2024学年高一下学期单元测试卷
范围：第七章复数
姓名：___________ 班级：___________考号：___________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A．2 B． C． D．
2．设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则（ ）
A．-6 B．6 C．8i D．-8i
3．已知复数z满足，则的虚部为（ ）
A．1 B．i C． D．
4．已知复数是关于的方程的一个根，则（ ）
A．4 B． C． D．
5．若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知1－i是方程x2＋ax＋2＝0的一个根，则实数a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
7．已知关于的方程有实根，则的值为（ ）
A．0 B．－1 C． D．1
8．是虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。
9．若复数，则（ ）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
10．复数，，，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．若为纯虚数，则
C．当时，与互为共轭复数
D．表示复平面内点与两点间的距离
11．欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数为纯虚数 B．对应的点位于第二象限
C． D．的最大值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知复数为纯虚数，则复数的虚部为 .
13．一元二次方程x2-2x+m=0的一个虚根为，则另一个虚根为 ，实数 .
14．已知复数，，且为纯虚数，则实数
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．（15分）已知复数，，，，．
(1)在如图所示复平面内，作出各复数对应的向量；
(2)求各复数的模；
(3)求各复数的共轭复数，并在复平面内作出这些共轭复数对应的向量．
17．（15分）设是虚数，是实数且.
(1)求的值以及实部的取值范围；
(2)若，求证：为纯虚数.
18．（17分）已知复数满足.
(1)求的最小值与最大值；
(2)若z所对应的点在第一象限，且为实数，求证：.
19．（17分）已知关于的方程的两根为、.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值试卷第1页，共3页第七章复数参考答案
1．D【详解】因为，所以，
故.故选：D
2．B【详解】依题意，所以.故选：B
3．A【详解】因为，所以，
所以，所以的虚部为1.故选：A
4．C【详解】由题意可得，即，
所以，所以，解得，
所以，故选：C
5．D【详解】由题意，复数，
因为复数在复平面内所对应的点位于第四象限，，解得.
故选：D.
6．B【详解】因为1－i是方程x2＋ax＋2＝0的一个根，故，即，解得故选：B
7．A【详解】由方程有实根，
可得，整理得.
由复数相等的充要条件得.故选：A
8．A【详解】解：因为，
所以在复平面内对应的点坐标为，为第一象限.故选：A
9．CD【详解】∵，所以，故C正确，A错误；
∴z的实部与虚部分别为4，，所以z的实部与虚部之差为5，B错误；
z在复平面内对应的点为，位于第四象限，D正确．故选：CD．
10．ABCD【详解】复数，，，
对于A，，，A正确；
对于B，，由为纯虚数，得，解得，B正确；
对于C，当时，，与互为共轭复数，C正确；
对于D，表示复平面内复数对应点与对应点两点间的距离，D正确.
故选：ABCD
11．ACD
【详解】因为，所以复数为纯虚数，因此选项A正确；
因为，所以复数对应的点为，
而，所以对应的点位于第一象限，因此选项B不正确；
所以选项C正确；
，
所以表示单位圆上的点到的距离，
因此的最大值为，所以选项D正确，
故选：ACD
12．/
【详解】为纯虚数，则且，故，
则，所以，故的虚部为，
故答案为：
13． 5
【详解】因是一元二次方程x2-2x+m=0的一个根，
所以；
m=5时，方程为x2-2x+5＝0，(x-1)2=-4，(x-1)2=(2i)2，，
即或，所以方程的另一虚根为.
故答案为：；5
14．/
【详解】由可得，
∵，
∴，
∵为纯虚数，
∴，即.故答案为：
15.
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：因为，
所以；
（4）解：.
16．
【详解】（1）解：设复数，，，，对应的向量分别为，
则，
如图，在复平面内，作出各复数对应的向量，
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：的共轭复数为，对应向量为，
的共轭复数为，对应向量为，
的共轭复数为，对应向量为，
的共轭复数为，对应向量为，
的共轭复数为，对应向量为，
如图，在复平面内作出这些共轭复数对应的向量，
17．
【详解】（1）设(，且)，
则，
∵是实数，，∴，即，
则，又∵，
∴，即，
∴的实部的取值范围为；
（2）
，
因为，，所以为纯虚数.
18．
【详解】（1）复数在复平面内对应的点为，由可知，表示点到的距离为1，故点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆上，所以表示圆上的点到点的距离，由图可知：当点时，此时最大，且最大值为3，当点时，此时最大，且最小值为1，
（2），
由于为实数，所以，解得或，
z所对应的点在第一象限，所以，故舍去，取，
又得 ，所以解得
.
19．
【详解】（1）已知关于的方程的一根为，
所以，，
所以，，解得；
（2），由题意得.
若，即，则，解得；
若，即，由，可得，
解得，，
则，解得.
综上所述，或.
答案第1页，共2页
