答下列问题：
典例精析
9
18
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
(2)小明吃早餐用了多少时间？
(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
(4)小明读报用了多少时间？
(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
典例精析
9
18
解：(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6km；由横坐标看出，小明到食堂用了8min.
(2)由横坐标看出，25-8=17，小明吃早餐用了17min.
(3)由纵坐标看出，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，
28-25=3，小明从食堂到图书馆用了3min.
典例精析
9
18
(4)由横坐标看出，58-28=30，小明读报用了30min.
(5)由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8km；由横坐标看出，68-58=10，小明从图书馆回家用了10min，由此算出平均速度是0.08km/min.
典例精析
9
18
例3.在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数.画出这些函数的图象：
(1) y=x+0.5 (2) y= (x＞0)
观察两个函数图象，随着x由小变大时，函数图象是怎样变化的？
随着x的增加，y的值也增加.
随着x的增加，y的值下降.
典例精析
9
9
18
y=x+0.5的图象，它是一条直线.
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0.5随之增大.
y=(x＞0)的图象，它是一条曲线.
从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y= (x＞0)随之减小.
归纳总结
9
9
18
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表---表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点---在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线---按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列曲线中表示y是x的函数的是( )
C
2．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m)随飞行时间t(s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为( )
A．5 m B．7 m C．10 m D．13 m
D
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．下列四个点中，在函数y＝－2x＋1的图象上的点是( )
A．(1，1) B．(－1，－3)
C．(－2，3) D．(2，－3)
4．已知点A(2，3)在函数y＝ax2－x＋1的图象上，则a的值为( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
D
A
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)求当x＝0时，y的值是多少？
(2)求当y＝0时，x的值是多少？
(3)当－2≤x≤1.5时，y随x的增大而怎么样变化？
解：由图象可知：(1)当x＝0，y的值是2
(2)当y＝0时，x的值是－3，－1，4
(3)当－2≤x≤1.5时，y随x的增大而增大
课堂练习
【综合拓展类作业】
6.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况.(如图所示)
(1)10时和13时，他分别离家多远
(2)他到达离家最远的地方是什么时间
离家多远
解:(1) 10时和13时，分别离家10千米和30千米;
(2)到达离家最远的时间是12时，离家30千米;
课堂练习
【综合拓展类作业】
(3)11时到12时他行驶了多少千米
(4)他可能在哪段时间内休息，并吃午餐
(5)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少
(4)他可能在12时到13时间休息，并吃午餐;
(3) 11时到12时，他行驶了13千米;
(5)路程30千米，共用了2时，因此平均速度为15千米/时.
课堂总结
概念
函数的
图象
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
1.列表；2.描点；3.连线.
描点法步骤
板书设计
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表---表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点---在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线---按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
1.如图，曲线反映了某地一天的气温 随时间
的变化情况，则这一天的最高气温约为 ( )
B. C. D.
2.荡秋千时，秋千离地面的高度 与摆动时间 之间的关系如图所示，
则下列结论正确的是( )
A. 随着 的增大而增大 B.秋千静止时离地面的高度为
C.秋千离地面的最大高度为 D.当 时，秋千离地面的高度为
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
C
D
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.某函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题：
（1）自变量的取值范围是_ ___________.
（2）当 时， _ ____________.
（3）当 ____时, 的值最大;当 _ _____时, 的值最小.
或 或4
1.5
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.小亮从家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进,跑累了再步行走完余下的路程，下图中，纵轴表示离家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合该学生走法的是( )
C
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是( )
D
作业布置
【综合拓展类作业】
6.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示，则下列结论：
(1)A，B两城相距________千米；
(2)乙车比甲车晚出发_______小时，_______(填“甲车”或“乙车”)先到达B城；
(3)乙车出发多少小时后追上甲车？
(4)当甲、乙两车相距50千米时，求时间t值．
300
1
乙车
作业布置
【综合拓展类作业】
(3)甲的速度为：300÷5＝60(千米/时)，乙的速度为：300÷(4－1)＝100(千米/时)，设乙车出发t小时后追上甲车，由题意得60(t＋1)＝100t，解得t＝1.5，故乙车出发1.5小时后追上甲车
(4)由题意得60t＝50或60t－100(t－1)＝50或100(t－1)－60t＝50或60t＝300－50，解得t＝或t＝1.25或t＝3.75或.当甲、乙两车相距50千米时，t＝或1.25或3.75或
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册19章
课标要求 1．探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义;了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例。2.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值。4.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义。5.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。6.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式;会运用待定系数法确定一次函数的表达式。7.能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0).探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况;理解正比例函数。8.体会一次函数与二元一次方程的关系。9.能用一次函数解决简单实际问题。
内容分析 函数的概念是数学中极为重要的基本概念，是“数与代数”中的重要内容，它的抽象性较强，是初二学生比较难理解和掌握的概念之一.一次函数是在学完平面直角坐标系的基础上学习的，学生对数形结合法有了一定的认识，它为本章的学习做了铺垫.一次函数是初中学生将要学习的各类函数中最简单的一种函数，它反映了函数的特点及函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好一次函数是学好其他函数的基础.研究一次函数离不开对图象特征的研究.数形结合是学习一次函数时必须体现的一种重要思想.要通过设置较多实际问题的一次函数图象，让学生观察、自己描点画图、研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，逐步形成解决一次函数问题的技能. 由于一次函数在现实生活中有着广泛的应用，因此，在具体的教学过程中，可以利用生活中的素材加深学生对函数现实意义的理解，促进其函数建模、数形结合等重要数学思想方法的形成，加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用，也可以利用所学的函数知识解决现实生活中的一些问题.
