丰城中学2023-2024学年下学期高二第一次段考试卷
数 学
本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟
考试范围：选择性必修一第6,7章、选择性必修二等差数列、圆锥曲线、立体几何、计数原理。
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1.5个人排成一列，已知甲排在乙的前面，则甲、乙两人相邻的概率是.( )
A. B. C. D.
X 0 1 2 3
P a 5a
2.已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：
若离散型随机变量，则( )
A. B. C. D.
3.某考生回答一道四选一的单项选择考题，假设他知道正确答案的概率为，知道正确答案时，答对的概率为，而不知道正确答案时，猜对的概率为，那么他答对题目的概率为( )
A. B. C. D.
温度 18 19 20 21 22
销售量 79 84 m 94 96
4.下表是茶颜悦色“幽兰拿铁”一天的销售量单位：杯与温度单位：摄氏度的对比表，根据表中数据计算得到y关于x的经验回归方程是，则m的值为( )
86 B. 88 C. 90 D. 92
1 2
5.设的分布列为，则( )
A. 10 B. 30 C. 15 D. 5
6.已知随机变量的分布列如右图：则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7.设等差数列的前n项和分别为，若，则( )
A. B. C. D.
8.以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把和折成的二面角.若，，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.有一组样本数据，由这组样本数据得到的经验回归方程为，则( )
A. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
B. 经验回归直线必经过点
C. 若样本数据的残差为1，则样本中必有数据的残差为
D. 样本相关系数时，样本数据都在直线上
10. 某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析高分学生的成绩分布情况，计算得到这名学生中，成绩位于内的学生成绩方差为，成绩位于内的同学成绩方差为.则（ ）
参考公式：样本划分为层，各层的容量 平均数和方差分别为：、、；、、.记样本平均数为，样本方差为，.
A.
B. 估计该年级学生成绩的中位数约为
C. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的平均数为
D. 估计该年级成绩在分及以上的学生成绩的方差为
11.设，F为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，且椭圆上至少有17个不同的点，，，，组成公差为d的递增等差数列，则( )
A. 的最大值为 B. 的面积最大时，
C. d的取值范围为 D. 椭圆上存在点P，使
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
11.已知数列中，，，且数列为等差数列，则__________
12.某市有30000人参加阶段性学业水平检测，检测结束后的数学成绩X服从正态分布，若，则成绩在140分以上的大约为__________人．
13.将五个字母排成一排，均在C的同侧，记之间所含其它字母个数为，则方差__________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（15分）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式； (2)求数列的前项和．
16. 在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别为的中点，直线与相交于点．
(1)求到平面的距离；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 40
女生 30
合计
17.2023年我校成功获得宜春市数理特色学校称号，在狠抓教学质量的同时，校领导要求团委积极组织课外活动，丰富学生课余生活，本学期团委准备组建足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机在高一年级抽取了男 女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
（1）根据所给数据完成上表，并判断是否有的把握认为我校学生喜欢足球与性别有关？
（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生进球的概率为，女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.
附：.
年份 2019 2020 2021 2022 2023
年份代码 1 2 3 4 5
综合产值 23.1 37.0 62.1 111.6 150.8
18..2024年3月4日，丰城市农业局在市委组织下召开推进湖塘-董家富硒梨产业高质量发展专题会议，安排部署加快推进特色优势产业富硒梨高质量发展工作，集中资源 力量打造“富硒梨”公共品牌.丰城市为做好富硒梨产业的高质量发展，项目组统计了某果场近5年富硒梨产业综合总产值的各项数据如下：年份x，综合产值y（单位：万元）
(1)根据表格中的数据，可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系，请用相关系数加以说明（精确到0.01）；
(2)求出y关于x的经验回归方程，并预测2024年底该果场富硒梨产业的综合总产值.
参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：；
参考数据：
19.已知双曲线E：的右焦点为，一条渐近线方程为．
(1)求双曲线E的方程；
(2)是否存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．高二数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A A B D A A A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0。
9 10 11
BD BCD ABC
三．填空题 本题共3小题，每小题5分，共15分
12． 13． 150 14．
四．解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15.解（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，即，解得，
所以，
（2）令，解得，且，
当时，则，可得；
当时，则，可得
；
综上所述：.
16.解（1）由平面，且、平面，
故、，又底面为正方形，
故，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则、、、、,
则，，，
设平面的法向量为，
则有，即，令，则有、，故可为，
则到平面的距离；
（2）、，则，
则有，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17解：根据题意，得到列联表如下：
喜欢足球 不喜欢足球 合计
男生 60 40 100
女生 30 70 100
合计 90 110 200
可得，
所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.
（2）解：由题意，人进球总次数的所有可能取值为，
可得，，
，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望为.
18.解（1）由题设，则，，，
所以，两个变量有强相关性，
故可用一元线性回归模型刻画变量y与变量x之间的线性相关关系.
（2）由（1），，，
所以，
当，则万元.
19.解（1）因为双曲线E的一条渐近线方程为，所以，又，
因此，又，，；
则E的方程为．
（2）假设存在过点的直线l与双曲线E的左右两支分别交于A，B两点，且使得，
设，，中点为，又，
由可知为等腰三角形，，且直线l不与x轴重合，
于是，即，
因此，，（Ⅰ）
点在双曲线上，所以，
①②化简整理得：，，即，可得，（Ⅱ）
联立（Ⅰ）（Ⅱ）得：，，，
解得（舍去），适合题意，则；
由得，
所以直线l的方程为：，即．
