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分课时学案
课题 19.3 正方形 单元 第19单元 学科 数学 年级 八年级下
学习目标 1、掌握正方形的定义和性质定理．2、会运用正方形的定义和性质进行有关的证明和计算．
重点 掌握正方形的性质及判定条件．
难点 会运用正方形的性质及判定进行有关的计算和证明．
教学过程
导入新课 【引入思考】探究一：正方形的判定： 用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形．问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义： 叫做正方形．
新知讲解 本节课来研究：标明学习内容 操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？总结：矩形+（ ）=正方形操作2:你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？总结：菱形+（ ）=正方形思考：如果是平行四边形呢？（ ）+ （ ）+平行四边形=正方形.你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？归纳：正方形的判定： ； ； 。探究二：正方形的性质：1.正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．归纳：正方形的性质 ； ； 。提炼概念（本节课主要内容提炼）判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形.判定方法3：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.典例精讲 例1、如图，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数.讨论：老师给学生-一个任务:从一-张彩色纸中剪出一个正方形.小明剪完后,这样检验它:比较边的长度，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这个任务，这种检验可信吗 小兵用另一种方法检验:他量的不是边，而是对角线,发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形这种检验对吗 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的4条线段，发现它们是相等的，按照小英的意见，这说明剪出的四边形是正方形.你的意见怎样 你认为应该如何检验,才能又快又准确呢
课堂练习 巩固训练 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C )A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分C．对角线相等 D．对角线平分一组对角2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C )A．14 B．15 C．16 D．173、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．4. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .必做题：1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．选做题：2．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．【综合拓展类作业】3.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
课堂小结
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 八年级下册 第19章
课标要求 掌握平矩形、菱形、正方形的概念；了解它们之间的关系；探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算；通过经历特殊平行四边形性质的探索过程，丰富学生从事数学活动的经验和体验，进一步培养学生的合情理推理能力；结合特殊四边形性质和判定方法以及相关问题的证明，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力．
内容分析 专注于三种基础的平面图形：矩形、菱形和正方形。这三种形状不仅在日常生活中随处可见，而且在几何学中占有重要地位．它们各自具有独特的性质，同时也存在许多共性。本章将深入探讨这三种形状的性质、特点、计算方法以及实际应用．
学情分析 通过深入学习华师大第19章关于矩形、菱形和正方形的知识，我们可以更好地理解和掌握这三种基础平面图形的性质、特点和计算方法．同时，通过实际应用和图示例题的讲解，我们也可以提高解决实际问题的能力．为了进一步提高学习效果，建议同学们多做练习题、积极参与课堂讨论并善于总结归纳所学知识．
