2023-2024学年人教版八年级下册数学第七章平面直角坐标系讲义（含解析）

第七章平面直角坐标系
1．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
2．规律型：点的坐标
1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律
3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律．
3．坐标确定位置
平面内特殊位置的点的坐标特征
（1）各象限内点P（a，b）的坐标特征：
①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0．
（2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征：
①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0．
（3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征：
①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b．
4．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
5．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
6．坐标与图形变化-平移
（1）平移变换与坐标变化
①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x+a，y）
①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x﹣a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y+b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y﹣b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）向上平移3个单位长度后的坐标是（　　）
A．（2，2） B．（﹣4，2） C．（﹣1，5） D．（﹣1，﹣1）
2．在平面直角坐标系中，线段是由线段平移得到的，点的对应点为，点，则点D坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形的两个顶点，以对角线OA1为边作正方形 OAA1B 再以正方形OA1A2B1的对角线OA2作正方形OA2A3B2，…，依此规律，则点A18的坐标是（　　）
A．（512，0） B．（0，512） C．（0，） D．（-512，-512）
4．第二象限内的点P（x，y）满足|x|＝9，y2＝4，则点P 的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
5．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．在平面直角坐标系中，下列各点在第四象限的是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
8．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点 按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将关于y轴对称得到 ．．．．．．依次类推．点经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为（ ）．(注：“012”算3次变换)
A． B． C． D．
9．在平面直角坐标系中，已知点A(-4，0)、B(0，2)，现将线段AB向右平移，使A与坐标原点O重合，则B平移后的坐标是( 　 )．
A．(-4，-2) B．(4，2) C．(-4，2) D．(0，-4)
二、填空题
10．如图在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，·…，那么点的坐标为 ，点的坐标为 .
11．在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为3，则点的坐标是 ．
12．点到y轴的距离是 ．
13．已知点P（3x+2，3﹣2x）在第四象限，则x的取值范围是 ．
14．如果小樱家在小欢家的北偏东60°的方向上，那么小欢家在小樱家的 .
15．通过平移将点移到点，若按同样的方法移动点到点，则点的坐标是 ．
三、解答题
16．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，，将点与称为点的一对“相伴点”．
例如：点的一对“相伴点”是点与．
(1)点的一对“相伴点”的坐标是______与______；
(2)若点的一对“相伴点”重合，则的值为______；
(3)若点的一个“相伴点”的坐标为，求点的坐标．
17．在平面直角坐标系中，四边形的矩形，点，点，点.以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点旋转后的对应点分别为，直线、直线分别与直线相交于点，.记旋转角为.
（Ⅰ）如图①，当矩形的顶点落在轴正半轴上时，
（1）求证：；
（2）求点的坐标.
（Ⅱ）如图②，当矩形的顶点落在直线上时，
（1）求证：.
（2）求点的坐标.
（Ⅲ）在矩形旋转过程中，当时，若，请直接写出此时点 的坐标.
18．在平面直角坐标系中，为坐标原点．已知两点，且、满足；若四边形为平行四边形，且 ，点在轴上．
（1）如图①，动点从点出发，以每秒个单位长度沿轴向下运动，当时间为何值时，三角形的面积等于平行四边形面积的四分之一；
（2）如图②，当从点出发，沿轴向上运动，连接、，、、存在什么样的数量关系，请说明理由（排除在和两点的特殊情况）．
19．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，其中点的坐标是．

