2024年北师大版数学七（下）期中专项复习2 同底数幂的乘除法
一、选择题
1．（2022七下·南山期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023七下·光明期中）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023七下·清新期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023七下·佛冈期中）若am＝12，an＝3，则am-n等于（ ）
A．4 B．9 C．15 D．36
5．（2023七下·佛冈期中）计算等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2023七下·紫金期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·深圳期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023七下·南山期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3·a3＝a5 B．（π－3.14）0＝1
C．（）－1＝－2 D．x20÷x2＝x10
9．（2023七下·深圳期中）下列运算正确的是（ ）
A．a4 a5＝a20 B．a3 a3 a3＝3a3
C．a4＋a5＝a9 D．（-a3）4＝a12
10．（2023七下·英德期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023七下·宝安期中），，则等于 ．
12．（2023七下·光明期中）计算： ．
13．（2023七下·佛冈期中）计算：2x2y （-xy）3＝ ．
14．（2023七下·宝安期中）已知8 （2m）n＝64，|n|＝1，则m＝ ．
15．（2023七下·南山期中）若，则的值为 ．
三、计算题
16．（2020七下·龙岗期中）计算：
（1）
（2）
（3）
（4） （用简便方法）
四、解答题
17．阅读下面的文字，回答后面的问题：求5+52+53+…+5100的值．
解：令S=5+52+53+…+5100（1），将等式两边同时乘以5得到：5S=52+53+54+…+5101（2），
（2）﹣（1）得：4S=5101﹣5，∴
问题：
（1）求2+22+23+…+2100的值；
（2）求4+12+36+…+4×340的值．
18．阅读理解并解答：
为了求1+2+22+23+24+…+22009的值，可令S=1+2+22+23+24+…+22009，
则2S=2+22+23+24+…+22009+22010，因此2S﹣S=（2+22+23+…+22009+22010）﹣（1+2+22+23+…+22009）=22010﹣1．
所以：S=22010﹣1．即1+2+22+23+24+…+22009=22010﹣1．
请依照此法，求：1+4+42+43+44+…+42010的值．
19．根据已知求值．
（1）已知3×9m×27m=316，求m的值．
（2）已知am=2，an=5，求a2m﹣3n的值．
（3）已知2x+5y﹣3=0，求4x 32y的值．
五、实践探究题
20．请阅读材料：
①一般地，n个相同的因数a相乘：记为an，如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
②一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为（即=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
（1）计算下列各对数的值：
log24 ； log216= ； log264= ．
（2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是 ，那么log24、log216、log264存在的关系式是
（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）请你运用幂的运算法则am an=am+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．
六、综合题
21．（2023七下·榕城期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
22．（2023七下·顺德期中）已知，．
（1）求和；
（2）若变量，满足，求与的关系式；
（3）在（2）的条件下，求的值．
23．（2022七下·紫金期中）“已知am=4，am+n=20，求an的值．”这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得： am+n=aman，所以20=4an， 所以an=5．
请利用这样的思考方法解决下列问题：
已知am=3，an=5，求下列代数的值：
（1）a2m+n；
（2）am-3n．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项逐项判断即可。
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确，
故答案为：D.
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、(-3xy)2=9x2y2，故错误；
B、3x2+4x2=7x2，故错误；
C、t(3t2-t+1)=3t3-t2+t，故错误；
D、(-a3)4÷(-a4)3=a12÷(-a12)=-1，故正确.
故答案为：D.
【分析】积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据单项式与多项式的乘法法则可判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：am-n=am÷an=12÷3=4.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减的性质的逆用解答.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a4·a2÷a2=a6-2=a4.
