2024年北师大版数学七（下）期中专项复方差公式和完全平方公式
一、选择题
1．（2023七下·宝安期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023七下·南山期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019七下·深圳期中）下列多项式，为完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022七下·电白月考）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023七下·佛冈期中）下列各式中，不能用平方差公式的是（ ）
A．（4x-3y）（3y-4x） B．（-4x+3y）（4x+3y）
C．（-4x+3y）（-4x-3y） D．（4x+3y）（4x-3y）
6．（2023七下·清远期中）下列计算正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·清远期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023七下·佛冈期中）若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．-2 B．±8 C．2 D．3
9．（2023七下·佛冈期中）已知，，则（ ）
A．13 B．19 C．26 D．37
10．（2023七下·佛冈期中）下列计算中①；②；③；④；⑤；正确的个数有…（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023七下·宝安期中）已知是完全平方式，则的值为 ．
12．（2023七下·紫金期中） = ；
13．（2023七下·深圳期中）若是完全平方式，则a＝ ．
14．（2023七下·深圳期中）如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号）
15．（2023七下·龙岗期中）阅读材料解决问题．
小明遇到下面一个问题：
计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(8+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1．
请你仿照小明解决问题的方法，计算：(6+1)(62+1)(64+1)(68+1)=
三、计算题
16．（2023七下·宝安期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）请用简便运算
17．（2023七下·龙岗期中）计算：
（1） (π-3)0+()-2+(-1)2022；
（2）x·x2·x3+(x2)3-2(x3)2；
（3） (a+3b-2c)(a+3b+2c)；
（4） 20222-2021×2023．
四、解答题
18．（2023七下·南山期中）如图，是由四个长为，宽为的小长方形拼成的正方形．
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为 用含，的代数式表示；
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ；
（3）根据(2)中的结论，解决下列问题：若，，求阴影正方形的面积．
19．（2023七下·龙岗期中）先化简，再求值： [(x+2y)2-(x-2y)2-(x+2y)(x-2y)-4y2]÷2x，其中x=-2，y= ；
五、实践探究题
20．（2023七下·宝安期中）
（1）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图的长方形比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： 用字母、表示；
（2）【应用】请应用这个公式完成下列各题：
已知，，则的值为 ▲ ；
计算：；
（3）【拓展】计算的结果为 ．
21．（2023七下·光明期中）【阅读理解】
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．
解：，，
，．
．
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则 ；
（2）类比应用：
若，，求的值；
（3）思维拓展：
如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
六、综合题
22．（2023七下·禅城期中）阅读下面的材料，然后解答后面的问题：在数学中，“算两次”是一种常用的方法其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式成立例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式．
（1）理解：运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是 .
（2）应用：七①班某数学学习小组用8个直角边长为、的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形与的正方形，运用“算两次”的方法计算正方形的面积，可以得到的等式是 ；
（3）拓展：如图4，已知中，，，，，点是上一动点.求的最小值．
23．（2023七下·佛冈期中）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a-b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x-y的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、a2+2ab+b2=（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x+2）2=x2+4x+4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（x-6）（x+6）=x2-36，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（x-y）2=（y-x）2，原计算正确，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍；平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，解答即可.
2．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
可得（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴（a+b）9第三项系数为1+2+3+…+8=36，
故答案为：B.
【分析】根据题意和完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，找出系数规律，即可求解得出答案.
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 符合完全平方公式.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式定义即可解答．完全平方式是一个三项式，首尾两项是两个式子的平方，中间是首尾两项积的二倍的形式，据此即可解答．
4．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. =y2-x2，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. 不符合题意；
D. ，不能用平方差公式进行计算，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的特征逐项判断即可。
5．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：平方差公式的要求为两个括号中有一项的符号相同，另一项的符号相反.由此可知A不能使用平方差公式，B、C、D均可使用平方差公式.因此A正确，B、C、D错误，
故答案为：A.
【分析】根据公式(a+b)(a-b)=a2-b2左边的形式，判断能否使用.
6．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、a5+a5=2a5，故错误；
B、(a+2)(a-2)=a2-4，故正确；
C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故错误；
D、4a-2a=2a，故错误.
