2024年北师大版数学七（下）期中专项复习6 两条直线的位置关系
一、选择题
1．（2023七下·禅城期中）已知：如图，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
2．（2023七下·惠东期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
3．（2023七下·增城期中）如图，直线a，b相交于点O，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023七下·广州期中）如图：已知AB⊥BC，垂足为B，AB＝3.5，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
5．（2023七下·宝安期中）如图，直线a∥b，点C，D分别在直线b，a上，AC⊥BC，CD平分∠ACB，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
6．（2023七下·深圳期中）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作点，将水泵房建在了处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
7．（2023七下·深圳期中）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．72°
8．（2023七下·汕尾期中）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023七下·深圳期中）下列语句中：
①有公共顶点且相等的角是对顶角；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
③两点之间直线最短；
④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2023七下·仁化期中）已知：如图，三条直线交于点O，且，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023七下·清远期中）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是 ．
12．（2023七下·花都期中）一副三角尺的摆放位置如图所示，则的度数是 ．
13．（2023七下·罗定期末）如图，直线a，b相交于点O，，则的度数是 ．
14．（2023七下·越秀期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为 ．
15．（2023七下·潮南期末）如图，于，经过点，，则 ．
三、解答题
16．（2023七下·汕尾期中）如图，直线，相交于点O，，若平分且，求的度数．
17．（2023七下·澄海期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，且，求的度数．
18．（2023七下·花都期末）如图，已知直线和交于点O，，平分，，求，的度数．
四、综合题
19．（2023七下·增城期中）如图所示，直线AB，CD相交于点O，，OF平分．
（1）判断OF与OB的位置关系，并说明理由．
（2） ，求的度数．
20．（2023七下·东莞期中）如图，直线，相交于点，．
（1）的邻补角为 ；
（2）若，判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
21．（2023七下·英德期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O．
（1）图中的补角是 ，的对顶角是 ；
（2）若，求的度数．
22．（2023七下·梅江期末）如图，中，，，垂足为D．
（1）求作的平分线，分别交，于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠AOF，∠AOF+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互余.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠AOF，由垂直的定义可得∠AOF+∠2=90°，则∠1+∠2=90°，据此判断.
2．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：点C到AB的距离即为AB边上的高h，
由三角形的面积公式得：
即：
∴h=2.5，即点C到AB的距离是 2.4
故答案为：2.4.
【分析】根据等面积法可知，据此列出方程，求解可以算出点C到AB的距离.
3．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵直线a，b相交于点O ，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=45°，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-45°=135°.
故答案为：D
【分析】利用对顶角相等，可求出∠1的度数，再利用邻补角的定义求出∠3的度数.
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=3.5，
∴AP≥3.5，
∵3＜3.5，
∴A符合题意；B、C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用垂线段最短可知AP≥3.5，观察各选项可得答案.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=45°.
∵∠1=70°，
∴∠2=∠DEC=180°-∠1-∠DCB=180°-70°-45°=65°.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，根据垂直的定义可得∠ACB=90°，由角平分线的概念可得∠DCB=45°，根据对顶角的性质可得∠2=∠DEC，然后结合内角和定理进行计算.
6．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵CD⊥l，
∴CD最短（垂线段最短）.
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵∠COE是直角，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°-34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝56°-34°＝22°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°．
故答案为： A
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF＝34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
8．【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A.满足两个角相等，但不是对顶角，故A选项符合题意；
B.两个角是对顶角，故B选项不符合题意；
C.两个角不相等，故C选项不符合题意；
D.两个角不相等，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的定义，对每个选项一一判断即可。
9．【答案】A
【知识点】垂线；垂线段最短；点到直线的距离；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，所以该说法错误；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，所以该说法错误；
③两点之间线段最短，所以该说法错误；
④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以该说法正确；
综上所述：正确的个数有1个，
故答案为：A.
【分析】根据对顶角，点到直线的距离，两点之间线段最短，垂线的判定，对每个语句一一判断即可。
10．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝20°，
∴∠AOC＝90°-20°＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵OG平分∠BOD，
∴∠BOG＝∠BOD＝35°．
故答案为： B
【分析】结合图形，根据垂直的定义、角平分线的定义和对顶角的性质，可解此题．
11．【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOC=80°，
∴∠BOC=∠AOD=80°.
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=∠AOD=40°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】由对顶角的性质可得BOC=∠AOD=80°，根据角平分线的概念可得∠DOE=∠AOD=40°，然后利用邻补角的性质进行计算.
12．【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由三角板可得：，，
∴，
∴，
故答案为：105°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠2的度数，再利用对顶角的性质可得。
13．【答案】
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线a，b相交于点O，
∴
故答案为：110°.
【分析】根据对顶角的性质即可求解.
