丰城中学2023-2024学年下学期高一第一次段考试卷
数 学
本试卷总分值为150分 考试时长为120分钟
考试范围：必修二 三角函数、平面向量
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．大于的角都是钝角 B．锐角一定是第一象限角
C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角
2．我们学过的度量角有角度制与弧度制，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．已知函数，为了得到的图象，只需将的图象（ ）
A．向右平移个长度单位 B．向左平移个长度单位
C．向右平移个长度单位 D．向左平移个长度单位
5．为所在平面内的一点，满足，若，则
A．， B．，
C．， D．，
6．已知函数的最小正周期为，且函数过点，现有如下说法：
①； ②函数的单调递增区间为；③．其中正确说法的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图， A 、 B 、 C 三点在半径为1 的圆 O 上运动，且， M 是圆 O 外一点，，则的最大值是（ ）
A．5 B．8 C．10 D．12
8．已知函数 ，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法不正确的是（ ）
A．已知均为非零向量，则 存在唯一的实数，使得
B．若向量共线，则点必在同一直线上
C．若且，则
D．若点为的重心，则
10．函数（，，）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递增
D．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
11．定义：两个向量的叉乘为（为的夹角），则下列说法正确的是（ ）
A．若，
B．
C．若四边形为平行四边形，则它的面积等于
D．若，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知，则 ．
13．水车又称孔明车，是以水流为动力的机械装置，是我国古老的农业灌溉工具.如图，某水车的半径为4米，圆心距离水面2米，每分钟逆时针匀速旋转5圈.当水车上点从水中浮现时（图中点）开始计时，已知点距离水面的高度（米）关于时间（秒）的函数为，则 ；点第一次到达最高点大约需要 秒.
14．定义在上的函数满足，且关于对称，当时，，则 .（注：）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）化简求值：．
16．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，，，且，，三点共线．
(1)求实数的值；
(2)若，，求的坐标；
(3)已知，在（2）的条件下，若四边形是平行四边形，求点的坐标．
17．已知函数，相邻两条对称轴的距离为．
(1)若为偶函数，设，求的单调递增区间；
(2)若过点，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围．
18．在中，设，若，与交于点，
(1)用表示； (2)在线段，上分别取，使过点，设，求的最小值.
19．已知函数的图象相邻两条对称轴间的距离为，且过点. (1)若函数是偶函数，求的最小值；
(2)令，记函数在上的零点从小到大依次为、、、，求的值；
(3)设函数，，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，若恒有成立，则称函数是上的级周期函数，周期为.是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论.参考答案
1．B 2．C 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C
3 2k 1
k
8 C 3
1
． 解：由题意知 , k1,k2 Z
4
，则 , k , k Z ，
k k '
1 2
3 2
2 2 4
其中 k k2 k1, k ' k1 k2，
又 f(x)在（ ， ）上有且只有一个最大值，且要求 最大，
15 5
则区间（ ， ）包含的周期应最多，
15 5
2 3 2k 1
所以 2T ，得 0< ≤30，即 30，所以 k≤19.5.
5 15 15 4
分类讨论：
117 3
k
1
①.当 k=19时， 3，此时 可使 , k , k Z 成立，
4 4
1 2
k2 3 2
117 3
当 x , 时， x 2.7 ,6.6 ，
15 5 4 4
117x1 3 所以当 4.5 或6.5 时， f x 3都成立，舍去；
4 4 1
k 111 1
②.当 k=18时， ，此时 3可使 , k1,k2 Z 成立4 4 k
3 2
2
x , 111 x 2.1 ,5.8 111x当 时，
3
，所以当 1 2.5 或 4..5 时，
15 5 4 4 4 4
f x1 3
105 3
都成立，舍去；③.当 k=17时， ，此时 可使
4 4
k 3 1
, k ,k Z 成立，
1 2
k
3 2 2
x , 105 x 3 当 时， 2.5 , 6
105x 3
，当且仅当 1 4.5 时， f x 3都
15 5 4 4 4 4 1
成立，
105
综上可得：ω的最大值为 .
4
9．BC 10．ABC 11．ACD
解：A选项，若 a b 0，则 a b a b sin 0，若 a,b至少有 1个为零向量，则满足
a
/ /b，若 a,b 都不是零向量，则有sin 0，即 a,b同向或反向，故 a / /b，
试卷第 5页，共 5页
{#{QQABBQaUggAIAJIAABgCAQWQCEIQkAEACCoGwEAMIAAAyAFABAA=}#}
综上：A正确； (a b )
a b sin a ,b， ( a) b a b sin a
,b ，
若 λ 0，则 ( a
) b a b sin a ,b ，此时 (a b ) ( a) b；
若 0，则 ( a
) b a b sin a ,b ，此时 (a b ) ( a ) b，
故 B错误；若四边形 ABCD为平行四边形，则它的面积为
1 2 AB AD sin AB, AD AB AD sin AB, AD AB AD，故 C正确；
2
a b a b sina ,b 3 a ， b a b cosa
,b 1 ，两式平方后相加得： a b 2，
2 a b a 2a b b 2 a2 2 b 2 2 a b 2 6，
当且仅当 a
b 时，等号成立，故 | a b |的最小值为 6 ，D正确.