故答案为：B.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A、D；根据平方差公式可判断B；根据完全平方公式可判断C.
7．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、(-a+b)(a-b)=-(a-b)2，故不符合题意；
B、(x+2)(2+x)=(x+2)2，故不符合题意；
C、(+y)(y-)=(y+)(y-)，故符合题意；
D、(x-2)(x+1)，不是两个数的和与两数之差的形式，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，可表示为(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断即可.
8．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+mx+16是完全平方式，
∴m=±2×1×=±8.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点可得m=±2×1×，计算即可.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ab=-5，a-b=6，
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=36-2×5=26.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可得a2+b2=(a-b)2+2ab，然后将已知条件代入进行计算.
10．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：x（2x2-x+1）=2x3-x2+x，故①错误；
（a+b）2=a2+b2+2ab，故②错误；
（x-4）2=x2-8x+16，故③错误；
（5a-1）（-5a-1）=-25a2+1，故④错误；
（-a-b）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，故⑤正确；
∴正确结论的个数有1个.
故答案为：A
【分析】利用单项式乘以多项式的法则去括号，可对①作出判断；利用完全平方公式进行计算，可对②③⑤作出判断；利用平方差公式看，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】4或-6
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵（x±5）2=x2±10x+25，
∴2（m+1）=±10，
∴m=4或-6
故答案为：4或-6.
【分析】 根据完全平方平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍；即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用平方差公式将每一项都分解成两个因式，然后约分得出计算结果。
13．【答案】13或-11
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
又∵，
∴(1-a）xy=±2×2x×3y，
∴1-a=±12，
∴a=13或a=-11，
故答案为：13或-11.
【分析】利用完全平方式的定义先求出(1-a）xy=±2×2x×3y，再求出1-a=±12，最后计算求解即可。
14．【答案】①②③④
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图①可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图②可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图③可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积==(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图④可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
故答案为：①②③④.
【分析】结合阴影部分的面积公式，求证平方差公式即可。
15．【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】原式＝
＝
＝
＝
＝
=
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1；绝对值的性质：正数的绝对值是其本身；负整数指数幂：任何一个不为零的数a的-n次幂(n为任何正整数)等于a的n次幂的倒数，化简后计算即可；
（2）根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式除以单项式的法则：把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的字母的幂也作为商的因式，计算即可；
（3）根据完全平方公式：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍；多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，展开计算即可；
（4）利用平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，计算即可．
17．【答案】（1）解：原式=1+4+1=6
（2）解：原式=x6+x6-2x6=0
（3）解：原式=[(a+3b)-2c][(a+3b)+2c]
=(a+3b)2-(2c)2
=a2+6ab+9b2-4c2
（4）解：原式=2022-(2022-1) ×(2022+1)
=20222-(20222-12)
=20222-20222+12
=1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用，负指数次方、偶数次方运算即可。
（2）同底数幂乘法混合运算
（3）利用平方差公式求解即可
（4）利用平方差公式求解即可
18．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
，
当，，
原式
．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由拼图可知，图中的阴影正方形的边长可表示为m-n，
故答案为：m-n；
（2）大正方形的边长为m+n，因此面积为（m+n）2，
小正方形的边长为m-n，因此面积为（m-n）2，
4个小长方形的面积和为4mn，
所以有（m+n）2-（m-n）2=4mn，
故答案为：（m+n）2-（m-n）2=4mn；
【分析】（1）根据拼图可得答案；
（2）根据图形中各个部分面积之间的和差关系得出答案；
（3）根据（m+n）2-（m-n）2=4mn，整体代入计算即可．
19．【答案】解：原式=[x2+4xy+4y2-(x2- 4xy+4y2)-(x2-4y2)-4y2] ÷2x
=(x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2-x2+4y2-4y2)÷2x
=(8xy-x2)÷2x
=4y-x．
当x=-2，y=时，原式=4×-×(-2)=3．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答
20．【答案】（1）
（2）解：①12；
②
；
（3）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图①中的阴影面积为a2-b2，
图②的面积为（a+b）（a-b），
这两个面积相等，
∴（a+b）（a-b）=a2-b2．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）①根据探究的公式可得，（2m-n）（2m+n）=4m2-n2，
因为2m-n=3，2m+n=4，
所以4m2-n2=3×4=12；
故答案为：12；
（3）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（232+1）
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（232+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）……（232+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）……（232+1）
=（28-1）（28+1）……（232+1）
=264-1．
故答案为：264-1．
【分析】（1）利用两个面积相等列式即可；
（2）①利用探究中的公式计算即可；
②利用探究中的公式计算即可；
（3）算式乘以（2-1），再利用探究中的公式计算即可．
21．【答案】（1）40
（2）解：，，
，，
，
．
（3）解：设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵x+y=8，xy=12，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=64，
∴x2+y2=64-2xy=64-24=40.
