2023-2024学年数学七年级因解分式单元测试试题（湘教版）基础卷含解析

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2023-2024学年数学七年级因解分式（湘教版）
单元测试 基础卷 含解析
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）因式分解“”得，则“”是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）将提出公因式后，另一个因式是（　　）
A． B． C． D．
3．（本题3分）把多项式分解因式，应提的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）若且，则的值是（ ）
A．12 B．24 C．6 D．14
5．（本题3分）下列多项式中是完全平方式的为（　　）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B．
C． D．
7．（本题3分）下列从左边到边的变形，是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（本题3分）整式，，下列结论：
结论一：．
结论二：，的公因式为．
下列判断正确的是（ ）
A．结论一正确，结论二不正确 B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一、结论二都正确 D．结论一、结论二都不正确
9．（本题3分）下列等式，成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（本题3分）若，，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
评卷人得分
二、填空题（共24分）
11．（本题3分）一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则的值为 ．
12．（本题3分）因式分解： ．
13．（本题3分）因式分解： ．
14．（本题3分）分解因式： ．
15．（本题3分）分解因式： ．
16．（本题3分）分解因式： ．
17．（本题3分）若，则 ．因式分解： ．
18．（本题3分）使得是完全平方数的整数的和为 ．
评卷人得分
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）先化简，再求值：，其中，．
20．（本题8分）（1）计算：①； ②．
（2）因式分解：①； ②．
21．（本题10分）用提公因式法将下列各式分解因式：
(1)； (2)．
22．（本题10分）已知，求的值．
23．（本题10分）已知，，求的值．
24．（本题10分）【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
求的最小值．
解：
，
，
，
即的最小值为．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________．
(2)求的最小值．
(3)已知，求的值．
25．（本题10分）配方法是数学中重要的一种思想方法． 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）①已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ；
②若可配方成（m、n为常数），则 ；
探究问题：
（2）①已知，则 ；
②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（3）已知实数x、y满足，求的最值．
参考答案：
1．B
【分析】
本题考查因式分解的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
据因式分解的意义即可求得答案．
【详解】
解：，
则“？”是，
故选：B．
2．D
【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握提公因式的方法．首先提取公因式，可得，从而可得答案．
【详解】解：，
将提出公因式后，另一个因式是，
故选：D．
3．B
【分析】
本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案．
【详解】解：，则多项式分解因式，应提的公因式是，
故选：B．
4．C
【分析】
本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键；根据题意及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故选C．
5．B
【分析】
根据完全平方式（完全平方式有和两个）逐个判断即可．
【详解】
解：A．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意；
B．，所以多项式是完全平方公式，故本选项符合题意；
C．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意；
D．多项式不是完全平方公式，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．B
【分析】根据把多项式写成几个整式的积的形式叫做因式分解，判断即可．本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个整式的积的形式，正确理解定义是解题的关键．
【详解】∵不是因式分解，
∴A不合题意；
∵是因式分解，
∴B合题意；
∵不是因式分解，
∴C不合题意；
∵不是因式分解，
∴D不符合题意；
故选B．
7．D
【分析】
本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式，叫做因式分解，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A．，是乘法运算，故该选项不符合题意；
B．是单项式变形，故该选项不符合题意；
C．，等号右边不是积的形式，故该选项不符合题意；
D．，符合因式分解的定义，故该选项符合题意；
故选：D．
8．A
【分析】
本题考查了单项式乘以多项式，公因式的定义；根据单项式乘以多项式，公因式的定义，判断即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，故结论一正确；
