灌南县惠泽高级中学 2023～2024 学年第二学期第一次月考
高二数学试题(答案）
1.【答案】B
解：任选 1部电影可分四类：
第一类选的是科幻片，第二类选的是警匪片，第三类选的是战争片，第四类选的是喜剧片.
由分类加法计数原理可得不同的选法共有 3 4 3 2 12( 种 ).
2.【答案】C
解：由 A 1,2,1 ,B 0,1,2 ,C 3,1,1 得：
AB 1, 1,1 , AC 2, 1,0 ，
n 面 ABC 的一个法向量为 x, y,1 ，
所以 n AB 0,n AC 0，
即 x y 1 0,2x y 0，
x 1 , y 2解得 ，
3 3
n 1 , 2 ,1 所以 ，
3 3
3.【答案】A
解：根据题意，每名学生可以在宫灯、纱灯、吊灯中任选 1种，即有 3种选购方式，则 4 名
学生有 3 3 3 3 34种选购方式，
4.【答案】B
y2 (x2 y2(x )(x y)5 )(x y)
5
解：因为 ，
x x
所以要求展开式中 x3 y3 的系数即为求 (x2 y 2 )(x y)5 展开式中 x4 y3的系数，
展开式含 x4 y3的项为： x2 C3x2 y35 y
2 C1 45x y 5x
4 y3，
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y2
故 (x )(x y)5的展开式中 x3 y3 的系数为 5.
x
5.【答案】C
解：在 100 件产品中有 6件次品，现从中任取 3件产品，共有C3100种结果，
至少有 1 件次品的对立事件是没有次品，没有次品的事件有C394 ，
至少有 1 件次品的不同取法有C3 3100 C94，
6.【答案】D
解：如图，以点 A 为坐标原点， AB, AD, AA1分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
1 1
因为正方体的棱长为 1，所以 A 0,0,0 ,M ,0,1 ,C 1,1,0 ,N 1,0, ，
2 2
所以 AM
1
,0,1
,CN
0, 1,
1 5 5
，则 AM , CN ，
2 2 2 2
1
AM CN 2 2
所以异面直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为 ，
AM CN 5 5 5
2 2
2 2 21
所以正弦值为 1 .
5 5
7.【答案】B
【解析】解：若标有数字 1 和 2 的小球放入同一个盒子，且 A盒子中只放一个小球，
分两种情况讨论：
第一种情况，将五个小球按 1，1，3 分为三组，
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则安排的方法有C13C
1
2A
2
2 12种；
第二种情况，将五个小球按 1，2，2 分为三组，
则安排的方法有C1C13 2 6种，
故不同的放法数为18.
分两种情况讨论：第一种情况，将五个小球按 1，1，3分为三组；第二种情况，将五个小球
按 1，2，2分为三组，然后求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属中档题．
8.【答案】C
解：以 B1A1为 x轴， B1C1为 y轴， B1B为 z 轴， B1为坐标原点建立如图所示空间直角坐标
系，
由题意则 B(0,0, 2)， A(4, 0, 2)， D(4,3, 2)，C1(0,3,0)，
设 P(x, y, z)，
所以 AB ( 4, 0, 0)， AP (x 4, y, z 2) ， AD (0,3, 0)， AC1 ( 4,3, 2)，
B1P (x, y, z)，
因为满足 | B P | 1，所以 x2 y2 z 2 1， x [ 1,1]， y [ 1,1]， z [ 1,1]1 ，
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I1 AB AP 4(x 4)，
I2 AD AP 3y ，
I3 AC1 AP 4(x 4) 3y 2(z 2)，
I1 I2 4(x 4) 3y 16 4x 3y 0恒成立，故 C 正确，A 不正确；
I1 I3 3y 2(z 2) 3y 2z 4，
4
在平面 zOy 中，原点 B1到直线 3y 2z 4 0的距离 1，13
故 3y 2z 4 0恒成立，所以 B 不正确，
I2 I3 4(x 4) 2(z 2) 20 4x 2z 0恒成立，所以 D 不正确；
9.【答案】ACD
解： O为正方体的中心，
OA OC1，OD OB1 ，
故OA OD (OB1 OC1)，
同理可得OB OC (OA1 OD1)，
故OA OB OC OD (OA1 OB1 OC1 OD1)，
AC都正确；
OB OC CB，OA1 OD1 D1A1 ，
OB OC与OA1 OD1 是两个相等的向量，
B不正确；
OA1 OA AA1，OC OC1 C1C AA1 ，
OA1 OA (OC OC1)，
D正确.