故答案为：40.
【分析】（1）根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+y2+2xy，然后将已知条件代入进行计算；
（2）由完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，将已知条件代入就可求出xy的值；
（3）设AC=a，BC=b，由AB=6可得a+b=6，则(a+b)2=a2+2ab+b2=36，由S1+S2=18可得a2+b2=18，代入求解可得ab的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
22．【答案】（1）
（2）
（3）解：由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得，
当时，最短，
由三角形的面积可得，
，
即，
，
答：的最小值为．
【知识点】完全平方公式的几何背景；垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：大正方形的边长为(a+b+c)，则面积为(a+b+c)2，
根据面积间的和差关系可得：大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
（2）由图形可得：正方形A2B2C2D2的边长为(a-b)，则面积为(a-b)2，
根据面积间的和差关系可得：正方形A2B2C2D2的面积=(a+b)2-4ab，
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab.
故答案为：(a-b)2=(a+b)2-4ab.
【分析】（1）由图形可得：大正方形的边长为(a+b+c)，则面积为(a+b+c)2，根据面积间的和差关系表示出大正方形的面积，据此解答；
（2）由图形可得：正方形A2B2C2D2的边长为(a-b)，则面积为(a-b)2，根据面积间的和差关系表示出正方形A2B2C2D2的面积，据此解答；
（3）由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得：当CD⊥AB时，CD最短，然后根据等面积法进行求解.
23．【答案】（1）a-b
（2）（a-b）2；（a+b）2-4ab
（3）解：（a-b）2＝（a+b）2-4ab；
（4）解：∵x+y＝10，xy＝16，
∴（x-y）2＝（x+y）2-4xy＝102-4×16＝36，
∴x-y＝±6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2中阴影部分的正方形的边长为(a-b)；
（2）根据（1）中的边长可得S阴影=(a-b)2；
根据面积间的和差关系可得S阴影=(a+b)2-4ab；
（3）由（2）可得(a-b)2=(a+b)2-4ab；
【分析】（1）根据图形即可得到图2中阴影部分正方形的边长；
（2）根据阴影部分正方形的边长可得面积，还可利用面积间的和差关系表示出阴影部分的面积；
（3）根据两种方法表示出的阴影部分的面积相等可得三个代数式之间的关系；
（4）由（3）可得(x-y)2=(x+y)2-4xy，然后将已知条件代入进行计算.
1 / 12024年北师大版数学七（下）期中专项复方差公式和完全平方公式
一、选择题
1．（2023七下·宝安期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、a2+2ab+b2=（a+b）2，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x+2）2=x2+4x+4，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（x-6）（x+6）=x2-36，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（x-y）2=（y-x）2，原计算正确，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍；平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，解答即可.
2．（2023七下·南山期中）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉约世纪所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，根据“杨辉三角”计算的展开式中第三项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；
（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；
可得（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），
∴（a+b）9第三项系数为1+2+3+…+8=36，
故答案为：B.
【分析】根据题意和完全平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，找出系数规律，即可求解得出答案.