故答案为：C
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算，可求出结果.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a8÷a4=a4，A错误；
B、(ab2)3=a3b6，B错误；
C、（a3）2·a4=a6·a4=a10，C错误；
D、（a5）2=a10，D正确。
故答案为：D
【分析】同底数幂的除法，底数不变，指数相减；积的乘方是将积的每一个因式都进行乘方；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：a与2a不是同类项，不能合并，故A错误；
B：a6÷a3=a3，故B错误；
C：(a2)3=a6，故C错误；
D：a3·a2=a5，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断D.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】A、a3·a3＝a3+3=a6，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、（）－1 =2，C不符合题意；
D、x20÷x2＝x18，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂的乘法、0指数幂、负指数幂和同底数幂的除法逐项判断即可。
9．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同类项的概念；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：a4 a5＝a9 ≠a20，计算错误；
B：a3 a3 a3＝a9≠3a3，计算错误；
C：a4＋a5≠a9，计算错误；
D：（-a3）4＝a12，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，同类项，幂的乘方法则计算求解即可。
10．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，完全平方公式，平方差公式计算求解即可。
11．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵2m=3，2n=4，
∴．
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减；将已知等式代入计算即可求出值.
12．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：原式=x8-2=x6.
故答案为：x6.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算.
13．【答案】-2x5y4
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：原式=2x2y (-x3y3)=-2x5y4；
故填：-2x5y4.
【分析】先根据积的乘方计算后半部分，再根据同底数的乘法原则底数不变指数相加即可.
14．【答案】±3
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵8·(2m)n=23·2mn=23+mn=64=26，
∴3+mn=6，
∴mn=3.
∵|n|=1，
∴n=±1，
∴m=±3.
故答案为：±3.
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则可得8·(2m)n=23·2mn=23+mn=64=26，则3+mn=6，求出mn的值，根据|n|=1可得n=±1，据此可得m的值.
15．【答案】54
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：54.
【分析】利用同底数幂的乘法及积的乘方计算方法求解即可。
16．【答案】（1）解：原式=3－4＋1=0
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】实数的运算；同底数幂的除法；整式的混合运算；积的乘方；幂的乘方
【解析】【分析】（1）先计算每一部分的值，再算加减法即可．
（2）先利用积的乘方运算法则计算 ，然后根据同底数幂的乘除法运算法则计算即可．
（3）利用单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则即可．
（4）灵活运用积的乘方运算法则及灵活运用平方差公式即可计算．
17．【答案】（1）解：令S=2+22+23+…+2100①，
将等式两边同时乘以2得到：2S=22+23+…+2101②，
②﹣①得：S=2101﹣2；
（2）解：∵4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340），
令S=4×（1+3+32+33+…+340）①，
∴将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+32+33+…+341）②，
②﹣①得：2S=4×（341﹣1），
∴S=2×（341﹣1）．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】（1）令S=2+22+23+…+2100①，
将等式两边同时乘以2得到：2S=22+23+…+2101②，
②﹣①得：S=2101﹣2；
（2）∵4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340），
令S=4×（1+3+32+33+…+340）①，
∴将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+32+33+…+341）②，
②﹣①得：2S=4×（341﹣1），
∴S=2×（341﹣1）．
【分析】（1）由题意可S=2+22+23+…+2100①，将等式两边同时乘以2得到：2S=22+23+…+2101②，由②﹣①即可求得答案；
（2）由4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340），然后令S=4×（1+3+32+33+…+340）①，将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+32+33+…+341）②，由②﹣①即可求得答案．
18．【答案】解：为了求1+4+42+43+44+…+42010的值，可令S=1+4+42+43+44+…+42010，
则4S=4+42+43+44+…+42011，
所以4S﹣S=（4+42+43+44+…+42011）﹣（1+4+42+43+44+…+42011）=42011﹣1，
所以3S=42011﹣1，
S=（42011﹣1），
即1+4+42+43+44+…+42010= （42011﹣1）．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据题意先设S=1+4+42+43+44+…+42010，从而求出4S的值，然后用4S﹣S即可得到答案．
19．【答案】解：（1）∵3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=316
∴5m+1=16
∴m=3；
（2）∵am=2，an=5，
∴a2m﹣3n=a2m÷a3n=22÷53=；
（3）∵2x+5y﹣3=0，
∴2x+5y=3，
则4x 32y=22x 25y=22x+5y=23=8．
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法整理得出m的数值即可；
（2）利用同底数幂的除法，改为除法算式计算即可；
（3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法整理，进一步整体代入求得数值即可．
20．【答案】（1）2；4；6
（2）4×16=64；log24+log216=log264
（3）loga（MN）
（4）证明：设logaM=x，logaN=y，
则ax=M，ay=N，
∴MN=ax ay=ax+y，
∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】（1）∵22=4，∴log24=2，
∵24=16，∴log216=4，
∵26=64，∴log264=6；
（2）4×16=64，log24+log216=log264；
（3）logaM+logaN=loga（MN）；
（4）证明：设logaM=x，logaN=y，
则ax=M，ay=N，
∴MN=ax ay=ax+y，
∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；
（3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga（MN）；
（4）首先可设logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则：an am=an+m以及对数的含义证明结论．
21．【答案】（1）解：；
（2）解：当，，时，
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算；幂的乘方
【解析】【分析】(1)根据新运算可得x=2，a=2，b=3，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式求值.
