灌南惠泽高级中学 2023-2024 学年第二学期第一次月考
高一数学试题（答案）
一 单选题：
1. A 2. A 3. C 4. C 5. B 6. A 7. D 8. A
二 多选题
9. AD 10. AC 11. BC
三 填空题：
3
12. 2
2 3
13. 4 14. , +∞
3
四 解答题：
15 解：(1)设 = ( , )，由| | = 3 2，且 // ，
+ = 0 = 3 = 3
得 2 + 2 = 18 ,所以 = 3 或 = 3 ,故 = ( 3,3)，或 = (3, 3)；
(2)因为| | = 1，| | = 2，且 ⊥ ( 2 )，所以 ( 2 ) = 0，
即 2 2
= 0，所以 2 2 = 0，得 = 1 = = 2，即 ，
| | | | 2
因为夹角 ∈ [0, ] = ，所以 与 的夹角 4．
16 解：(1) ∵ tan 4 =
1 1 tan 1 1
3 , ∈ 0, 4 ，∴ 1+tan = 3，解得 tan = 2，
sin 2 +2cos2∴ = 2cos
2 (sin +cos ) 2cos2= 2cos2 = = 2 = 8；
1+tan sin +cos sin2 +cos2 1+tan2 5
(2) ∵ ∈ 0, 2 ，且 sin =
10 3
10 ，∴ cos = 10，∴ tan =
1
3．
1+1
∴ tan + = tan +tan 2 3 3 1 tan tan = = 1，又∵ + ∈ 0, ，∴ + = ．1 1×1 4 42 3
17. 解：（1）由 AB BC 1， BA BC BA BC cos ABC 1 ，所以 cos ABC 1 ，
2 2
又 0 ABC 180 ，所以 ABC 60 ，所以 ABC 为等边三角形，所以 AC 1，
（2）设 AD x ，在 ACD中，由余弦定理知，AC 2 AD2 CD2 2AD CD cos ADC ，
即1 x2 1 2x 1 cos ADC ，所以 cos ADC
x
，
2
试卷第 1页，共 3页
{#{QQABJQyUogCgAIJAARgCEQViCkIQkBEAAIoGwEAEIAAACQFABAA=}#}
由 DA DC 1 DA DC cos ADC x 1
x
，解得 x 2 或 x 2（舍去），2
所以 AD2 AC 2 CD2 ，即 ACD为等腰直角三角形且 ACD=90 ，所以CA CD ，
在△BCD中，由余弦定理知 BD2 BC 2 CD2 2BC CD cos BCD ，
3 2 2
12 12 2 1 1 2 3，所以2 BD BD 2 3，
2 2 3 3 2
18.解：(1) ∵ sin( 4 ) = 2 cos 2 sin = 5，∴ cos sin = 5 ，
平方后得：sin2 = 725．
(2) ∵ 0 < < ∴ 3 < ， 4 4 < 4，又 sin(
4 ) > 0，∴ 0 < 4 < 4，
∴ cos( 4 ) =
4 3 3 3
5，又 0 < < 4，∴ 4 < 4 + < ，cos( 4 + ) =
12
13，
3
∴ sin( + ) = cos[ 2 + ( + )] = cos [( 4 + ) ( 4 )]
= [( 12 4 5 3 3313 ) × 5 + 13 × 5 ] = 65．
(3) ∵右边= cos cos 18 sin sin
18 + cos cos
18 + sin sin
18 = 2cos cos
18，
左边= sin cos 9 + cos sin 9，
∴ sin cos 9 + cos sin
9 = 2cos cos
18，两边同时除以 cos 并化简，
2cos sin 2cos sin 3cos
∴ tan = 18 9 = 6 9 9 = 9 = 3cos ，9 cos
9 cos
9
(1) cos2 = 24 sin2 7又由 得： 25，∴ tan2 = cos2 = 24，
7 + 3
∴ tan(2 + ) = 24 = 7+24 3 = 168+504+49 3+576 3 = 627+625 3
1 7 3 24 7 3 429 429
．
24
19 解：(1)连接 并延长，交 于点 ，设 = ，则 = 2 + 5 5 ，
2
所以 + = 1 5 2 1 1， = ，故 = + ，则有 = ，所以 △
1
5 5 3 3 3 3
= = ，
△ 3
3 1又 = 53
，所以 △ △ =△
= 5，所以 = ．△ 5
(2)( )连接 并延长，交 1于点 ，因为 为重心，所以 为 中点，所以 = ( + 2 )，
= 2 = 2 1 ( + ) = 1 ( 1 + 1 ) = 1所以 + 1 3 3 2 3 3 3 ，
试卷第 2页，共 3页
{#{QQABJQyUogCgAIJAARgCEQViCkIQkBEAAIoGwEAEIAAACQFABAA=}#}
又 1， ， 三点共线，所以3 +
1
3 = 1
1 1
，则 + = 3．
( )设△ 的边长为 1，则 = ， = ，( , ∈ (0,1])在△ 中， 2 = 2 + 2
+ +
2 × × cos60 = 2 + 2 ， 所 以 = 2 + 2 ， 所 以 1 = 3 =2
+ + 2+ 2 1 1，因为 + = 3 + = 3 ，
2 + 2 = ( + )2 2 = 9( )2 2 ，
3
+ + 2+ 2 3 + 9( )2 3 2所以 1 = = ，因为 = ，所以 ( ) =
3 + 9 3
3 = 2 3 3
2
1
，因为 0 < ≤ 1，0 < ≤ 1 1，所以 ≥ 1 ≥ 1， ，3
1 = 3 1
2 1 1
又 ≤ 2 1 ≤
1
，则有 ≤ 2
，因为 = 以 = = =3 1，所 3 1 3 1 1 3 2 9， 2 ( 2) +4
1
因为 1 ≤ ≤ 2，所以
4 1 4 1 4 1
的最小值为9，最大值为2，所以 = ∈ [ 9 , 2 ]，所以
2 3 ∈ [ 81 , 12 ]，
所以 ( ) = 2 3 ∈ [
2 , 39 6 ].