学情分析 八年级的学生正处于生长发育快速期，在课堂上表现为活泼好动，注意力容易分散，自我控制能力较弱，由于身体发展的因素，力量性不强，可塑性大，好胜心强，勇于克服困难，能够在解决问题的过程中，学会独立思考、合作探究，形成批判质疑、克服困难、勇于担当的科学精神，具备一定的创新意识。
单元目标 （一）教学目标1.以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是现实世界中变化规律的重要数学模型.2.结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.3.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.4.结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.（二）教学重点、难点教学重点：一次函数(包括正比例函数)教学难点:综合运用一次函数的知识解较复杂的实际问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1 函数419.2一次函数619.3课题学习—选择方案1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1函数1.了解常量、变量的概念,体验在一个过程中常量与变量相对地存在.2.通过实例，了解函数的概念.3.了解函数的三种表示法:4.会在简单情况下，根据函数的表达式求函数的值.1.会在简单的过程中辨别常量和变量2.能够在给定的直角坐标系中，根据坐标描出点的位置,以及由点的位置写出它的坐标.3.能够根据函数表达式,已知自变量的值,求相应的函数值：或已知函数值,求相应自变量的值.4.会在简单情况下求一些函数自变量的取值范围任务1.情景导入，用生活的例子初步探究常量与变量任务2.了解函数的三种表示方法，理解函数值的概念，使学生根据函数的表达式求函数的值任务3.例题精讲，列简单实际问题中的函数表达式，求一些函数自变量的取值范围.19.2一次函数1.理解正比例函数、一次函数的概念.2.会用待定系数法求一次函数的表达式，掌握待定系数法的一般步骤.3.利用函数图象了解一次函数的性质4.会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题.1.能够用待定系数法求一次函数的表达式2.会求一次函数的图象与坐标轴的交点3.能够利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.4.能够综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题任务1：复习导入，回顾函数的相关概念 任务2.探究新知，比较各函数的共同特征，理解正比例函数、一次函数的概念并求解析式任务3.合作学习，利用一次函数的图象探究一次函数的性质任务4.例题精讲19.3课题学习—选择方案1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法；3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法．学生能从不同的角度思考问题，解决问题任务1.导入新课任务2.出示例题任务3.总结归纳
《19章一次函数》单元教学设计
活动1：通过生活中的实例引入课题
活动3：思考两个量之间的关系
19.1.1变量与函数 (第1课时)
一次函数
活动2：出示问题引出常量与变量
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：思考问题，引出自变量，函数值等概念
19.1.1变量与函数(第2课时)
活动3：例题
活动1：复习引入
活动2：探究函数图象的画法
19.1.2函数的图象(第1课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：探究函数的三种表示方式
19.1..2函数的图象(第2课时)
活动3：例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题，写出关系式归纳正比例函数的概念
19.2..1正比例函数(第1课时)
活动3：例题
一次函数
活动1：复习引入课题
活动2：学生动手画正比例函数图象并归纳性质
19.2.1正比例函数 (第2课时)
活动3：探究正比例函数的简单画法
活动4：出示例题
活动1：引入课题
活动2：出示问题归纳一次函数的概念
19.2.2一次函数(第1课时)
活动3：例题
活动1：由生活实例引入课题
19.2.2一次函数(第2课时)
活动2：探究一次函数图象的画法并归纳其性质
活动3：例题
活动1：引入课题
19.2.2一次函数(第3课时)
活动2：探究求一次函数解析式的方法
活动3：例题
一次函数
活动1：引入课题
活动2：探究一次函数与方程与不等式的关系
活动3：例题
19.2.3一次函数与方程、不等式
活动2：出示问题，思考如何选择最合适
活动1：引入课题
活动3：例题
19.3课题学习-选择方案
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分课时教学设计
第一课时《19.1.2.1函数的图象》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是在学习函数概念的基础上，进一步讨论函数的图象，学习从函数图象上获取信息和函数图象的画法，初步讨论函数的变化规律和变化趋势．同时这节课对于学习函数、培养学生的探索能力、拓展学生的空间想象力都有十分重要的意义．
学习者分析 平面直角坐标系知识的遗忘，导致部分学生画图有些困难。还有部分学生不能理解本章内容和实际联系的重要性，学习上存在难度。
教学目标 1.理解函数的图象的概念； 2.掌握画函数图象的一般步骤,能画出一些简单的函数图象； 3.能根据所给函数图象读出一些有用的信息.