14．【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=150°，
∴∠AOC=150°.
∵OM⊥OA，
∴∠MOA=90°，
∴∠COM=∠AOC-∠AOM=150°-90°=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOC=150°，由垂直的概念可得∠MOA=90°，然后根据∠COM=∠AOC-∠AOM进行计算.
15．【答案】
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴∠COB=90°，
∵∠DOB=∠AOE=40°，
∴∠COD=∠COB-∠DOB=90°-40°=50°；
故答案为：50°.
【分析】由垂直的定义可得∠COB=90°，由对顶角相等可得∠DOB=∠AOE=40°，利用∠COD=∠COB-∠DOB计算即可.
16．【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
【知识点】垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直的定义先求出 ， 再根据角平分线的定义计算即可。
17．【答案】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】由已知条件可知∠BOC=2∠AOC，由邻补角的性质可得∠BOC+∠AOC=180°，联立可得∠BOC、∠AOC的度数，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD，然后根据∠DOE=∠BOE+∠DOB进行计算.
18．【答案】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由垂直的概念可得∠AOE=90°，则∠AOC=∠AOE-∠COE=70°，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD，根据角平分线的概念可得∠BOF=∠BOD，据此计算.
19．【答案】（1）解：OF⊥OB
理由如下：
∵∠BOD＝∠BOE
∴OB平分∠DOE
∴∠BOE＝∠BOD＝ ∠DOE
∵OF平分∠COE
∴∠COF＝∠EOF＝ ∠COE
∴∠BOF＝∠BOE＋∠EOF
＝ ∠DOE＋ ∠COE
＝ （∠DOE＋∠COE）
＝ ∠COD
＝ ×180°
＝90°
∴OF⊥OB
（2）解：设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°
∵∠AOC＋∠AOD＝180°
∴x＋5x＝180
x＝30
∴∠AOC＝30°，∠AOD＝150°
∴∠BOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°
由（1）得∠BOF＝90°
∴∠EOF＝∠BOF－∠BOE
＝90°－30°
＝60°
【知识点】垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用已知可证得OB平分∠DOE，可证得∠BOE=∠DOE，由OF平分∠COE，可证得∠EOF=∠COE；再证明∠BOF＝∠BOE＋∠EOF=∠COD，可推出∠BOF=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（2）利用已知设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°，利用邻补角的定义可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠AOC，∠AOD的度数，利用对顶角相等可求出∠BOD，∠BOE的度数；然后根据∠EOF＝∠BOF－∠BOE，代入计算可求出∠EOF的度数.
20．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
，，
，
又，
，
；
（3）解：，
，
，，
又，
，
．
，，
，
，
．
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】（1）由图形知：∠COM的邻补角为∠MOD；
故答案为：∠MOD.
【分析】（1）根据邻补角的定义即得结论；
（2），理由： 由垂直的定义可得∠AOM=∠1+∠AOC=90°，利用等量代换可得∠2+∠AOC=90°，即得∠NOC=90°，根据垂直定义即得结论；
（3）由垂直的定义及 可求出∠1=30°，从而求出∠AOC=60°，由对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=60°，根据∠MOD=∠MOB+∠BOD进行计算即可.
21．【答案】（1）和；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）观察所给的图形，可知∠AOC的补角是∠BOC和∠AOD，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故答案为：∠BOC和∠AOD；∠BOD.
【分析】（1）根据补角和对顶角的定义，结合图形求解即可；
（2）根据题意先求出∠AOC=40°，再求出∠AOE=90°，最后计算求解即可。
22．【答案】（1）解：如图所示，BQ为所求作；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；对顶角及其性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）按照角平分线的尺规作图规则，作图即可；
（2）根据角平分线的性质得∠ABQ=∠CBQ，根据垂直，利用等角的余角相等及对顶角相等证明∠AQP=∠APQ，再根据等角对等边得出结论.
1 / 12024年北师大版数学七（下）期中专项复习6 两条直线的位置关系
一、选择题
1．（2023七下·禅城期中）已知：如图，，垂足为，为过点的一条直线，则与的关系一定成立的是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠1=∠AOF，∠AOF+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1与∠2互余.
故答案为：B.
【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠AOF，由垂直的定义可得∠AOF+∠2=90°，则∠1+∠2=90°，据此判断.
2．（2023七下·惠东期中）如图，在直角三角形中，，，，，则点到的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：点C到AB的距离即为AB边上的高h，
由三角形的面积公式得：
即：
∴h=2.5，即点C到AB的距离是 2.4
故答案为：2.4.
【分析】根据等面积法可知，据此列出方程，求解可以算出点C到AB的距离.
3．（2023七下·增城期中）如图，直线a，b相交于点O，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵直线a，b相交于点O ，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=45°，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-45°=135°.