12． 1,8 13． 0 4 14． 1012
解：因为 f 1 3x f 1 3x ，令 t 3x，则 f 1 t f 1 t ，
所以，函数 f x 的图象关于直线 x 1对称，则 f 2 x f x ，
因为函数 f 2x 4 的图象关于点 2,0 对称，
设 g x f 2x 4 ，则 g x g 4 x 0，
即 f 2x 4 f 2 x 4 4 0，即 f 2x 4 f 2x 4 0，
令 s 2x 4，则 f s f s 0，故函数 f x 为奇函数，
所以 f 2 x f x f x ，则 f 4 x f 2 x f x ，
故函数 f x 是周期为 4的周期函数，
则 f 0 0，当 0 x 1 x 0时， f x 2 a，则 f 0 2 a 0，可得 a 1，
即当 0 x 1时， f x 2x 1，所以， f 1 2 1 1， f 2 f 0 0，
f 3 f 1 f 1 1， f 4 f 0 0，
2024
所以， k 1 f k 2 f 1 3 f 2 4 f 3 5 f 4 2025 f 2024
k 1
2 4 6 8 2022 2024
2 4 6 8 10 12 2022 2024 2 506 1012 .
16 31
15．（1） ； （2）
25 12
试卷第 6页，共 5页
{#{QQABBQaUggAIAJIAABgCAQWQCEIQkAEACCoGwEAMIAAAyAFABAA=}#}
3
16．(1) (2) ( 7, 2) (3) 10,7 .
2
7π π 5 5
17．(1) kπ ,kπ k Z (2)
, .
12 12 4 4
所以 f x cos2x π π，则 g x f x cos 2x
12
，
6
所以 2kπ π
π 7π π
2x 2kπ， k Z，即 kπ x kπ ， k Z，
6 12 12
所以 g x 7π π 单调递增区间为 kπ ,kπ k Z； 12 12
（2）因为 f x π π过点 ,1 ，所以 sin
1, (0 π)，可得
π
，
6 3 6
f x sin 2x π x 0, π 2x π π , 7π 所以 ，又 2 ，所以 2 ，所以 6 2 6 6 6
f x2
π 1
sin 2x2
,1 ，
6 2
π π π
对任意的 x1 , , x2 2 2
0, ，都有h x1 f x2 2 3成立，
所以 h x1 f x 3,
1 5
max 2 min 即 h x1 3 max ，2 2
h x cos2 x 2asin x sin2 x 2asin x 1 a2 1 (sin x a)2，
由 x
π π
1
, 2 2
，设 t sin x1 1,1 ，
g t a2 1 (t a)2则有 图象是开口向下，对称轴为 t a的抛物线，
当 a 1时 g t 在 t 1,1 上单调递增， g(t)max g 1 2a，即 2a 5 2，
5 5
解得 a ，所以1 a ；
4 4
5
当 a 1时 g t 在 t 1,1 上单调递减， g(t)max g 1 2a，即 2a ，2
5 5
解得 a ，所以 a 1；
4 4
当 1 a 1 2时， g(t) g a a 1，所以 a2 5 1 6 6max ，解得2 a ，2 2
所以 1 a 1，
a 5 , 5 综上所述：实数 的取值范围为 .
4 4
1
18．(1) a
3
b (2) 4 2 3
7 7 7
π 2mπ
19、(1) (2)4π (3)存在，且 m Z 满足题意，其中T满足
6 T T 2
T 1，
：解（1）所以， 2m
π
kπ π kπ π k Z ，解得m k Z ，
6 2 2 6
π
故当 k 0时， m取最小值，且其最小值为 .
6
试卷第 7页，共 5页
{#{QQABBQaUggAIAJIAABgCAQWQCEIQkAEACCoGwEAMIAAAyAFABAA=}#}
（2）解：由 g x 3 f x 1 3sin 2x
π π 1 1 0 ，可得 sin
2x
6 6
，
3
即 2 x1 2x2 2x3 x4 π 9π，解得 x1 2x2 2x3 x4 4 π .
x x
（3）解：因为 f x sin 2x π 1 1 π 1 6 ，所以， h x f x sin x， 2 2 12 2
1 x
假设存在非零实数 ，使得函数 h x 2 sin x 是
R上的周期为T的T级周期函数，
x T x
即 x R，恒有 h x T T h x 1 1，则 x R ，恒有 sin x T T
sin x
2 2
T
成立，则 x R，恒有 sin x T T 2 sin x 成立，
当 0时， x R，则 x R， x T R，所以， 1 sin x 1， 1 sin x T 1，
要使得 sin x T T 2 T sin x 恒成立，则有 T 2T 1 .
1 x 1
当 T 2T 1时，则T 0，即 2T ，令 p x 2 ，其中 x 0，
T x
p 1 则 2 2 0， p 1 2 1 1 0 ，且函数 p x 在 0, 上
2
的图象是连续的，
由零点存在定理可知，函数 p x 在 0, 上有唯一的零点，
此时， sin x T sin x恒成立，则 T 2mπ m Z ，即
2mπ m Z ；
T
当 T 2T 1时，则T 0，即 T 2 T x，作出函数 y x、 y 2 的图象如下图所示：
x
由图可知，函数 y x、 y 2 的图象没有公共点，故方程 T 2T 1无实数解.
2mπ综上所述，存在 m Z 满足题意，其中T满足
T T 2
T 1 .
试卷第 8页，共 5页
{#{QQABBQaUggAIAJIAABgCAQWQCEIQkAEACCoGwEAMIAAAyAFABAA=}#}
试卷第 9页，共 5页
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第 10 页 共 10 页
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