江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含解析）

2023-2024（下）江西省宜丰中学高一3月月考数学试卷
一、单选题（40分）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．某学校高三、高二、高一年级学生人数分别为600、400、300人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取52人进行调查，则从高二年级中抽取的人数为（ ）
A．12 B．16 C．18 D．24
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．非充分非必要条件
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．2
8．已知函数，若，，且在上单调，则的取值可以是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
二、多选题（20分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．与的终边相同
10．已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是 B．若，则
C．在上的投影数量为 D．若，则
11．已知函数,则下列描述正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．是函数图象的一个对称轴
C．是函数图象的一个对称中心
D．若函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象,则为奇函数
12．已知，函数，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若在上单调递增，则的取值范围是
C．若函数有2个零点，则的取值范围是
D．若的图象上不存在关于原点对称的点，则的取值范围是
三、填空题（20分）
13．命题“”的否定是 ．
14．设是不共线的向量，若三点共线，则的值为 ．
15．函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 .
16．在中，已知点在线段的延长线上，且，点在线段上（与点，不重合）．若，则x的取值范围是 ．
四、解答题（70分）
17．已知向量.
(1)若，求；
(2)若，求与的夹角.
18．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点
(1)求sinα和tanα的值
(2)若，化简并求值
19．某校为了解该校男生的身高情况，随机抽取100名男生，测量他们的身高（单位：厘米），将测量结果按分成六组.得到如图所示的频率分布直方图.
(1)估计该校男生身高的中位数；
(2)若采用分层抽样的方法从身高在和内的男生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人的身高在内的概率.
20．如图，在中，点在线段上，且.
(1)用向量表示；
(2)若，求的值.
21．已知变换：先纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度；变换：先向左平移个单位长度，再纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍.请从，两种变换中选择一种变换，将函数的图象变换得到函数的图象，并求解下列问题.
求的解析式
求函数的单调递减区间
求的最大值以及对应的取值集合.
22．已知定义在上的函数，且是偶函数．
(1)求的解析式；
(2)当时，记的最大值为．，若存在，使，求实数的取值范围．
2023-2024（下）江西省宜丰中学高一3月月考数学参考答案
1．C【详解】.故选：C
2．B【详解】设从高二年级抽取的人数为，则，解得：.故选：B.
3．A【详解】若，则，即，故，充分性成立，不妨设，此时，但不满足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要条件.故选：A
4．B【详解】因为，所以，故选：B.
5．D【详解】由向量满足，
因为，可得，解得，故选：D.
6．A【详解】正三角形的面积为，圆弧的长度为，故一个弓形的面积为，故“莱洛三角形”的面积为.故选：A
7．A【详解】由，得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值4.故选：A
8．A【详解】因为，故时，函数取到最大值，又，可知为的对称中心，故，故；又在上单调，故，即，
结合选项，当时，，时，函数取到最大值，
故，则，结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，函数取到最大值，故，则，结合，没有符合题意的值，不合题意；
当时，，时，取到最大值，故，则，结合，可得，则，由，得，由于在上不单调，故在上不单调，不合题意；当时，，时，取到最大值，故，则，结合，可得，则，满足为的对称中心，由，得，由于在上单调递减，故在上单调递减，符合题意；
故，故选：A
9．ABD【详解】A：对应的弧度为，所以对应的弧度为，故A正确；B：1对应的角度为，所以对应的角度为，故B正确；C：对应的弧度为，故C错误；D：，，所以这两个角的终边相同，故D正确.故选：ABD
10．AC【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确；对于B，因为，所以，又，且，所以，解得，故B错误；对于C，因为，所以，，
所以在上的投影数量为，故C正确；对于D，因为，又，且，所以，解得，故D错误．故选：AC.
11．ACD【详解】函数的最小正周期,故A正确;,所以关于对称,故B错误;,所以是函数图象的一个对称中心,故C正确;
根据题意,
则,所以为奇函数,故D正确.故选:ACD.
12．ABD【详解】对于A，因为，函数在上单调递增，所以当时，，正确；对于B，由在上单调递增知，解得，正确；对于C，当时，函数，作出函数的图象，如图：由图知，直线与函数有两个交点，则方程有两个根，即函数有2个零点，显然，错误；对于D，易知与函数的图象关于原点对称的函数为，作出示意图：
要使若的图象上不存在关于原点对称的点，则，即，
解得，即的取值范围是，正确.故选：ABD
13．【详解】命题“”的否定是：“”．
故答案为：．
14．【详解】解：因为是不共线的向量，所以可以作为平面内一组基底，因为，所以，因为三点共线，所以，所以，解得故答案为：
15．【详解】因为为偶函数，则有，故的图像关于对称，则有①，是奇函数，则②， 联立①②可得：，变形为，所以，则是周期为的周期函数，所以，
又当时，，所以.故答案为：.
16．【详解】如图所示，设，
则，
又因为，点在线段上（与点、不重合），
所以，又因为，所以.故答案为：.
17．(1)；(2).
【详解】（1）向量，则，由，得，
解得，即，所以.
（2）向量，则，由，得，
解得，则，，而，
因此，而，所以与的夹角.
18．(1)，(2)
【详解】（1）∵，由三角函数的定义得，；
（2）∵，
∴.
19．(1)155.625厘米(2)
【详解】（1）因为，，所以该校男生身高的中位数在内.设该校男生身高的中位数为，则，
解得，即该校男生身高的中位数约为厘米.
（2）由题意可知从身高在内的男生中抽取的人数为，记为，
从身高在内的男生中抽取的人数为，记为，
从这5人中随机抽取2人的情况有共10种，
其中符合条件的情况有共7种，故所求概率.
20．(1)； (2).
【详解】（1）在中，点在线段上，且，所以.
（2）由（1）知，，
，而，因此，即，
所以.
21．(1) (2)，；（3）最大值为，
【详解】（1）选择，两种变换均得，
（2）令，，解得，，
所以函数的单调递减区间为，.
（3）当，，即，时，取得最大值，
此时对应的的取值集合为.
22．(1)(2)
【详解】（1）记，为偶函数，恒成立，
即恒成立，恒成立，
恒成立，即恒成立，，.
（2）和都是单调递增函数, 在是单调递增的，
, 在上有解，在上有解，
在上有解，在上单调递增，, .
答案第1页，共2页