试卷第 3页，共 3页
{#{QQABJQyUogCgAIJAARgCEQViCkIQkBEAAIoGwEAEIAAACQFABAA=}#}灌南惠泽高级中学 2023-2024 学年第二学期第一次月考
高一数学试题
注意事项：
1. 考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.请用 2B 铅笔和 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一 选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，每小题四个选项中，只有一个选项符合题目要求
π
1．已知点 1, 3 在角 的终边上，则 tan 的值为（ ）
4
1
A． B． 2 1C． 2 D．22
2．已知向量 a 2, 4 ， a b 3,2 ，则b 等于（ ）
A．(1,-2) B． 1,2 C． 5,6 D． 2,0
3.如图，已知 中， 为 的中点， = 1 ，若 3 = + ，则 + =( )
5 1 1 5A. B. C. D.
6 6 6 6
4．对于任意的平面向量 a，b ，c，下列说法中正确的是（ ）
a
A．若 b b c
且 ∥ ，则 a∥c B．若 a b a c ，且 a 0，则 b c
C． a b c a c b c D． a b c a b c
1 9
5．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若 a 3，且 cos A ，bc ，求b c的值（ ）3 4
A．4 B．3 C．5 D．6
1 2
6.已知 sin( ) = ，则 cos( + 2 )的值是( )
6 3 3
7 1 1 7A. B. C. D.
9 3 3 9
7.若在△ 中，sin sin = cos2 2，则△ 的形状为 ( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABJQyUogCgAIJAARgCEQViCkIQkBEAAIoGwEAEIAAACQFABAA=}#}
2
8．在 ABC中，内角 A，B，C，0 B .若对于任意实数 x，不等式 x 2 sin 2B 2
2t sin B
1
3 4
恒成立，则实数 t 的取值范围为（ ）
A． , 1 1, B． , 1 U 1,
C． 2, 1 U 1, 2 D． 2 1 1, 2
二 选择题：本题共 3 小题，每题 6 分，共 18 分.每个题中有多个选项符合要求，全部选对得 6分，部分选
对得部分分，有选错的得 0 分
9．已知平面向量a 1,1 ，b 3, 4 ，则下列说法正确的是（ ）
2 2
A．cos a,b B．b 在 a 方向上的投影向量为 a10 2
4 3
C．与b垂直的单位向量的坐标为 , D．若向量 a b与向量 a b共线，则 0
5 5
10. 关于函数 f (x) cos2x 2 3sin xcos x 1，则下列命题正确的是（ ）
A. 函数 f (x)的最大值为 3
7π
B. 点 ,0 是函数 f (x)的图象的一个对称中心
12
π
C. x 是函数 f (x)的图象的一条对称轴
3
π π
D. f (x)在区间 , 上单调递增 6 3
11.△ 中，A = π， = = 2，则下列结论中正确的是( )
2
A. 若 为△ 的重心，则 = 2 + 2
3 3
B. 若 为 边上的一个动点，则 ( + )为定值 4
3
C. 若 、 为 边上的两个动点，且 = 2,则 的最小值为
2
D. 已知 是△ 内部(含边界)一点，若 = 1，且 = + ，
则 + 的最大值是 1
三 填空题：本题共 3 小题，每题 5 分 ，共 15 分
12．计算 sin 50 cos10 sin 40 sin10
13.已知向量 与 的夹角为 120°，| | = 3，| + | = 13，则 =
14.在锐角△ ABC中，内角 , , 的对边分别为 , , ，且满足 + + + = 3 ．
sin
则 的取值范围为 ．
cos
试卷第 2页，共 4页
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四 解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤
15.(本小题 13分)
已知向量 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 = (1, 1)．
(1)若| | = 3 2，且 // ，求向量 的坐标；
(2)若 是单位向量，且 ⊥ ( 2 )，求 与 的夹角 ．
16.(本小题 15分)
已知 tan = 14 3 , ∈ 0,
4 ．
sin2 +2cos2
(1)求 的值；
1+tan
(2) ∈ 0, 若 2 ，且 sin =
10
10 ，求 + 的值．
17. (本小题 15分)
1
在平面四边形 ABCD中， AB BC CD DA DC 1， BA BC
2
（1） 求 AC 长度
2
（2） 求
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18.(本小题 17分)
已知 sin = 3，0 < <
4 5
(1)求 sin 2 的值；
(2)sin 3 + = 5，0 < < 4，求 sin( + )的值；4 13
(3)若 sin + = cos + + cos ，求 tan(2 + )的值．
9 18 18
19.(本小题 17分)
如图，已知△ 为等边三角形，点 是△ 内一点．过点 的直线 与线段 交于点 ，与线段 交于点 .
设 = ， = ，且 ≠ 0， ≠ 0．
(1)若 = 2 + 1 △ ，求 ；
5 5 △
(2)若点 是△ 的重心，设△ 的周长为 1，△ 的周长为 2．
1 1
( )求 + 的值；
( )设 = 1，记 = ，求 的值域．
2
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABJQyUogCgAIJAARgCEQViCkIQkBEAAIoGwEAEIAAACQFABAA=}#}