∵，
∴，的公因式为，故结论二不正确；
故选：A．
9．B
【分析】
本题考查了整式的运算，解题关键是掌握整式运算法则，准确进行计算；
根据完全平方公式、平方差公式、幂的运算，因式分解判断即可．
【详解】解：A. ，原选项不符合题意；
B. ，原选项符合题意；
C. ，原选项不符合题意；
D. ，原选项不符合题意；
故选：B．
10．C
【分析】
本题考查了利用平方差公式因式分解求代数式的值等知识，先利用平方差公式得到，根据，求出，即可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C
11．444
【分析】
本题考查的是因式分解的应用，直角三角形的面积的计算，先求解，再把进行因式分解，再代入计算即可．
【详解】解：∵直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，斜边长为5，面积为6，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：
12．
【分析】
本题考查了提公因式法因式分解，正确得出公因式是解题关键，直接提取公因式即可得答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
13．
【分析】
将看作，应用平方差公式，即可求解，
本题考查了公式法因式分解，解题的关键是：熟练掌握平方差公式．
【详解】解：
．
14．
【分析】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，直接提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案．正确运用完全平方公式分解因式是解题关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
15．
【分析】
本题主要考查了因式分解，直接用公式法：进行分解因式，即可求解；掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：
；
故答案：．
16．
【分析】本题考查的是因式分解，熟记平方差公式是解题的关键．根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：
17． 5
【分析】根据得到，计算即可；计算即可，本题考查了同底数幂的乘法，因式分解，熟练掌握公式和公式法分解因式是解题的关键．
【详解】根据得到，
故；
，
故答案为：5；．
18．
【分析】
本题考查完全平方数的知识．将表示为的形式，然后转化可得出，从而讨论可得出的值，从而得到所有整数的和．
【详解】
解：设，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，且与都为整数，
所以，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，；
，，解得：，．
，，解得：，．
所以所有的和为．
故答案为：．
19．
【分析】
本题考查整式的混合运算及因式分解的应用，熟知乘法公式、整式的四则运算法则和因式分解的方法是正确解决本题的关键．
按整式运算法则或先运用因式分解化简再代入计算即可．
【详解】解：
化简方法一：
化简方法二：
当，时，
原式．
20．（1）①；②．（2）①②
【分析】
本题考查完全平方公式，平方差公式，多项式乘以多项式，综合公因式和公式法分解因式：
（1）①将变形为，再根据平方差公式计算；
②根据多项式乘以多项式的运算法则计算即可；
（2）①先提取公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；
②先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）①
；
②
；
（2）①
；
②
．
21．(1)
(2)
【分析】
本题考查的是题公因式分解因式，掌握提公因式的方法是解本题的关键；
（1）提取公因式，再分解因式即可；
（2）提取公因式，再分解因式即可；
【详解】（1）解：
．
（2）
；
22．25
【分析】
本题考查的是因式分解的应用，熟记完全平方公式是解本题的关键，把原式化为，再利用完全平方公式分解因式，最后代入计算即可．
【详解】
解：
，
∵，
∴原式．
23．21
【分析】
本题考查的是因式分解的应用，求解代数式的值，先提取公因式分解因式，再整体代入计算即可．
【详解】解：．
把，，代入，
得原式．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】
本题考查的是完全平方公式的应用，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握完全平方公式是解本题的关键；
（1）由完全平方公式的特点可得答案；
（2）把原式化为，再利用完全平方公式的特点先分解因式，再利用非负数的性质可得答案；
（3）把化为，再利用非负数的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴添上的常数项是；
（2）
；
∵
∴
∴的最小值为1；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，，
解得：，，
∴；
25．（1）①；②；
（2）①；②详见解析
（3）
【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键．
（1）①把29分为两个整数的平方即可；
5原式利用完全平方公式配方后，确定出与的值，即可求出的值；
（2）①已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值；
②根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可；
（3）由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最大值即可．
【详解】解：（1）①根据题意得：；
故答案为：；
②根据题意得：，
，，
∴；
故答案为：；
（2）①∵，
∴，
∴，
，，
，，
解得：，，
∴；
故答案为：；
②当时，为“完美数”，理由如下：
，
，是整数，
，也是整数，
是一个“完美数”；
（3），
，即，
，
，
∵，
∴，
∴
∴当时，最大，最大值为．
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