(1)直接写出点，的坐标；
(2)将先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得，画，并写出点的对应点的坐标；
(3)在（2）的平移过程中，线段扫过的面积为___________
(4)点是图中网格中的格点，使的面积为，直接写出格点的个数．
20．如图，在正方形网格中，已知点A的坐标为（-1，-2），点B的坐标为（4，0）．
(1)建立恰当的平面直角坐标系xOy，直接写出点C的坐标：C（___________）；
(2)将三角形ABC进行平移得到三角形，已知点A的对应点的坐标为（-5，1），请画出三角形；
(3)在x轴上是否存在一点P，使得三角形BCP的面积是三角形面积的2倍？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
21．在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P(x1，y1)和Q(x2，y2)，则定义|x1﹣x2|和|y1﹣y2|中较小的一个（若它们相等，则取其中任意一个）为P、Q两点的“最佳距离”，记为d(P，Q)例如：P(﹣2，3)，Q(0，2)．
因为|x1﹣x2|＝|﹣2﹣0|＝2；|y1﹣y2|＝|3﹣2|＝1，而2＞1，所以d(P，Q)＝|3﹣2|＝1．
(1)请直接写出A(﹣1，1)，B(3，﹣4)的“最佳距离”d(A，B)＝_______；
(2)已知点C坐标（1，-3）
①点D是坐标轴上的一点，它与点C的“最佳距离”d(C，D)＝2，请求出点D的坐标？
②点P在如图2所示的正方形边上运动，在点P的运动过程中，请直接写出取值范围_____．
22．在下列网格中建立平面直角坐标系如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知、和．

(1)在图中标出点、、；
(2)将点向下平移3个单位到点，将点先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到点，在图中标出点和点，并写出点、点的坐标．
(3)求的面积．
23．对平面直角坐标系中的每个点P进行如下操作，先把点P的横、纵坐标都乘以同一个实数a，将得到的点先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到点，则点叫做点P的、b伴点，已知正方形中，，，