单元目标 教学目标1、掌握平矩形、菱形、正方形的概念；了解它们之间的关系；2、掌握矩形，菱形，正方形的判定和性质，会用矩形，菱形，正方形的性质和判定解决简单问题会用矩形，菱形，正方形年的知识解决有关问题．（二）教学重点、难点教学重点：矩形、菱形、正方形的概念定义、性质和判定．教学难点：各种特殊的平行四边形之间的联系与区别．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架1.教材特点分析：教材为学生提供数学活动的线索：问题情境（以学生自身和周围环境中的现象，以自然、社会与其他学科中的问题为知识学习的切入点。突出数学与现实世界、与其他学科之间的联系，使学生感受到数学的现实意义和应用价值）。问题串（设立有层次的问题）——活动（自主探索与合作交流）——思考与整理（提炼出数学对象）——表达（用自己熟悉的方式、语言及数学符号表达学习对象）明晰（较为正规的数学语言表达主要的数学对象，形式多样化）“试一试”、“做一做”、“想一想”以及动手实践的过程：教材在提供学习素材的基础之上，依据学生已有的知识背景和活动经验，提供了大量的操作、思考与交流的学习机会。回顾与思考：以问题的形式出现，以帮助学生通过思考与交流，去梳理所学的知识、建立符合个体认知特点的知识结构。2.本章教学建议：1. 误认为所有的四边形都是矩形、菱形或正方形。实际上，四边形具有多种形态，这三种形状只是其中的一部分。2. 在计算面积和周长时，容易忽略单位的使用。要确保使用相同的单位进行计算，以避免结果出现错误。3. 在判定形状的性质时，需要注意充分条件和必要条件的区别。例如，虽然矩形的对角线相等且互相平分，但并非所有对角线相等且互相平分的四边形都是矩形。矩形、菱形和正方形在实际生活中的应用非常广泛。例如，房屋、门窗、地板等建筑设计中常常涉及矩形；菱形则常用于装饰艺术，如菱形图案的地毯或墙壁装饰；而正方形则广泛应用于棋盘、地砖、壁纸等。了解这些形状的性质和特点，有助于我们更好地理解和设计实际生活中的各种物品．3.重视数学思想方法的教学以“问题情景－－建立模型－－解释、应用与拓展、反思”的基本模式来展现空间与图形内容，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程。这与以前几何教材主要采取“定义－－性质－－例题－－习题”的结构形式，有较大区别．有“序”研究几何概念及其发展。按“特殊——一般——特殊”的认识规律，揭示新生知识之间的联系。红色：生成性知识蓝色过程性知识黑色方法性知识绿色终结性知识3 有“序”研究过程性知识和生成性知识．4.单元知识结构框架：课时安排课时编号单元主要内容课时数19.1.1.1 矩形的性质119.1.1.2 矩形的性质的运用119.1.2 矩形的判定119.2.1 菱形的性质1 19.2.2菱形的判定1 19.3 正方形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务19.1.1.1 矩形的性质1.理解矩形有关概念，根据定义探究并掌握矩形的有关性质.2.了解矩形在生活中的应用，根据矩形的性质解决简单的实际问题. 1.理解并掌握矩形的概念及其性质．2.矩形的性质的灵活应用．活动一：创设情境，导入新知。通过演示，让学生认识矩形与平行四边形的关系．活动二：类比平行四边形的性质，理解矩形与平行四边形的共性，探究矩形特有的性质及推论．19.1.1.2 矩形的性质的运用1. 掌握矩形的特殊性质．2.会应用矩形性质解决相关问题．1.掌握矩形的特殊性质．2.应用矩形性质解决相关问题.活动一：探索并掌握矩形的概念及其特殊的性质．活动二：在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力．19.1.2 矩形的判定1.探索并证明矩形的判定定理．2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题．1.矩形的判定．2．矩形的判定及性质的综合应用．活动一：类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法．活动二：激发学生的求知欲，从情景中看出数学问题，并且从此引入新课，调动起学生的积极性.活动三：巩固例题．19.2.1 菱形的性质1.经历菱形的性质的探究过程，掌握菱形的两条性质．2.能灵活运用这些定理进行有关的论证和计算． 1.菱形的性质与应用．2.探索菱形的特殊性质，运用菱形的性质解决问题．活动一：体会菱形与平行四边形之间特殊与一般的关系.活动二：强化探究四边形问题的一般思路．19.2.2菱形的判定1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用.2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.1.菱形判定定理的掌握和应用.2.菱形判定定理的灵活应用.活动一：经历探索菱形判定的过程，进一步发展合情推理能力.活动二：理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用.19.3 正方形1、掌握正方形的定义和性质定理．2、会运用正方形的定义和性质进行有关的证明和计算.1.掌握正方形的性质及判定条件.2.会运用正方形的性质及判定进行有关的计算和证明.活动一：进行探究活动．经历探究性质的过程，发展学生的合理论证能力.活动二：体会正方形是特殊的矩形、菱形和平行四边形．活动三：巩固例题.