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10.【答案】BCD
10
解：令 x 1，得 a 1 1024，解得 a 1.
10 r
5 x
1
r
x2
的展开式通项公式Tr 1 C10
10 r 1 r 5 rx x2
C 210x ，
1 (C 0 C1 ... C10 1 10A. 10 10 10 ) 2 512，故 A 错误.2 2
B.由题设展开式共 11 项，第 6 项的系数最大.故 B 正确.
5
C.令 5 r 0, r 2.故存在常数项为第三项.故 C 正确.
2
D.当 r 0,2,4.6,8,10时，为有理项，故 D正确.
11.【答案】
解：对选项 A,分两步完成,第一步：在 个不同位置中选 个位置排红球,共 种排法,
第二步：在剩下的 个不同位置排黄球,共 种排法,
故将这 只球排成一列,有 种不同的方法 故 A错误．
对选项 B解：
根据题意, 个队中,每队都要与其余各队在主、客场分别比赛一次,
需要在 个队中任取 个队,按主、客场进行比赛即可,
则有 场．
故 B正确．
对于 ,先排 , , , 这四个奇数,共有 种排法 从 , , 这三个偶数中取两个看成一
个整体,有 种方法,再将该整体同另外一个偶数
按插空法排列有 种排法,两个偶数之间有 种排法,故共有 种．
故 C正确．
对于 ,由题意知共有 个不同的闪烁,每个闪烁时间为 秒,共 秒 每
两个闪烁之间的间隔为 秒,共 秒．
那么需要的时间至少是 秒．
故 D错误．
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12.【答案】
解：因为 的二项展开式的通项为： ,
令 ,则 ,
所以 项的系数为 ．
13.【答案】40
解：选一位老师坐第一辆车，共C12 种选法，再选 3 名学生坐第一辆车，共C
3
6 种选法，
余下的老师和 3名学生坐第二辆车，
所以不同的分配方法共有C1 32C6 40 种.
PQ 1
14. 【答案】 QD 2
解：在 PAD中， PA PD，O为 AD 中点，所以 PO AD，
又侧面 PAD 底面 ABCD，
平面 PAD 平面 ABCD AD， PO 平面 PAD，
所以 PO 平面 ABCD.
又在直角梯形 ABCD 中，易得OC AD，
所以以 O 为坐标原点，OC 为 x轴，OD 为 y 轴，OP 为 z 轴建立空间直角坐标系．
则 P(0, 0,1)， A(0, 1,0)， B(1, 1,0)，C (1, 0, 0)， D(0,1, 0)；
设 PQ PD.（0 1）
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因为 PD (0,1, 1)， OQ OP PQ (0, , )，（0 1）
OQ (0, ,1 ) ，所以Q(0, ,1 ).
m
设平面 CAQ 的法向量中 (x, y, z)，则 m AC x y 0m AQ ( 1)y (1 )z 0 ，
取 z 1 ，得m (1 , 1, 1).
平面 CAD 的一个法向量为 n (0, 0,1)，
要使二面角Q AC D 6的余弦值为 ，需使 | cos m ,n | |m n | 6 .