(1)点D的坐标是______；在坐标系中画出正方形；
(2)点B的2、1伴点是______；
(3)若A的a、b伴点是，求a、b的值．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】让横坐标不变，纵坐标加3可得到所求点的坐标．
【详解】根据平移的性质，
∵点P（-1，2）向上平移3个单位长度，
∴横坐标不变，纵坐标为2+3＝5，平移后的坐标为（-1，5）．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，在平面直角坐标系内，把一个点的横坐标加上（或减去）一个正数a，就是把这个点向右（或向左）平移a个单位长度；如果把这个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数a，就是把这个点向上（或向下）平移a个单位长度．
2．C
【分析】根据线段是由线段平移得到的，点的对应点为，可知平移的方向和距离，再根据点，即可求得点B的对应点D的坐标．
【详解】解：∵线段是由线段平移得到的，点的对应点为，
∴线段是把线段向右平移了个单位长度，再向上平移了个单位长度得到的，
∴点的对应点D的坐标为，即．
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，得到平移的方向和距离是解决本题的关键．
3．A
【分析】根据正方形的性质分别求出，，，的坐标找到规律即可；
【详解】∵O（0，0），A（0，1），
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
又∵是正方形，
∴，
∴，
又∵是正方形，
∴，
∴，
∴，
由此可得出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，
∵从到经过18次变化，，，
∴点A18落在x轴上，
∴的坐标为；
故选A．
【点睛】本题主要考查了规律型点的坐标，准确根据正方形的性质得到规律是解题的关键．
4．A
【分析】点在第二象限内，那么其横坐标小于0，纵坐标大于0，进而根据所给的条件判断具体坐标．
【详解】解：∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
又∵|x|＝9，y2＝4，
∴x＝ 9，y＝2，
∴点P的坐标是（ 9，2）．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点，第二象限（ ，＋）．
5．D
【分析】
本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，即可得出正确选项．
【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
点在第四象限．
故选∶D．
6．C
【分析】本题主要考查坐标系象限中点的坐标的特点，熟练掌握不同象限点的坐标的特点是解决本题的关键．第一象限坐标，第二象限坐标，第三象限坐标，第四象限坐标．据此逐个判断即可．
【详解】解：A、在第三象限，不符合题意；
B、在第一象限，不符合题意；
C、在第四象限，符合题意；
D、在第二象限，不符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据坐标系中各个象限内点的坐标的符号以及坐标轴上的点的特征即可判断．
【详解】解：A、在第四象限，故本选项不合题意；
B、在第三象限，故本选项不合题意；
C、在y轴上，故本选项不合题意；
D、第二象限，故本选项符合题意．
故选：D．
8．D
【分析】根据题意可知按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，如此求解下去可知按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，点按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，
点按序列“012” 作变换先变成点，然后变成，再变成，
∴可知点按序列“012012”作变换后得到的坐标仍是，
∴点按照序列“012012012．．．．．．．”作变换时每6次是一个循环，
∵，
∴经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为，
故选D．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到点坐标变化规律是解题的关键．
9．B
【分析】已知点A（-4，0）、B（0，2），将线段AB向右平移，使A与坐标原点O重合，所以，A点横坐标x加4，纵坐标不变；B点的纵坐标不变，横坐标加4；
【详解】已知点A（-4，0）、B（0，2），将线段AB向右平移，使A与坐标原点O重合，
A点横坐标x加4，纵坐标不变；B点的纵坐标不变，横坐标加4；
∴点B的坐标是（0+4，2）即（4,2）；
故选B．
【点睛】本题本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
10．
【分析】结合图形找到坐标的移动规律，从移动规律中计算出横坐标以及纵坐标的值．动点在平面直角坐标系中按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，移动四次完成一次循环．只要求出前几个坐标，再根据坐标找规律．
【详解】，
的坐标是，即
的坐标是，即
故答案为，．
【点睛】本题考查坐标与图形变化平移，点的规律变化．用到了数形结合的数学思维，本题解题的关键在于找到坐标规律．
11．或
【分析】根据有y轴上的点P，可知P点横坐标为0；再根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值可得答案．
【详解】由y轴上的点P，得P点的横坐标为0；
由点P到x轴的距离为3，得P点的纵坐标为3或-3，
故答案为：或．
12．2
【分析】根据点到轴的距离为点的横坐标的绝对值计算即可．
【详解】解：∵，