教学重点 能用适当的方式表示简单实际问题中的变量之间的函数关系
教学难点 能对函数关系进行分析，对变量的变化情况进行初步讨论
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：教师活动1： 下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？为什么？ 由图知对于自变量 t 的每一个确定的值，变量h 不是都有唯一确定的值与其对应，如t=4cm时，h=0.6cm或4cm或5cm.所以变量h不是变量t的函数. 蚂蚁离起点的水平距离 t 是离地高度 h 的函数吗？为什么？ 由图易知对于自变量 h 的每一个确定的值，变量 t 都有唯一确定的值与其对应.所以水平距离t是离地高度h的函数.学生活动1： 学生思考回答活动意图说明： 从实际问题出发，引导学生思考，留下疑问环节二：教师活动2： 即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观. 例如，正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2. 根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0.我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系. 计算并填写下表： 描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数值所对应的点. 连线：把所描出的各点用平滑的曲线连接起来. 归纳总结： 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 如上图的曲线即函数S=x2 (x＞0)的图象. 下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？ 可以认为，气温 T 是时间 t 的函数，上图是这个函数的图象. 由图象可知： (1)这一天中凌晨4时的气温最低(-3℃)，14时的气温最高(8℃) (2) 从0时至4时气温呈下降状态(即温度随时间的增长面下降)。从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态 (3)我们可以从图象中看出这一天中任一时刻的气温大约是多少。学生活动2： 在教师引导下，积极探寻，合作探究，归纳总结．活动意图说明：引导学生领会和掌握图象的意义，培养学生的观察、归纳、概括等探究能力．环节三：教师活动3： 例1、如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报纸，然后回家。图中反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系。 根据图象回答下列问题： (1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？ (2)小明吃早餐用了多少时间？ (3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？ (4)小明读报用了多少时间？ (5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？ 例3.在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数.画出这些函数的图象： (1) y=x+0.5 (2) y= (x＞0) 归纳总结： 描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表---表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点---在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线---按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.学生活动3： 积极思考、独立完成、踊跃回答。活动意图说明：通过例题，及时巩固，了解学生的理解掌握情况。
板书设计 描点法画函数图象的一般步骤如下： 第一步：列表---表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步：描点---在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步：连线---按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列曲线中表示y是x的函数的是( ) 2．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m)随飞行时间t(s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为( ) A．5 m B．7 m C．10 m D．13 m 3．下列四个点中，在函数y＝－2x＋1的图象上的点是( ) A．(1，1) B．(－1，－3) C．(－2，3) D．(2，－3) 4．已知点A(2，3)在函数y＝ax2－x＋1的图象上，则a的值为( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 选做题： 5.已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： (1)求当x＝0时，y的值是多少？ (2)求当y＝0时，x的值是多少？ (3)当－2≤x≤1.5时，y随x的增大而怎么样变化？ 【综合拓展类作业】 6.小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况.(如图所示) (1)10时和13时，他分别离家多远 (2)他到达离家最远的地方是什么时间 离家多远 (3)11时到12时他行驶了多少千米 (4)他可能在哪段时间内休息，并吃午餐 (5)他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，曲线反映了某地一天的气温 随时间 的变化情况，则这一天的最高气温约为 ( ) B. C. D. 2.荡秋千时，秋千离地面的高度 与摆动时间 之间的关系如图所示， 则下列结论正确的是( ) A. 随着 的增大而增大 B.秋千静止时离地面的高度为 C.秋千离地面的最大高度为 D.当 时，秋千离地面的高度为 3.某函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）自变量的取值范围是___________. （2）当 时， ____________. （3）当 ____时, 的值最大;当 _____时, 的值最小. 选做题： 4.小亮从家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进,跑累了再步行走完余下的路程，下图中，纵轴表示离家的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图象中较符合该学生走法的是( ) 5.如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→B→C→D→A运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是( ) 【综合拓展类作业】 6.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示，则下列结论： (1)A，B两城相距________千米； (2)乙车比甲车晚出发_______小时，_______(填“甲车”或“乙车”)先到达B城； (3)乙车出发多少小时后追上甲车？ (4)当甲、乙两车相距50千米时，求时间t值．
教学反思 本课设计的学习内容都是学生所熟知的事情，情景导入是由实例入手，这些内容有利于学生联系实际，主动进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动. 通过一些现实生活中用图象来反映的问题实例，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的过程. 教学生如何观察分析图象，学会观察图象的一般步骤，利用问题串的形式引导学生逐步深入获得图象所传达的信息，逐步熟悉图象语言.
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