3 |m
|| n | 3
1 PQ 1
整理化简得： 3 2 10 3 0，得 或 3（舍去），所以存在，且
3 QD 2
15. 【答案】解： (1)因为 B，C，D 三点共线，则 BD BC ， 又
BC AC AB a 3b 2c， BD AD AB 3a (m 1)b (n 1)c，
有 3 ,m 1 3 ,n 1 2 .}解得 m 8,n 5. }
(2)因为 A，B，C，D四点共面，则 AD x AB y AC ，
则 a mb nc x(2a b c ) y(a 2b c)，
有 1 2x y,m x 2y,n x y. 解得3m 5n 1，
mn m 1 3m 1所以 ( 3m
2 m)，
5 5
1 1
当m 时，取到最大值 .
6 60
16.【答案】解： (1)由 f (x) (2x 3)n展开式的二项式系数和为 512，
可得 2n 512 29，即 n 9，
9 8
由 (2x 3)9 [2(x 1) 1]9 a C 7 2 2 2 2，得 2 9 2 C9 2 2 144；2 1
(2) 9令 x 1 0即 x 1，得 a0 2 1 3 1，
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x 1 1 x 0 a +a a a a 39令 即 ，得 0 1 2 3 9 ，
所以 a1 a2 a3 a9 3
9 1 19682；
所以f (20)除以6的余数为 1
17.【答案】解： (1) a [1,2,3],b [ 1,1,2]，
a b (i 2j 3k ) ( i j 2k ) 3j 5k [0,3,5] ，
a b的斜 60 坐标为 [0,3,5].
(2)设 , , 分别为与 AB, AD, AA1 同方向的单位向量，
则 AB 2i ,AD 2j,AA1 3k ，
① ED1 AD1 AE (AD AA1) (AB
1
AA
2 1
)
1 3 3
AB AD AA1 2i 2j k [ 2,2, ]；2 2 2
②由题 AC1 AB AD AA1 2i 2j 3k ，
由M [2, t , 0]，知 AM 2i t j，
由 AM AC1 ，知：
AM AC1 (2i 2j 3k ) (2i t j) 0，
2
4i 2 2t j (4 2t)i j 6k i 3tk j 0，
4 2t 1 3t (4 2t) 3 0，
2 2
解得 t 2
2
则 | AM | | 2i 2 j | (2i 2 j)2 4i 2 4 j 8i j 4 4 4 2
18.【答案】解： (1)由题意知，可去 1，2，3，4，5，6 名裁判，
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所以共有C1 2 6 66 C6 C6 2 1 63(种 )不同的安排方法.
(2)这 6 名裁判担任 6 场比赛的主裁判，每场比赛只有 1 名主裁判，每名裁判只参加 1 场比
赛，共有 A66 种方法，其中A参加第一场比赛的方法数为 A
5 5
5 ，C参加第三场比赛的方法数为 A5 ，
A参加第一场比赛同时 C参加第三场比赛的方法数为 A44 ，
所以 A不参加第一场比赛，C 不参加第三场比赛，共有 A6 5 46 2A5 A4 720 240 24 504(种
)不同的安排方法.
(3)亚洲杯组委会将这 6 名裁判安排到 3 项不同的活动中，每项活动至少安排 1 名裁判，则
分类如下：
C1C1C 4 3
①这 6名裁判分为 1人，1 人，4 人这三组，共有 6 5 42 AA 3
90(种 )不同的安排方法;
2
②这 6名裁判分为 1人，2 人，3 人这三组，共有C1C 2C3 A36 5 3 3 360(种 )不同的安排方法;
C 2 2 26C4C2 3
③这 6名裁判分为 2人，2 人，2 人这三组，共有 3 A3 90(种 )不同的安排方法.A3
综上所述，组委会将这 6 名裁判安排到 3 项不同的活动中，每项活动至少安排 1 名裁判，共
有 90 360 90 540(种 )不同的安排方法.