(2)根据新运算可得x=2，a=p，b=q，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式列出等式，再通过幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则求值.
(3)根据新运算可得x=9，a=1，b=2t，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式列出等式，再通过同底数幂的乘法法则进行分解得到，进而求得t的值.
22．【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用整式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）将A、B的代数式代入，再化简可得；
（3）将代数式变形为，再将代入计算即可。
23．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方将代数式变形为，再将 代入计算即可；
（2）利用同底数幂的除法和幂的乘方将代数式 am-3n变形为，再将代入计算即可。
1 / 12024年北师大版数学七（下）期中专项复习2 同底数幂的乘除法
一、选择题
1．（2022七下·南山期末）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及合并同类项逐项判断即可。
2．（2023七下·光明期中）下列计算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确，
故答案为：D.
【分析】幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
3．（2023七下·清新期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、(-3xy)2=9x2y2，故错误；
B、3x2+4x2=7x2，故错误；
C、t(3t2-t+1)=3t3-t2+t，故错误；
D、(-a3)4÷(-a4)3=a12÷(-a12)=-1，故正确.
故答案为：D.
【分析】积的乘方：先对每一项进行乘方，然后将结果相乘，据此判断A；合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断B；根据单项式与多项式的乘法法则可判断C；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.
4．（2023七下·佛冈期中）若am＝12，an＝3，则am-n等于（ ）
A．4 B．9 C．15 D．36
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：am-n=am÷an=12÷3=4.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减的性质的逆用解答.
5．（2023七下·佛冈期中）计算等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法
【解析】【解答】解：a4·a2÷a2=a6-2=a4.
故答案为：C
【分析】利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行计算，可求出结果.
6．（2023七下·紫金期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、a8÷a4=a4，A错误；
B、(ab2)3=a3b6，B错误；
C、（a3）2·a4=a6·a4=a10，C错误；
D、（a5）2=a10，D正确。
故答案为：D
【分析】同底数幂的除法，底数不变，指数相减；积的乘方是将积的每一个因式都进行乘方；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变，指数相加
7．（2023七下·深圳期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；同类项的概念；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：a与2a不是同类项，不能合并，故A错误；
B：a6÷a3=a3，故B错误；
C：(a2)3=a6，故C错误；
D：a3·a2=a5，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同的项可判断A；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断B；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断C；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断D.
8．（2023七下·南山期中）下列计算正确的是（ ）
A．a3·a3＝a5 B．（π－3.14）0＝1
C．（）－1＝－2 D．x20÷x2＝x10
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】A、a3·a3＝a3+3=a6，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、（）－1 =2，C不符合题意；
D、x20÷x2＝x18，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用同底数幂的乘法、0指数幂、负指数幂和同底数幂的除法逐项判断即可。
9．（2023七下·深圳期中）下列运算正确的是（ ）
A．a4 a5＝a20 B．a3 a3 a3＝3a3
C．a4＋a5＝a9 D．（-a3）4＝a12
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同类项的概念；幂的乘方
【解析】【解答】解： A：a4 a5＝a9 ≠a20，计算错误；
B：a3 a3 a3＝a9≠3a3，计算错误；
C：a4＋a5≠a9，计算错误；
D：（-a3）4＝a12，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，同类项，幂的乘方法则计算求解即可。
10．（2023七下·英德期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A：，计算错误；
B：，计算错误；
C：，计算错误；
D：，计算正确；
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则，完全平方公式，平方差公式计算求解即可。
二、填空题
11．（2023七下·宝安期中），，则等于 ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：∵2m=3，2n=4，
∴．
故答案为：.