《第19章 》单元教学设计
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分课时教学设计
第6课时《19.3 正方形 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 理解正方形的概念，了解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系．经历探究性质的过程，发展学生的合理论证能力．掌握正方形的有关性质和判定方法．
学习者分析 经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．
教学目标 1、掌握正方形的定义和性质定理． 2、会运用正方形的定义和性质进行有关的证明和计算．2
教学重点 掌握正方形的性质及判定条件．
教学难点 ．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入 【探究一：正方形的判定： 师：把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出什么形状的纸片？ 生：正方形． 师：正方形具有什么性质？本节课我们就对正方形的性质和判定进行探究． 学生活动1： 通过探究活动理解．学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知. 体会正方形是特殊的矩形、菱形和平行四边形．活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发.进行探究活动．经历探究性质的过程，发展学生的合理论证能力．环节二：新课讲解 操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？ 总结：矩形+（ ）=正方形 操作2:你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？ 总结：菱形+（ ）=正方形 师：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？ 菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什发现？ 生：有一组邻边相等的矩形是正方形． 有一个角是直角的矩形是正方形． 归纳：有一组邻边相等的矩形是正方形． 有一个角是直角的矩形是正方形． 思考：如果是平行四边形呢？ （ ）+ （ ）+平行四边形=正方形. 你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？ 归纳：正方形的判定： ； ； 。 探究二：正方形的性质： 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 师：请同学们归纳正方形的性质并填写下表： 师：请同学们完成正方形四边相等，四个角都是直角的证明． 生：根据命题画出图形、写出已知、求证并进行证明． 判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形. 判定方法2：有一个角是直角的菱形是正方形. 判定方法3：有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形. 结论：正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质． 学生活动2： 学生相互交流． 学生可相互交流，学生自主探究，得出结论 掌握正方形的定义和性质定理．1世活动意图说明： 指导学生建立模型，鼓励学生大胆探索．经历探究正方形判定条件的过程，发展学生初步的综合推理能力，主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法． 环节三：例题讲解 例1 如图，已知正方ABCD．求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数． 证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AC⊥BD，∴∠DOC=90° 在△ABO与△CBO中 ∴ △ABO≌△CBO ∴∠ABO=∠CBO ∴∠ABD=1/2×90°=45° 同理可得∠DAC=45° 学生活动3： 学生观察并回答教师规范解答，教师出示练习题组，学生尝试练习师巡视，个别指导. 巩固例题． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学．会运用正方形的性质及判定进行有关的计算和证明．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．17 选做题： 3、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 【综合拓展类作业】 4. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）． 选做题： 2．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G. (1)求证：BE＝AF； (2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长． 【综合拓展类作业】 3.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
教学反思 课堂小结
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共26张PPT)
19.3 正方形
华师大版 八年级 下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
学习目标
1.探索并证明正方形的性质和判定定理，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别.
2.会应用正方形的性质和判定定理解决相关证明及计算问题.
新知导入观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.新知讲解
合作学习
矩 形
〃
〃
问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
问题2：菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
边相等
有一组邻
操作1：你能否利用手中的矩形白纸裁出一个正方形呢？请你与同学交流一下，你能说说矩形与正方形的关系吗？
总结：矩形+（ ）=正方形
判定方法：有一组邻边相等的矩形是正方形.
判定方法：有一个角是直角的菱形是正方形.
是直角
有一个角
操作2:你能否利用手中的可以活动的菱形模型变成一个正方形吗？如何变？
总结：菱形+（ ）=正方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形的判定方法吗？
思考
你能从这个变化过程中给正方形下定义吗
有一个角是直角的菱形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
是直角
有一个角
边相等
有一组邻
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角为直角的菱形.如图.
提炼概念
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等.
2.正方形的对角线相等且互相垂直平分.
典例精讲
A
C
D
B
O
例1、如图，已知正方形ABCD，求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数.
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，∴∠DOC=90°
在△ABO与△CBO中
∴ △ABO≌△CBO ∴∠ABO=∠CBO
∴∠ABD= 同理可得∠DAC=45°
从图中可看出，
⑴在正方形中产生了哪些特殊图形？
⑵产生了哪些特殊角？
D
O
A
B
C
450
450
450
450
450
450
450
450
4个全等的小等腰直角三角形和4个全等的大等腰直角三角形.
900和450
正方形图形“庐山真面目”
归纳概念
1 .定义法：
2.矩形法：
4.对角线法：
一邻边相等
一个直角
+
+
平行四边形
=
正方形
3.菱形法：
一邻边相等
+
矩形
=
正方形
一个直角
+
菱形
=
正方形
互相平分
+
互相垂直
相等
+
=
正方形
课堂练习
必做题
1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线相等 D．对角线平分一组对角
C
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
C
选做题
3、如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE=CF．BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE=DF，且BE⊥DF．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC,∠BCE =90° ，
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°，
∴∠BCE=∠DCF．
又∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF．
∴BE=DF．
综合拓展题
4. 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形.求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° .
证明：∵ ΔBEC是等边三角形，
∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，
∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，
∴△ABE，△DCE是等腰三角形，
∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，
∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
课堂总结
5种识
别方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
作业布置
必做题
1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
选做题
2．如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.
(1)求证：BE＝AF；
(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD，∵DE＝CF， ∴AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)，∴BE＝AF
(2)∵△BAE≌△ADF，
∴∠EBA＝∠FAD，
∴∠FAD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵AB＝4，DE＝1，
∴AE＝3，
∴BE＝＝＝5，
S△ABE＝AB×AE＝BE×AG，∴AG＝＝
综合拓展题
3.在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗 为什么
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
谢谢
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