19.【答案】(1)证明见解析；
(2) P点在距离O点3 6 处
【解析】（1）因为 AE AD， AD DE，所以V ADE是正三角形，则 DAO ，
3
又 DO 底面圆O， AE 底面圆O，所以DO AE，
DO
在Rt AOD中，DO 18，所以 AO 6 3，
3
因为 ABC 3是正三角形，所以 AB AO 2 6 3 3 18，
2
AP AO2 PO2 9 2， BP AP，
所以 AP2 BP2 AB2 ， AP BP，
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同理可证 AP CP，
又 BP PC P， BP，PC 平面 PBC，所以 PA 平面 PBC .
（2）如图，建立以O为原点的空间直角坐标系O xyz .
设 PO x，（0 x 18），所以 P 0,0, x ， E 3 3,9,0 ， B 3 3,9,0 ，C 6 3,0,0 ，
所以 EP 3 3, 9,x ， PB 3 3,9, x ， PC 6 3,0, x ，
n PB 3 3a 9b cx 0
设平面 PBC的法向量为 n a,b,c ，则 ，
n PC 6 3a cx 0
令 a x，则b 3x， c 6 3，故 n x, 3x, 6 3 ，
设直线 PE和平面PBC所成的角为 ，
3 3x 9 3x 6 3x
sin cos EP,n 6 3x则
108 x2 x2 3x2 108 108 x2 4x2 108
6 3 6 3 1
2 2 3，
4x2 108 2 540x 2 4x
2 108 2 540x
1082
当且仅当 4x2 2 ，即 PO x 3 6时，直线 PE和平面 PBC所成角的正弦值最大，x
故 P点在距离O点3 6 处.
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{#{QQABLQYUggigAoAAARhCEQECCkMQkAAAAIoGwFAEMAAASAFABAA=}#}灌南县惠泽高级中学 2023～2024学年第二学期第一次月考
高二数学试题
注意事项：
1．考试时间 120分钟，试卷满分 150分.
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3．请用 2B铅笔和 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.某影城有一些电影新上映，其中有 3部科幻片、4部警匪片、3部战争片及 2部喜剧片，小
明从中任选 1部电影观看，不同的选法共有( )
A. 9种 B. 12种 C. 24种 D. 72种
2.已知 A 1,2,1 ,B 0,1,2 ,C 3,1,1 ，平面 的一个法向量为 n x, y,1 n ，则 ( )
1 2 1 2 1 2 2 2
A. , ,1 B. , ,1 C. , ,1 D.3 3 3 3 3 3
, ,1
3 3
3.中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有 4名学生，每人从宫灯、
纱灯、吊灯中选购 1种，则不同的选购方式有( )
A. 34 种 B. 43种 C. 3 2 1种 D. 4 3 2种
y2
4.式子 (x )(x y)5的展开式中， x3 y3 的系数为( )
x
A. 3 B. 5 C. 15 D. 20
5.若 100件产品中有 6件次品，现从中任取 3件产品，则至少有 1件次品的不同取法的种数
是( )
A. C1 2 1 2 3 3 3 26C94 B. C6C99 C. C100 C94 D. C100 C94
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6.如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A B C D 中，点 M,N分别是棱 A B ,BB 的中点，则异
面直线 AM与 CN所成角的正弦值为( )
2 3
A. B. C. 10 D. 21
5 5 5 5
7.将分别标有数字 1,2,3,4,5的五个小球放入 A,B,C三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，
每个盒子至少放一个小球.若标有数字 1和 2的小球放入同一个盒子，且 A盒子中只放一个小
球，则不同的放法数为( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 28
8.已知长方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB 4，BC 3，AA1 2，空间中存在一动点 P满
足 | B1P | 1，记 I1 AB AP， I2 AD AP， I3 AC1 AP，则( )
A.存在点 P，使得 I1 I2 B.存在点 P，使得 I1 I3
C.对任意的点 P，有 I1 I2 D.对任意的点 P，有 I2 I3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的中心为 ，则下列结论中正确的有( )
A. OA OD与OB1 OC1 是一对相反向量
B. OB OC与OA1 OD1 是一对相反向量
C. OA OB OC OD与OA1 OB1 OC1 OD1 是一对相反向量
D. OA1 OA与OC OC1 是一对相反向量
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1 10
10. 已知 a x 2 a 0 的展开式的各项系数之和为 1024，则展开式中( ) x
A.奇数项的二项式系数和为 256 B.第 6项的系数最大