【分析】根据同底数幂的除法的运算性质：同底数幂相除，底数不变，指数相减；将已知等式代入计算即可求出值.
12．（2023七下·光明期中）计算： ．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：原式=x8-2=x6.
故答案为：x6.
【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算.
13．（2023七下·佛冈期中）计算：2x2y （-xy）3＝ ．
【答案】-2x5y4
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方
【解析】【解答】解：原式=2x2y (-x3y3)=-2x5y4；
故填：-2x5y4.
【分析】先根据积的乘方计算后半部分，再根据同底数的乘法原则底数不变指数相加即可.
14．（2023七下·宝安期中）已知8 （2m）n＝64，|n|＝1，则m＝ ．
【答案】±3
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵8·(2m)n=23·2mn=23+mn=64=26，
∴3+mn=6，
∴mn=3.
∵|n|=1，
∴n=±1，
∴m=±3.
故答案为：±3.
【分析】根据幂的乘方法则以及同底数幂的乘法法则可得8·(2m)n=23·2mn=23+mn=64=26，则3+mn=6，求出mn的值，根据|n|=1可得n=±1，据此可得m的值.
15．（2023七下·南山期中）若，则的值为 ．
【答案】54
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】∵，
∴，
故答案为：54.
【分析】利用同底数幂的乘法及积的乘方计算方法求解即可。
三、计算题
16．（2020七下·龙岗期中）计算：
（1）
（2）
（3）
（4） （用简便方法）
【答案】（1）解：原式=3－4＋1=0
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
【知识点】实数的运算；同底数幂的除法；整式的混合运算；积的乘方；幂的乘方
【解析】【分析】（1）先计算每一部分的值，再算加减法即可．
（2）先利用积的乘方运算法则计算 ，然后根据同底数幂的乘除法运算法则计算即可．
（3）利用单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则即可．
（4）灵活运用积的乘方运算法则及灵活运用平方差公式即可计算．
四、解答题
17．阅读下面的文字，回答后面的问题：求5+52+53+…+5100的值．
解：令S=5+52+53+…+5100（1），将等式两边同时乘以5得到：5S=52+53+54+…+5101（2），
（2）﹣（1）得：4S=5101﹣5，∴
问题：
（1）求2+22+23+…+2100的值；
（2）求4+12+36+…+4×340的值．
【答案】（1）解：令S=2+22+23+…+2100①，
将等式两边同时乘以2得到：2S=22+23+…+2101②，
②﹣①得：S=2101﹣2；
（2）解：∵4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340），
令S=4×（1+3+32+33+…+340）①，
∴将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+32+33+…+341）②，
②﹣①得：2S=4×（341﹣1），
∴S=2×（341﹣1）．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】（1）令S=2+22+23+…+2100①，
将等式两边同时乘以2得到：2S=22+23+…+2101②，
②﹣①得：S=2101﹣2；
（2）∵4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340），
令S=4×（1+3+32+33+…+340）①，
∴将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+32+33+…+341）②，
②﹣①得：2S=4×（341﹣1），
∴S=2×（341﹣1）．
【分析】（1）由题意可S=2+22+23+…+2100①，将等式两边同时乘以2得到：2S=22+23+…+2101②，由②﹣①即可求得答案；
（2）由4+12+36+…+4×340=4×（1+3+32+33+…+340），然后令S=4×（1+3+32+33+…+340）①，将等式两边同时乘以3得到：3S=4×（3+32+33+…+341）②，由②﹣①即可求得答案．
18．阅读理解并解答：
为了求1+2+22+23+24+…+22009的值，可令S=1+2+22+23+24+…+22009，
则2S=2+22+23+24+…+22009+22010，因此2S﹣S=（2+22+23+…+22009+22010）﹣（1+2+22+23+…+22009）=22010﹣1．
所以：S=22010﹣1．即1+2+22+23+24+…+22009=22010﹣1．
请依照此法，求：1+4+42+43+44+…+42010的值．
【答案】解：为了求1+4+42+43+44+…+42010的值，可令S=1+4+42+43+44+…+42010，
则4S=4+42+43+44+…+42011，
所以4S﹣S=（4+42+43+44+…+42011）﹣（1+4+42+43+44+…+42011）=42011﹣1，
所以3S=42011﹣1，
S=（42011﹣1），
即1+4+42+43+44+…+42010= （42011﹣1）．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【分析】根据题意先设S=1+4+42+43+44+…+42010，从而求出4S的值，然后用4S﹣S即可得到答案．