3．（2019七下·深圳期中）下列多项式，为完全平方式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】 符合完全平方公式.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式定义即可解答．完全平方式是一个三项式，首尾两项是两个式子的平方，中间是首尾两项积的二倍的形式，据此即可解答．
4．（2022七下·电白月考）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A. =y2-x2，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. 不符合题意；
D. ，不能用平方差公式进行计算，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用平方差公式的特征逐项判断即可。
5．（2023七下·佛冈期中）下列各式中，不能用平方差公式的是（ ）
A．（4x-3y）（3y-4x） B．（-4x+3y）（4x+3y）
C．（-4x+3y）（-4x-3y） D．（4x+3y）（4x-3y）
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：平方差公式的要求为两个括号中有一项的符号相同，另一项的符号相反.由此可知A不能使用平方差公式，B、C、D均可使用平方差公式.因此A正确，B、C、D错误，
故答案为：A.
【分析】根据公式(a+b)(a-b)=a2-b2左边的形式，判断能否使用.
6．（2023七下·清远期中）下列计算正确的一项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、a5+a5=2a5，故错误；
B、(a+2)(a-2)=a2-4，故正确；
C、(a-b)2=a2-2ab+b2，故错误；
D、4a-2a=2a，故错误.
故答案为：B.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A、D；根据平方差公式可判断B；根据完全平方公式可判断C.
7．（2023七下·清远期中）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、(-a+b)(a-b)=-(a-b)2，故不符合题意；
B、(x+2)(2+x)=(x+2)2，故不符合题意；
C、(+y)(y-)=(y+)(y-)，故符合题意；
D、(x-2)(x+1)，不是两个数的和与两数之差的形式，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平方差公式表示两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，可表示为(a+b)(a-b)=a2-b2，据此判断即可.
8．（2023七下·佛冈期中）若x2+mx+16是完全平方式，则m的值是（ ）
A．-2 B．±8 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+mx+16是完全平方式，
∴m=±2×1×=±8.
故答案为：B.
【分析】根据完全平方式的特点可得m=±2×1×，计算即可.
9．（2023七下·佛冈期中）已知，，则（ ）
A．13 B．19 C．26 D．37
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ab=-5，a-b=6，
∴a2+b2=(a-b)2+2ab=36-2×5=26.
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可得a2+b2=(a-b)2+2ab，然后将已知条件代入进行计算.
10．（2023七下·佛冈期中）下列计算中①；②；③；④；⑤；正确的个数有…（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：x（2x2-x+1）=2x3-x2+x，故①错误；
（a+b）2=a2+b2+2ab，故②错误；
（x-4）2=x2-8x+16，故③错误；
（5a-1）（-5a-1）=-25a2+1，故④错误；
（-a-b）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，故⑤正确；
∴正确结论的个数有1个.
故答案为：A
【分析】利用单项式乘以多项式的法则去括号，可对①作出判断；利用完全平方公式进行计算，可对②③⑤作出判断；利用平方差公式看，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
11．（2023七下·宝安期中）已知是完全平方式，则的值为 ．
【答案】4或-6
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵（x±5）2=x2±10x+25，
∴2（m+1）=±10，
∴m=4或-6
故答案为：4或-6.
【分析】 根据完全平方平方公式：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍；两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍；即可求出答案.
12．（2023七下·紫金期中） = ；
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用平方差公式将每一项都分解成两个因式，然后约分得出计算结果。
13．（2023七下·深圳期中）若是完全平方式，则a＝ ．
【答案】13或-11
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是完全平方式，
又∵，
∴(1-a）xy=±2×2x×3y，
∴1-a=±12，
∴a=13或a=-11，
故答案为：13或-11.
【分析】利用完全平方式的定义先求出(1-a）xy=±2×2x×3y，再求出1-a=±12，最后计算求解即可。
14．（2023七下·深圳期中）如图，阴影部分是边长是的大正方形剪去一个边长是的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法中，其中能够验证平方差公式的有 （填序号）
【答案】①②③④
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：由图①可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图②可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图③可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积==(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
由图④可知：左边图形阴影部分的面积=a2-b2，右边图形阴影部分的面积=(a+b)(a-b)，则a2-b2=(a+b)(a-b)，所以可以验证平方差公式；
故答案为：①②③④.
