辽宁省盘锦市辽东湾高中2023-2024学年高二下学期4月份月考数学试卷（含解析）

盘锦市辽东湾实验高级中学高二年级4月份月考
数学试卷
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分）
1．设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．2 B．1 C． D．6
2．如果方程表示的曲线为椭圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
3．古印度数学家婆什迦罗在《莉拉沃蒂》一书中提出如下问题：某人给一个人布施，初日4德拉玛（古印度货币单位），其后日增5德拉玛.朋友啊，请马上告诉我，半个月中，他总共布施多少德拉玛？在这个问题中，这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为（ ）
A．413 B．427 C．308 D．133
4．将分别标有数字，，，，的五个小球放入，，三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，且盒子中只放一个小球，则不同的放法数为（ ）
A．28 B．24 C．18 D．12
5．在数列中，已知，，则的前11项的和为（ ）
A．2045 B．2046 C．4093 D．4094
6．已知各项均为正整数的数列满足若，则所有可能的取值之和为（ ）
A．15 B．29 C． D．41
7．如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．设椭圆的左，右焦点分别为，直线过点，若点关于的对称点恰好在椭圆上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）
A．若数列的前项和，则数列为等比数列
B．若的前项和，则数列为等差数列
C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列
D．若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列
10．如图，已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的动点，则以下叙述正确的是（ ）
A．存在点P，使得平面
B．若点P在线段CD上运动，则点P到直线BF的最近距离为
C．若点P到直线与到直线AD的距离相等，则点P的轨迹为抛物线的一部分
D．若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为
11．1202年，意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，在书中收录了一个有关兔子繁殖的问题.他从兔子繁殖规律中发现了“斐波那契数列”，具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为斐波那契数列，其前n项和为，并且满足，，，则关于斐波那契数列，以下结论正确的是（ ）
B．
C． D．
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12．的展开式中的系数为 ．
13．已知、为实数，函数在处的切线方程为，则的值 .
14．等比数列的前项积为，并且满足，现给出下列结论：①；②；③是中的最大值；④使成立的最大正整数n是2019，其中正确的结论序号是 .
四：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．
(1)求的值；
(2)设抛物线上一动点到直线的距离为，求的最小值．
16．（15分）已知为正项数列的前n项和，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
17．（15分）某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18．（17分）设正项数列的前n项和为，且满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若，数列的前n项和为，对任意，恒成立，求实数的取值范围．
19．（17分）已知双曲线的实轴长为2，且过点.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设双曲线C的左，右顶点分别为A，B，点P在双曲线C上，过点P作双曲线的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记AM，BN的斜率分别为，，证明：为定值.
参考答案：
1．B
【分析】
由导数的概念求解.
【详解】由已知有，
则.
故选：B
2．D
【分析】
根据题意，结合椭圆的标准方程，列出不等式，即可求解.
【详解】若方程为椭圆方程，则满足，解得且.
故选：D.
3．A
【分析】
根据题意，初日4德拉玛，以后每日等量增加5德拉玛，故每日德拉玛数依次构成等差数列，利用等差的通项公式和前项和公式求解.
【详解】由题知，每日德拉玛数依次构成等差数列，设数列首项为，公差为，则，.
则通项公式，，，
则这人15天的最后7天布施的德拉玛总数为：
.
故选：A
4．C
【分析】
先将五个小球分为，，或，，三组，再分配到三个盒子中.
【详解】第一种情况，将五个小球按，，分为三组，则安排的方法有种；
第二种情况，将五个小球按，，分为三组，则安排的方法有种.
不同的放法数为18.
故选：.
5．C
【分析】
根据给定条件，求出，再利用并项求和法，即可计算得解.
【详解】由，得，而，解得，
所以的前11项的和
.
故选：C
6．B
【分析】
根据题意，先推断出，得，将按奇数偶数分类，可得的值，同理可得.
【详解】因为，所以，所以，.
若为奇数，则，；若为偶数，则，.
当时，同理得或（舍去）；当时，同理得或.
故所有可能的取值之和为.
故选：B
7．D
【分析】
由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.
【详解】
因为，，
可得，，
又因为，，
可得，
，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故选：D.
8．D
【分析】
利用椭圆的定义及平面向量数量积公式，结合余弦定理解三角形并构造齐次式方程计算离心率即可.
【详解】设，
由已知可得，，
根据椭圆的定义有，
又，所以，
在中，由余弦定理可得，
，
即，整理得，
解方程得或(舍去)，
故选：D.
【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）．
9．AD
【分析】
对选项A，利用与的关系判断即可判断，对选项B，利用特值法即可判断，对选项C，利用特值法即可判断，对选项D，根据等差数列公式即可判断.
【详解】对选项A，当时，，
当时，
取时，，此时也满足，
故的通项公式为
所以数列为等比数列，故A正确；
对选项B，，
，不满足数列为等差数列，故B错误；
对选项C，当时，为等比数列，
，
不满足成等比数列，故C错误；
对选项D，设等差数列的公差为，首项是，，
，
，
因此，则成等差数列，故D正确.