19．根据已知求值．
（1）已知3×9m×27m=316，求m的值．
（2）已知am=2，an=5，求a2m﹣3n的值．
（3）已知2x+5y﹣3=0，求4x 32y的值．
【答案】解：（1）∵3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m=316
∴5m+1=16
∴m=3；
（2）∵am=2，an=5，
∴a2m﹣3n=a2m÷a3n=22÷53=；
（3）∵2x+5y﹣3=0，
∴2x+5y=3，
则4x 32y=22x 25y=22x+5y=23=8．
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用幂的乘方和同底数幂的乘法整理得出m的数值即可；
（2）利用同底数幂的除法，改为除法算式计算即可；
（3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法整理，进一步整体代入求得数值即可．
五、实践探究题
20．请阅读材料：
①一般地，n个相同的因数a相乘：记为an，如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．
②一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为（即=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．
（1）计算下列各对数的值：
log24 ； log216= ； log264= ．
（2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是 ，那么log24、log216、log264存在的关系式是
（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN= （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）请你运用幂的运算法则am an=am+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．
【答案】（1）2；4；6
（2）4×16=64；log24+log216=log264
（3）loga（MN）
（4）证明：设logaM=x，logaN=y，
则ax=M，ay=N，
∴MN=ax ay=ax+y，
∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】（1）∵22=4，∴log24=2，
∵24=16，∴log216=4，
∵26=64，∴log264=6；
（2）4×16=64，log24+log216=log264；
（3）logaM+logaN=loga（MN）；
（4）证明：设logaM=x，logaN=y，
则ax=M，ay=N，
∴MN=ax ay=ax+y，
∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．
【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；
（3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga（MN）；
（4）首先可设logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则：an am=an+m以及对数的含义证明结论．
六、综合题
21．（2023七下·榕城期末）定义一种幂的新运算：，请利用这种运算规则解决下列问题：
（1）求的值；
（2）若，，，求的值；
（3）若运算的结果为810，则t的值是多少？
【答案】（1）解：；
（2）解：当，，时，
（3）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得：．
【知识点】同底数幂的乘法；定义新运算；幂的乘方
【解析】【分析】(1)根据新运算可得x=2，a=2，b=3，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式求值.
(2)根据新运算可得x=2，a=p，b=q，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式列出等式，再通过幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则求值.
(3)根据新运算可得x=9，a=1，b=2t，代入x、a、b的值利用新运算的运算公式列出等式，再通过同底数幂的乘法法则进行分解得到，进而求得t的值.
22．（2023七下·顺德期中）已知，．
（1）求和；
（2）若变量，满足，求与的关系式；
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用整式的混合运算的计算方法求解即可；
（2）将A、B的代数式代入，再化简可得；
（3）将代数式变形为，再将代入计算即可。
23．（2022七下·紫金期中）“已知am=4，am+n=20，求an的值．”这个问题，我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，可得： am+n=aman，所以20=4an， 所以an=5．
请利用这样的思考方法解决下列问题：
已知am=3，an=5，求下列代数的值：
（1）a2m+n；
（2）am-3n．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴.
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方将代数式变形为，再将 代入计算即可；
（2）利用同底数幂的除法和幂的乘方将代数式 am-3n变形为，再将代入计算即可。
1 / 1