【分析】结合阴影部分的面积公式，求证平方差公式即可。
15．（2023七下·龙岗期中）阅读材料解决问题．
小明遇到下面一个问题：
计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：
(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(8+1)
=(28-1)(28+1)
=216-1．
请你仿照小明解决问题的方法，计算：(6+1)(62+1)(64+1)(68+1)=
【答案】
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】原式＝
＝
＝
＝
＝
=
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值
三、计算题
16．（2023七下·宝安期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）请用简便运算
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】实数的运算；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1；绝对值的性质：正数的绝对值是其本身；负整数指数幂：任何一个不为零的数a的-n次幂(n为任何正整数)等于a的n次幂的倒数，化简后计算即可；
（2）根据积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式除以单项式的法则：把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的字母的幂也作为商的因式，计算即可；
（3）根据完全平方公式：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍；多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，展开计算即可；
（4）利用平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，计算即可．
17．（2023七下·龙岗期中）计算：
（1） (π-3)0+()-2+(-1)2022；
（2）x·x2·x3+(x2)3-2(x3)2；
（3） (a+3b-2c)(a+3b+2c)；
（4） 20222-2021×2023．
【答案】（1）解：原式=1+4+1=6
（2）解：原式=x6+x6-2x6=0
（3）解：原式=[(a+3b)-2c][(a+3b)+2c]
=(a+3b)2-(2c)2
=a2+6ab+9b2-4c2
（4）解：原式=2022-(2022-1) ×(2022+1)
=20222-(20222-12)
=20222-20222+12
=1
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）利用，负指数次方、偶数次方运算即可。
（2）同底数幂乘法混合运算
（3）利用平方差公式求解即可
（4）利用平方差公式求解即可
四、解答题
18．（2023七下·南山期中）如图，是由四个长为，宽为的小长方形拼成的正方形．
（1）图中的阴影正方形的边长可表示为 用含，的代数式表示；
（2）根据图形中的数量关系，请你结合图形直接写出，，之间的一个等量关系 ；
（3）根据(2)中的结论，解决下列问题：若，，求阴影正方形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
，
当，，
原式
．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由拼图可知，图中的阴影正方形的边长可表示为m-n，
故答案为：m-n；
（2）大正方形的边长为m+n，因此面积为（m+n）2，
小正方形的边长为m-n，因此面积为（m-n）2，
4个小长方形的面积和为4mn，
所以有（m+n）2-（m-n）2=4mn，
故答案为：（m+n）2-（m-n）2=4mn；
【分析】（1）根据拼图可得答案；
（2）根据图形中各个部分面积之间的和差关系得出答案；
（3）根据（m+n）2-（m-n）2=4mn，整体代入计算即可．
19．（2023七下·龙岗期中）先化简，再求值： [(x+2y)2-(x-2y)2-(x+2y)(x-2y)-4y2]÷2x，其中x=-2，y= ；
【答案】解：原式=[x2+4xy+4y2-(x2- 4xy+4y2)-(x2-4y2)-4y2] ÷2x
=(x2+4xy+4y2-x2+4xy-4y2-x2+4y2-4y2)÷2x
=(8xy-x2)÷2x
=4y-x．
当x=-2，y=时，原式=4×-×(-2)=3．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用
【解析】【分析】先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算即可解答
五、实践探究题
20．（2023七下·宝安期中）
（1）【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图的长方形比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： 用字母、表示；
（2）【应用】请应用这个公式完成下列各题：
已知，，则的值为 ▲ ；
计算：；
（3）【拓展】计算的结果为 ．
【答案】（1）
（2）解：①12；
②
；
（3）
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）∵图①中的阴影面积为a2-b2，
图②的面积为（a+b）（a-b），
这两个面积相等，
∴（a+b）（a-b）=a2-b2．
故答案为：a2-b2=（a+b）（a-b）；
（2）①根据探究的公式可得，（2m-n）（2m+n）=4m2-n2，
因为2m-n=3，2m+n=4，
所以4m2-n2=3×4=12；
故答案为：12；
（3）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（232+1）
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）……（232+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）……（232+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）……（232+1）
=（28-1）（28+1）……（232+1）
=264-1．
故答案为：264-1．
【分析】（1）利用两个面积相等列式即可；
（2）①利用探究中的公式计算即可；
②利用探究中的公式计算即可；
（3）算式乘以（2-1），再利用探究中的公式计算即可．
21．（2023七下·光明期中）【阅读理解】
完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题．
例：若，，求的值．
解：，，
，．
．
．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，，则 ；
（2）类比应用：
若，，求的值；
（3）思维拓展：
如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）40
（2）解：，，
，，
，
．
（3）解：设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵x+y=8，xy=12，
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=64，
∴x2+y2=64-2xy=64-24=40.