故选：AD.
10．BCD
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用空间向量求出点到直线距离判断B；利用抛物线定义判断C；作出点P的轨迹并求出长度判断D.
【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于A，，设，，
设平面的法向量，则，令，得，
由，解得，与矛盾，即与不共线，因此不垂直于平面，A错误；
对于B，，点，，
则点P到直线BF的距离
，当且仅当时取等号，则点P到直线BF的最近距离为，B正确；
对于C，由平面知，点P到直线的距离等于点P到点的距离，
因此点P到点的距离等于点P到直线AD的距离，由抛物线的定义知点P的轨迹为抛物线的一部分，C正确；
对于D，取的中点，连接，如图所示：

由分别是棱的中点，得，平面，平面，则平面，
由且，得为平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面，而，平面，
因此平面平面，由与平面无公共点，平面，得平面，
又点为底面内（包括边界）的一动点，平面平面，
则是点在底面内的轨迹，，
所以点的轨迹长度为，D正确.
故选：BCD
11．BC
【分析】
根据斐波那契数列满足的条件，结合累加法，逐项计算判断即得.
【详解】斐波那契数列中，，，，
，A错误；
当时，，，三个式子相加，得：，B正确；
当时，，则
，C正确；
当时，，则
，D错误.
故选：BC
12．
【分析】
利用二项式定理展开式的通项公式可求答案.
【详解】
二项式的展开式通项公式为，
当时，，当时，，
因此展开式中含的项为，故所求系数为.
故答案为：24.
13．21
【分析】
求导，点斜式得到直线方程，对应项相等得.
【详解】
由，得，
则，又，则切线方程为，
即
，得
故答案为：21.
14．②
【分析】由可得公比的范围，结合数列的单调性，对四个选项进行逐一判断即可.
【详解】因为，故可得，因为，故可得，
因为，若，则和均大于1，与已知矛盾，故，
因此，，数列是个递减数列.
对①，因为数列是个减数列，且，故，故①错误；
对②，，因为，故，故②正确；
对③，，因为，数列是减数列，且，，故中最大值为，故③错误；
对④，，，故成立的最大自然数是2018，故④错误.
综上所述，只有②正确.
故答案为：②
15．(1)，，
(2)
【分析】
（1）求出函数的导数，根据题意可得关于的方程，解方程，即可求得答案；
（2）利用导数的几何意义求出点M的坐标，再根据点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】（1）
根据题意可知，将分别代入两曲线方程得到，．
两个函数的导函数分别是，，
又，，则，
解得，，．
（2）
要使抛物线上的点M到直线的距离最短，
则抛物线在点M处的切线斜率应该与直线相同，则，
解得，又因为点M在抛物线上，解得．
所以最短距离即的最小值为点M到直线的距离，
代入点到直线的距离公式得．
即最短距离为
16．(1)
(2)
【分析】
（1）利用变形整理可得数列为等差数列，利用等差数列的通项公式求解即可；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）由题意知：且，
两式相减，可得，
，可得，
又，当时，，即，
解得或（舍去），所以，
从而，所以数列表示首项为1，公差为1的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）由，
可得
，
所以.
17．(1)填表见解析；性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
(2)，
(3)分布列见解析；期望为
【分析】
（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，即可得结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，由二项分布即可得和；
（3）易知的所有可能取值为，利用超几何分布公式求得概率即可得分布列和期望值.
【详解】（1）
根据统计表格数据可得列联表如下：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
（2）
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得，
故，．
（3）
易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以的所有可能取值为；
且服从超几何分布：
故所求分布列为
0 1 2 3
可得
18．(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意，由与的关系，结合等差数列的定义，即可得到结果；
（2）根据题意，由裂项相消法可得，然后转化为，令，则即可.
【详解】（1）因为，所以，，
两式相减可得，，即，，
又数列的各项为正数，所以，，
且，，解得，所以上式也成立，
即数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以
（2）由（1）可知，，则，
所以
，
所以，
由可得，
即，
令，则即可，
当时，，
当时，由，
当时，，所以，
当时，，即，所以，
所以为中的最大值，且，所以，
即的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，对进行裂项，从而得解.
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，列出方程求得的值，即可求得双曲线的方程；
（2）设直线l的方程为，联立方程组，结合，得到，再联立方程组得到，，化简得到，即可得证.
【详解】（1）解：由双曲线的实轴长为2，可得，所以，
又因为在椭圆上，可得，解得，
所以双曲线C的方程为.
（2）解：易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，且，
联立方程组，整理得，
由，可得，可得，
联立方程组，整理得，
则，，
因为，所以，
又因为，
代入可得，由于，则，
由于点M在点N的左侧，故，
所以，
代入可得，
又因为，则，
所以为定值，定值为.
【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.