2024版《课时节节练》数学选择性必修第一册RJ A第一章 1.1?空间向量及其运算 1.1.2?空间向量的数量积运算8

第一章 空间向量与立体几何
课时把关练
1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：
①（++）2＝；②·（-）＝0；③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是（　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
2.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是（　）
A.· B.· C.· D.·
（第2题） （第3题）
3.如图所示，在平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝1，AC1＝，则A1A＝（　）
A. 1 B. C. 2 D. 4
4．若向量垂直于向量和，向量（且），则（ ）
A． B．
C．不平行于，也不垂直于 D．以上三种情况都有可能
5．已知a，b是异面直线，，且，则异面直线a与b所成的角是（ ）
A． B． C． D．
6.已知向量满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是 .
7.已知点O是正平面外的一点，若，E，F分别是，的中点，则与所成角的余弦值为 ．
（第7题） （第8题）
8.如图所示，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是 .
①AC1＝6； ②AC1⊥BD； ③向量与的夹角是60°； ④BD1与AC所成角的余弦值为.
9.如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，A′A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点.求证：CE⊥A′D.
（第9题）
10．在棱长为1的正方体中，E，F分别是，的中点，G在棱上，，H为的中点．
（1）求，所成角的余弦值；
（2）求的长．
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1.1 空间向量及其运算
1.1.2 空间向量的数量积运算
参考答案
1.B 2.C 3.C 4.B 5.C 6. 7. 8.②
9.证明：设＝a，＝b，＝c，
根据题意，得|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝a·c＝0，
∴＝，＝，
∴·＝·＝b2-c2＝0，
∴⊥，即CE⊥A′D.
10.解：设，则．
（1）∵，
∴，
，
，∴，
，
∴所成角的余弦值为．
（2）∵
，
∴，
∴的长为．
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