故答案为：40.
【分析】（1）根据完全平方公式可得(x+y)2=x2+y2+2xy，然后将已知条件代入进行计算；
（2）由完全平方公式可得x2+y2=(x+y)2-2xy，将已知条件代入就可求出xy的值；
（3）设AC=a，BC=b，由AB=6可得a+b=6，则(a+b)2=a2+2ab+b2=36，由S1+S2=18可得a2+b2=18，代入求解可得ab的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
六、综合题
22．（2023七下·禅城期中）阅读下面的材料，然后解答后面的问题：在数学中，“算两次”是一种常用的方法其思想是，对一个具体的量用方法甲来计算，得到的答案是A，而用方法乙计算则得到的答案是B，那么等式成立例如，我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积，可以得到等式．
（1）理解：运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积，可以得到的等式是 .
（2）应用：七①班某数学学习小组用8个直角边长为、的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形与的正方形，运用“算两次”的方法计算正方形的面积，可以得到的等式是 ；
（3）拓展：如图4，已知中，，，，，点是上一动点.求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得，
当时，最短，
由三角形的面积可得，
，
即，
，
答：的最小值为．
【知识点】完全平方公式的几何背景；垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：大正方形的边长为(a+b+c)，则面积为(a+b+c)2，
根据面积间的和差关系可得：大正方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
（2）由图形可得：正方形A2B2C2D2的边长为(a-b)，则面积为(a-b)2，
根据面积间的和差关系可得：正方形A2B2C2D2的面积=(a+b)2-4ab，
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab.
故答案为：(a-b)2=(a+b)2-4ab.
【分析】（1）由图形可得：大正方形的边长为(a+b+c)，则面积为(a+b+c)2，根据面积间的和差关系表示出大正方形的面积，据此解答；
（2）由图形可得：正方形A2B2C2D2的边长为(a-b)，则面积为(a-b)2，根据面积间的和差关系表示出正方形A2B2C2D2的面积，据此解答；
（3）由“直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短”可得：当CD⊥AB时，CD最短，然后根据等面积法进行求解.
23．（2023七下·佛冈期中）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2的阴影部分的正方形的边长是 ．
（2）用两种不同的方法求图中阴影部分的面积．
【方法1】S阴影＝ ；
【方法2】S阴影＝ ；
（3）观察如图2，写出（a+b）2，（a-b）2，ab这三个代数式之间的等量关系．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决问题：
若x+y＝10，xy＝16，求x-y的值．
【答案】（1）a-b
（2）（a-b）2；（a+b）2-4ab
（3）解：（a-b）2＝（a+b）2-4ab；
（4）解：∵x+y＝10，xy＝16，
∴（x-y）2＝（x+y）2-4xy＝102-4×16＝36，
∴x-y＝±6．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）由图形可得：图2中阴影部分的正方形的边长为(a-b)；
（2）根据（1）中的边长可得S阴影=(a-b)2；
根据面积间的和差关系可得S阴影=(a+b)2-4ab；
（3）由（2）可得(a-b)2=(a+b)2-4ab；
【分析】（1）根据图形即可得到图2中阴影部分正方形的边长；
（2）根据阴影部分正方形的边长可得面积，还可利用面积间的和差关系表示出阴影部分的面积；
（3）根据两种方法表示出的阴影部分的面积相等可得三个代数式之间的关系；
（4）由（3）可得(x-y)2=(x+y)2-4xy，然后将已知条件代入进行计算.
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