2024版《课时节节练》数学选择性必修第一册RJ A第一章 1.2 空间向量基本定理9

第一章 空间向量与立体几何
课时把关练
1.2 空间向量基本定理
1．（多选题）在下列命题中，是真命题的为（ ）
A.若三个非零向量不能构成空间的一个基底，则共面
B.若，是两个不共线向量，而（且），则构成空间的一个基底
C.如果向量，与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有与共线
D.对于三个不共面向量，不存在实数组，使
2.已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，不能构成空间基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
3.下列能使向量成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4．在四面体中，G是底面的重心，且，则（ ）
A． B． C．1 D．3
5.设，且是空间的一个基底，给出下列向量组：
①，②，③，
其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
6.已知空间的一个基底，，若与共线，则________．
7.如图，四面体OABC的所有棱长都等于1，M，N分别是四面体OABC的棱
OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点，＝，＝，＝，则＝
（用a，b，c表示），·的值为 .
8.已知是空间的一个基底，且＝，＝＝，试判断{，，}能否作为空间的一个基底，并说明理由.
9.如图，在三棱柱中，已知，点M，N分别是的中点，试用基底表示向量．
10.如图，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
（1）求证：AO，BO，CO两两垂直；
（2）求〈，〉.
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1.2 空间向量基本定理
参考答案
1.AC 2.C 3.C 4.C 5.B 6.0 7.　 　
8.解：能.理由如下：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y使＝+成立，
所以＝x（）+y（），
即＝（y-3x）（x+y）（2x-y），
所以此方程组无解.
即不存在实数x，y使得＝+，
所以，，不共面.
所以{，， }能作为空间的一个基底.
9.解：连接（图略）．
．
．
10. （1） 证明：设＝，＝，＝，正四面体的棱长为1.
因为＝+＝+×（+）
＝+（-+-）
＝（++）＝（），
＝-＝-
＝（）＝（），
＝-＝-
＝（）＝（），
＝-＝-
＝（）＝（），
所以·＝（）·（）
＝
=0，
所以⊥，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO，所以AO，BO，CO两两垂直.
（2）解：由（1）可得＝（），
＝+＝-（）+＝（），
所以||＝＝.
又||＝＝，
·＝（）·（）＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
又〈，〉∈［0，π］，所以〈，〉＝.
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