2024版《课时节节练》数学选择性必修第一册RJ A第一章 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系12
文档属性
| 名称 | 2024版《课时节节练》数学选择性必修第一册RJ A第一章 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系12 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-07 13:07:27 | ||
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文档简介
第一章 空间向量与立体几何
课时把关练
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.已知平面内有一点M（1，-1，2），平面的一个法向量为＝（6，-3，6），则下列点P中，在平面内的是（ ）
A.P（2，3，3） B.P（-2，0，1） C.P（-4，4，0） D.P（3，-3，4）
2．如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是，那么（ ）
A． B． C． D．l与α斜交
3.（多选题）已知，是坐标原点，则下列各向量中是平面的法向量的是（ ）
A. B. C. D.
4.（多选题）设直线l的方向向量为，平面的法向量为， l?，则使l∥成立的有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，
M在上，且平面．则M点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6.（多选题）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F是BC上的两个三等分点，点G，H是A1D1上的两个三等分点，点M，N，P分别为AB，C1D1和CD的中点，
点Q是A1M上的一个动点，下面结论中正确的是（ ）
A. FH与AC1异面且垂直 B. FG与AC1相交且垂直
C. D1Q∥平面EFN D. B1，H，F，P四点共面
7.（多选题）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P
分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（ ）
A B C D
8．已知平面α经过点，且是α的一个法向量，是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝ .
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.求证：
（1）平面A1BD∥平面B1CD1；
（2）MN⊥平面A1BD.
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
证明：（1）BE⊥DC；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面PCD⊥平面PAD.
12.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝1，AA1＝，点D是BC的中点.
（1）求证：A1B∥平面AC1D.
（2） 在棱CC1上是否存在一点M，使B1M⊥平面AC1D？若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，说明理由.
课时把关练
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
参考答案
1.A 2.B 3.BD 4.BD 5.C 6.ACD 7.ACD 8. 9.
10. 证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），D1（0，0，2）.
设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），
∵＝（2，0，2），＝（2，2，0），
且∴
取x＝-1，得y＝1，z＝1，∴ ＝（-1，1，1）.
同理可求得平面B1CD1的一个法向量为n＝（-1，1，1）.
∵ ∴ ∥，
∴ 平面A1BD∥平面B1CD1.
（2）∵ M，N分别为AB，B1C的中点，∴ M（2，1，0），N（1，2，1），
∴＝（-1，1，1），∴∥，
∴ MN⊥平面A1BD.
11. 证明：以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
由E为PC的中点，得E（1，1，1）.
（1）向量＝（0，1，1），＝（2，0，0），故·＝0，
∴ BE⊥DC.
（2）∵ PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴ AB⊥PA.
∵ AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴ AB⊥平面PAD.
∴ 向量＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量.
而·＝0，∴⊥.
又∵ BE?平面PAD，∴ BE∥平面PAD.
（3）由（2）知平面PAD的一个法向量为＝（1，0，0），
向量＝（0，2，-2），＝（2，0，0），
设平面PCD的一个法向量为＝（x，y，z），
则
取y＝1，可得平面PCD的一个法向量为＝（0，1，1）.
∵·，∴ ⊥，
∴ 平面PCD⊥平面PAD.
12. （1）证明：以A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），C1（0，1，），
，B1（1，0，）.
所以＝（1，0，-），＝，＝（0，1，）.
设平面AC1D的一个法向量为＝（x，y，z），
则有取z＝1，则x＝，y＝-.
所以＝（，-，1）.
所以·＝1×+0× （-）+（-）×1＝0，所以⊥.
因为A1B?平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.
（2）解：存在.假设在棱CC1上存在一点M，使B1M⊥平面AC1D.
设M（0，1，λ），λ∈［0，］，则＝（-1，1，λ-）.
由（1）知，平面AC1D的一个法向量为＝（，-，1），若B1M⊥平面AC1D，则∥.
所以＝＝，解得λ＝∈［0，］，即M，且＝.
所以在棱CC1上存在一点M，且满足＝，使B1M⊥平面AC1D.