∴点到轴的距离是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查点到坐标轴的距离．解题的关键是掌握：点到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
13．x＞．
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出不等式组，求出x的取值范围即可．
【详解】∵点P（3x+2，3﹣2x）在第四象限，
∴，
解得：x＞．
故答案为：x＞．
【点睛】本题考查了点的坐标、解一元一次不等式组，掌握各象限内点的坐标特征和坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
14．南偏西60°
【详解】解：小欢家在小樱家的南偏西60°．
故答案为南偏西60°．
15．（8,-3）
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】由点A的平移规律可知，此题规律是（x+5，y-4），照此规律计算可知点B′的坐标是（8，-3）．
故答案填：（8，-3）．
【点睛】此题考查图形的平移变换．解题关键在于掌握在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
16．(1)，；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据新定义求出，，即可得出结论；
（2）根据新定义，求出点的一对“相伴点”，进而得出结论；
（3）设出点的坐标，根据新定义，建立方程组，即可得出结论．
【详解】（1），
，，
点的一对“相伴点”的坐标是与，
故答案为：，；
（2）点，
，，
点的一对“相伴点”的坐标是和，
点的一对“相伴点”重合，
，
，
故答案为：；
（3）设点，
点的一个“相伴点”的坐标为，
或，
或，
或．
【点睛】此题主要考查了新定义，解方程组，解方程，理解和应用新定义是解本题的关键．
17．（Ⅰ）（1）见解析；（2）点 的坐标为 ； （Ⅱ）（1）见解析；（2）点的坐标为；（Ⅲ）点的坐标为或
【分析】（Ⅰ）（1）由题意得∠B’CQ=∠C’即可求解；
（2）由题可得OA=8，OC=6. B’C’=BC=8,OC’=OC=6；由（1）知△B’CQ∽△B’C’O即可求解；
（Ⅱ）（1）由题意知A’B’=AB=OC，∠BCO=∠B’CO=∠A’=90，易得三角形全等；
（2）设CP=x，由（1）知△PCO≌△PA’B’，易得CP长即可求出P点坐标；
（3）分情况讨论：1°当P在BQ上时，由勾股定理易得PC长度即可求解;
2°当P在QB延长线上时，由勾股定理易得PC长度，即可求解.
【详解】（Ⅰ）（1）证明：根据题意，知∠B’CQ=∠BCO=90°，∠BCO=∠C’=90°，
∴∠B’CQ=∠C’=90°.
又∵∠QB’C=∠OB’C’
∴△B’CQ∽△B’C’O.
（2）解：∵点A（-8,0）C（0，6），∴OA=8，OC=6.
∵四边形OABC是矩形，∴BC=OA=8.
根据题意，知B’C’=BC=8,OC’=OC=6.
∴OB’=10,B’C=OB’-OC=4.
由（1）知△B’CQ∽△B’C’O，∴，即.∴CQ=3.
∴点Q的坐标为（3,6）.
（Ⅱ）（1）证明：由题意知A’B’=AB=OC，∠BCO=∠B’CO=∠A’=90°，
又∵∠CPO=∠A’PB’∴ △PCO≌△PA’B’.
（2）解：根据题意，知A’O=AO=8.
设CP=x，由（1）知△PCO≌△PA’B’，
∴A’P=CP=x,A’B’=OC=6,PB’=PO=A’O-A’P=8-x.
在Rt△PA’B’中，，即，
解得x=，∴CP=.
∴点P的坐标为（，6）.
（Ⅲ）对于△PQO，PQ边上的高CO等于PO边上的高C’O
设BP=n
1°当P在BQ上时，∵BQ=2BP∴BP=PQ=n
在Rt△PCO中，由勾股定理得解得
∴PC=BC-BP=8-=故P点坐标为（，6）
2°当P在QB的延长线上时，∵BQ=2BP∴PQ= 3BP=3n
在Rt△PCO中，由勾股定理得解得或（舍）
∴PC=BC+BP=8+=故P点坐标为（-9-，6）
综上所述，点P的坐标为（-9-，6）或（，6）.
【点睛】此题主要考查平面直角坐标系中旋转，其中涉及了相似三角形、全等三角形以及勾股定理的知识，熟练运用这些知识是解题关键
18．（1）1或3；（2）∠APD =∠CDP+∠PAB或∠APD=∠PAB-∠CDP，理由见解析
【分析】（1）由非负数的性质求出a，b，得到AB的长，结合点C坐标求出平行四边形ABCD的面积，再根据的面积等于平行四边形面积的，列出方程，解之即可；
（2）分点P在线段OC上和点P在OC的延长线上，两种情况，过P作PQ∥AB，利用平行线的性质求解．
【详解】解：（1）∵，
∴a=-4，b=3，
即A（-4，0），B（3，0），
∴AB=3-（-4）=7，又C（0，4），
∴OC=4，
∴平行四边形ABCD的面积=4×7=28，
由题意可知：PC=2t，则OP=，
∵的面积等于平行四边形面积的，
∴，
解得：t=1或t=3，
（2）如图，当点P在线段OC上时，
过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，
∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，
∴∠APD=∠DPQ+∠APQ=∠CDP+∠PAB；
当点P在OC的延长线上时，
过P作PQ∥AB，则PQ∥CD，
∴∠CDP=∠DPQ，∠APQ=∠PAB，
∴∠APD=∠APQ-∠DPQ=∠PAB-∠CDP．
【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质，解题的关键是掌握坐标和图形的关系，将坐标与线段长进行转化，同时适当添加辅助线，构造平行线．
19．(1)；
(2)作图见解析，的坐标为；
(3)12；
(4)8
【分析】（1）根据点和的位置，可直接得出坐标；
（2）利用平移的性质，画出，并根据点的位置可得坐标；
（3）分别求出平行四边形与平行四边形的面积即可得解；
（4）在的上方取一点，,连接、，通过计算，得到点是符合要求的点，再根据平行线之间的距离处处相等，可知点在与平行的两条直线上，从而解决问题．
【详解】（1）解：由图可知，；
（2）解：如图，即为所求，此时点的坐标为；