C.存在常数项 D.有理项共有 6项
11.下列说法中正确的是( )
A.今有 只红球、 只黄球，同色球不加以区分，将这 只球排成一列，有 种不同的方法
B.某足球联赛共有 支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛 次，共要进行
场比赛
C.由 ， ， ， ， ， ， 这 个数字构成的 位正整数中，有且仅有两个偶数相邻的
个数是
D.为了迎接 连云港园博园灯会，灯会入口处安装了 个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，
每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 个
彩灯有序地各闪亮一次为一次闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为 秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 秒
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的二项展开式中 项的系数为 ．（用数字填空）
13.某班两位老师和 6名学生出去郊游，分别乘坐两辆车，每辆车坐 4人.若要求两位老师分别
坐在两辆车上，共有_______种分配方法.（用数字填空）
14.如图，在四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD 底面 ABCD，侧棱 PA PD 2 ，PA PD，
底面 ABCD为直角梯形，其中 BC / / AD ， AB AD ， AB BC 1，O为 AD中点．线
6 PQ
段 PD上存在一点 Q，使得二面角Q AC D的余弦值为 ，则 QD _________3
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13分 )
已知 a ， b ， c是空间中不共面的向量，若 AB 2a b c， AC a 2b c，
AD a mb nc .
(1)若 B，C，D三点共线，求 m，n的值；
(2)若 A，B，C，D四点共面，求 mn的最大值．
16. (本小题 15分 )
已知 f (x) (2x 3)n展开式的二项式系数和为 512，且
(2x 3)n a a 2 n0 1(x 1) a2 (x 1) an (x 1)
(1)求 a2的值；
(2)求 a1 a2 a3 an的值；
（3）求f (20)除以6的余数.
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17. (本小题 15分 )
空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条
坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数
轴的夹角均为 60 ，我们将这种坐标系称为“斜 60 坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义
“空间斜 60 坐标系”下向量的斜 60 坐标： , , 分别为“斜 60 坐标系”下三条数轴 (x轴、y轴、
) z轴 正方向的单位向量，若向量 = + + ，则 n与有序实数组 (x, y, z)相对应，称向
n
量 的斜 60 坐标为 [x, y, z]，记作 n [x, y, z].
（1 ）若 = 1,2,3 , = [ 1,1,2]，求 a b 的斜 60 坐标；
（2）在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AB AD 2， AA1 3，
BAD BAA1 DAA1 60
，如图，以{AB, AD, AA1}为基底建立“空间斜 60
坐标系”．
①若 BE EB1，求向量 ED1的斜 60 坐标；
②若 AM [2, t, 0]，且 AM AC1 ，求 | AM | .
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18. (本小题 17分 )
已知甲裁判组有 6名裁判，分别是 A,B,C,D,E,F(以下问题用数字作答 )
(1)若组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，
问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？
(2)若组委会安排这 6名裁判担任 6场比赛的主裁判，每场比赛只有 1名主裁判，每名裁判只
担任 1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中 A不担任第一场比赛的主裁判，C不担任第三
场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？
(3)若组委会将这 6名裁判全部安排到 3项不同的活动中，每项活动至少安排 1名裁判，每
名裁判只参加 1项活动，问共有多少种不同的安排方法？
19． (本小题 17分 )
如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，AE AD， ABC为底面圆O的内接正三角形，
圆锥的高DO 18，点 P为线段DO上一个动点.
(1)当 PO 3 6 时，证明： PA 平面 PBC；
(2)当 P点在什么位置时，直线 PE和平面PBC所成角的正弦值最大.
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