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课时把关练
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
1.已知平面内有一点M（1，-1，2），平面的一个法向量为＝（6，-3，6），则下列点P中，在平面内的是（ ）
A.P（2，3，3） B.P（-2，0，1） C.P（-4，4，0） D.P（3，-3，4）
2．如果直线l的方向向量是，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是，那么（ ）
A． B． C． D．l与α斜交
3.（多选题）已知，是坐标原点，则下列各向量中是平面的法向量的是（ ）
A. B. C. D.
4.（多选题）设直线l的方向向量为，平面的法向量为， l?，则使l∥成立的有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，
M在上，且平面．则M点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6.（多选题）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F是BC上的两个三等分点，点G，H是A1D1上的两个三等分点，点M，N，P分别为AB，C1D1和CD的中点，
点Q是A1M上的一个动点，下面结论中正确的是（ ）
A. FH与AC1异面且垂直 B. FG与AC1相交且垂直
C. D1Q∥平面EFN D. B1，H，F，P四点共面
7.（多选题）下列四个正方体图形中，l是正方体的一条体对角线，点M，N，P
分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的是（ ）
A B C D
8．已知平面α经过点，且是α的一个法向量，是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．
9.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段D1B上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若DP∥平面B1MN，则＝ .
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点.求证：
（1）平面A1BD∥平面B1CD1；
（2）MN⊥平面A1BD.
11.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
证明：（1）BE⊥DC；
（2）BE∥平面PAD；
（3）平面PCD⊥平面PAD.
12.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝1，AA1＝，点D是BC的中点.
（1）求证：A1B∥平面AC1D.
（2） 在棱CC1上是否存在一点M，使B1M⊥平面AC1D？若存在，指出点M的位置并证明；若不存在，说明理由.
课时把关练
1.4 空间向量的应用
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
参考答案
1.A 2.B 3.BD 4.BD 5.C 6.ACD 7.ACD 8. 9.
10. 证明：（1）建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），D1（0，0，2）.
设平面A1BD的法向量为＝（x，y，z），
∵＝（2，0，2），＝（2，2，0），
且∴
取x＝-1，得y＝1，z＝1，∴ ＝（-1，1，1）.
同理可求得平面B1CD1的一个法向量为n＝（-1，1，1）.
∵ ∴ ∥，
∴ 平面A1BD∥平面B1CD1.
（2）∵ M，N分别为AB，B1C的中点，∴ M（2，1，0），N（1，2，1），
∴＝（-1，1，1），∴∥，
∴ MN⊥平面A1BD.
11. 证明：以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
由E为PC的中点，得E（1，1，1）.
（1）向量＝（0，1，1），＝（2，0，0），故·＝0，
∴ BE⊥DC.
（2）∵ PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴ AB⊥PA.
∵ AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴ AB⊥平面PAD.
∴ 向量＝（1，0，0）为平面PAD的一个法向量.
而·＝0，∴⊥.
又∵ BE?平面PAD，∴ BE∥平面PAD.
（3）由（2）知平面PAD的一个法向量为＝（1，0，0），
向量＝（0，2，-2），＝（2，0，0），
设平面PCD的一个法向量为＝（x，y，z），
则
取y＝1，可得平面PCD的一个法向量为＝（0，1，1）.
∵·，∴ ⊥，
∴ 平面PCD⊥平面PAD.
12. （1）证明：以A为坐标原点，以AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，），C1（0，1，），
，B1（1，0，）.
所以＝（1，0，-），＝，＝（0，1，）.
设平面AC1D的一个法向量为＝（x，y，z），
则有取z＝1，则x＝，y＝-.
所以＝（，-，1）.
所以·＝1×+0× （-）+（-）×1＝0，所以⊥.
因为A1B?平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D.
（2）解：存在.假设在棱CC1上存在一点M，使B1M⊥平面AC1D.
设M（0，1，λ），λ∈［0，］，则＝（-1，1，λ-）.
由（1）知，平面AC1D的一个法向量为＝（，-，1），若B1M⊥平面AC1D，则∥.
所以＝＝，解得λ＝∈［0，］，即M，且＝.
所以在棱CC1上存在一点M，且满足＝，使B1M⊥平面AC1D.
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