（3）解：在（2）的平移过程中，线段扫过的面积为平行四边形与平行四边形的面积之和

由题意可得：
线段扫过的面积为，
故答案为；
（4）解：在的上方取一点，连接、，
，
∴，是所求的点，
如图，过点在作平行的直线，过个格点，
同理在的下方平行于的直线上，也有符合要求的个点，

∴格点的个数为个．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了坐标与图形的性质，平移的性质，勾股定理，平行线之间的距离处处相等等知识，作两条平行线找格点是解决问题（）的关键．
20．(1)详见解析，3，-3
(2)详见解析
(3)存在，点P的坐标为（，0）或（，0）
【分析】（1）根据点A、B坐标建立坐标系，继而可得答案；
（2）将三个顶点分别向左平移4个单位、向上平移3个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）先求出三角形A1B1C1的面积，再设点P坐标为（x，0），根据题意列出方程×3×|x-4|=2×6.5，解之即可．
【详解】（1）解：如图所示，点C坐标为（3，-3），
故答案为：3，-3；
（2）解：如图所示，三角形A1B1C1即为所求；
（3）解：三角形A1B1C1的面积为5×3-×2×5-×1×3-×1×4=6.5，
设点P坐标为（x，0），
则×3×|x-4|=2×6.5，
解得x=或x=-，
∴点P坐标为（，0）或（-，0）．
【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质．
21．(1)4
(2)①(﹣1，0)或(3，0)；②
【分析】（1）根据新概念-最佳距离的定义即可求得答案；
（2）①分两种情况，根据”最佳距离”的定义即可求得答案；②由题意可得：MN=GH=HM=2，M(﹣1，0)，N(-1，2)，G(﹣3，2)，H(-3，0)，然后分点P在MN上时，点P在GN上，点P在GH上和点P在HM上时四种情况分别根据”最佳距离”的定义求解即可得到答案．
【详解】（1）解：∵A(﹣1，1)，B(3，﹣4)，
∴，
∵，
∴d(A，B)＝4；
（2）解：①Ⅰ．当点D在x轴上时，设D (m，0)，
则，
∵d(C，D)＝2，
∴，
解得：m=3或-1，
∴D(﹣1，0)或(3，0)；
Ⅱ．当点D在y轴上时，设D (0，n)，
则，
故不符合题意；
综上所述，D(﹣1，0)或(3，0)．
②由题意可得：MN=GH=HM=2，M(﹣1，0)，N(-1，2)，G(﹣3，2)，H(-3，0)，
Ⅰ．当点P在MN上时，设，P(﹣1，a)，
则，
∵，
∴，
∴；
Ⅱ．当点P在GN上时，设，P(b，2)，
则，
∵，
∴，
∴；
Ⅲ．当点P在GH上时，设，P(-3，c)，
则，
∵，
∴，
∴；
Ⅳ．当点P在HM上时，设，P(d，0)，
则，
∵，
∴，
∴；
综上所述，．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质、解不等式，根据新概念列出不等式并解不等式以及应用分类讨论思想是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析，，
(3)14.5
【分析】（1）直接利用A，B，C点的坐标在坐标系中得出各点位置；
（2）利用平移的性质得出各对应点位置；
（3）利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示，．

（3）
【点睛】此题考查了坐标系中描点，平移变换以及三角形面积求法，正确掌握平移的规律是解题关键．
23．(1)，图见详解
(2)
(3)，
【分析】（1）因为是正方形，所以，，根据，，，那么点A向右移动5个单位，再向下移动1个单位即可得到，同理，点D向右移动5个单位，再向下移动1个单位即可得到，即可得到点D的坐标；先在坐标系中描点，然后依次连线即可作图；
（2）根据伴点的定义进行作答即可；
（3）根据伴点的定义进行列式作答即可；
【详解】（1）解：因为是正方形，
所以，，
又因为，，，
那么点A向右移动5个单位，再向下移动1个单位即可得到，
同理，点D向右移动5个单位，再向下移动1个单位即可得到，
所以，，
即可得到点D的坐标，
故正方形如图所示：

（2）解：因为，根据伴点的定义：
所以先把点B的横、纵坐标都乘以同一个实数2，得，
然后把先向右平移个单位，得，再向上平移个单位，得
则点B的2、1伴点是；
（3）解：因为的a、b伴点是，根据伴点的定义：
先把的横、纵坐标都乘以同一个实数，得，
把向右平移个单位，得，再向上平移个单位，得，
因为，
则，
解得，
所以，
【点睛】本题考查了坐标与图形，新定义运算，点的平移规律；向下平移m个单位则是纵坐标减去m，向上平移n个单位则是纵坐标减去n，向右平移m个单位则是横坐标减去m，向左平移n个单位则是横坐标减去n．
答案第1页，共2页