故答案为：D
【分析】利用对顶角相等，可求出∠1的度数，再利用邻补角的定义求出∠3的度数.
4．（2023七下·广州期中）如图：已知AB⊥BC，垂足为B，AB＝3.5，点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵AB⊥BC，AB=3.5，
∴AP≥3.5，
∵3＜3.5，
∴A符合题意；B、C、D不符合题意；
故答案为：A
【分析】利用垂线段最短可知AP≥3.5，观察各选项可得答案.
5．（2023七下·宝安期中）如图，直线a∥b，点C，D分别在直线b，a上，AC⊥BC，CD平分∠ACB，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：对图形进行点标注：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=45°.
∵∠1=70°，
∴∠2=∠DEC=180°-∠1-∠DCB=180°-70°-45°=65°.
故答案为：A.
【分析】对图形进行点标注，根据垂直的定义可得∠ACB=90°，由角平分线的概念可得∠DCB=45°，根据对顶角的性质可得∠2=∠DEC，然后结合内角和定理进行计算.
6．（2023七下·深圳期中）如图，某单位要在河岸上建一个水泵房引水到处，他们的做法是：过点作点，将水泵房建在了处，这样做最节省水管长度，其数学道理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵CD⊥l，
∴CD最短（垂线段最短）.
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短的性质进行解答.
7．（2023七下·深圳期中）如图，已知直线和相交于点，是直角，平分，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．72°
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】∵∠COE是直角，∠COF＝34°，
∴∠EOF＝90°-34°＝56°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝56°，
∴∠AOC＝56°-34°＝22°，
∴∠BOD＝∠AOC＝22°．
故答案为： A
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF＝34°求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
8．（2023七下·汕尾期中）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A.满足两个角相等，但不是对顶角，故A选项符合题意；
B.两个角是对顶角，故B选项不符合题意；
C.两个角不相等，故C选项不符合题意；
D.两个角不相等，故D选项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的定义，对每个选项一一判断即可。
9．（2023七下·深圳期中）下列语句中：
①有公共顶点且相等的角是对顶角；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
③两点之间直线最短；
④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂线；垂线段最短；点到直线的距离；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：①有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角是对顶角，所以该说法错误；
②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，所以该说法错误；
③两点之间线段最短，所以该说法错误；
④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以该说法正确；
综上所述：正确的个数有1个，
故答案为：A.
【分析】根据对顶角，点到直线的距离，两点之间线段最短，垂线的判定，对每个语句一一判断即可。
10．（2023七下·仁化期中）已知：如图，三条直线交于点O，且，，平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠COE＝20°，
∴∠AOC＝90°-20°＝70°，
∴∠BOD＝∠AOC＝70°，
∵OG平分∠BOD，
∴∠BOG＝∠BOD＝35°．
故答案为： B
【分析】结合图形，根据垂直的定义、角平分线的定义和对顶角的性质，可解此题．
二、填空题
11．（2023七下·清远期中）如图，直线、相交于点，平分，若，则的度数是 ．
【答案】140°
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BOC=80°，
∴∠BOC=∠AOD=80°.
∵OE平分∠AOD，
∴∠DOE=∠AOD=40°，
∴∠COE=180°-∠DOE=180°-40°=140°.
故答案为：140°.
【分析】由对顶角的性质可得BOC=∠AOD=80°，根据角平分线的概念可得∠DOE=∠AOD=40°，然后利用邻补角的性质进行计算.
12．（2023七下·花都期中）一副三角尺的摆放位置如图所示，则的度数是 ．
【答案】105°
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：由三角板可得：，，
∴，
∴，
故答案为：105°．
【分析】先利用三角形的内角和求出∠2的度数，再利用对顶角的性质可得。
13．（2023七下·罗定期末）如图，直线a，b相交于点O，，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵直线a，b相交于点O，
∴
故答案为：110°.
【分析】根据对顶角的性质即可求解.
14．（2023七下·越秀期末）如图，直线，相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】角的运算；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵∠BOD=150°，
∴∠AOC=150°.
∵OM⊥OA，
∴∠MOA=90°，
∴∠COM=∠AOC-∠AOM=150°-90°=60°.
故答案为：60°.
【分析】根据对顶角的性质可得∠AOC=150°，由垂直的概念可得∠MOA=90°，然后根据∠COM=∠AOC-∠AOM进行计算.
15．（2023七下·潮南期末）如图，于，经过点，，则 ．
【答案】
【知识点】垂线；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： ∵，
∴∠COB=90°，
∵∠DOB=∠AOE=40°，
∴∠COD=∠COB-∠DOB=90°-40°=50°；
故答案为：50°.
【分析】由垂直的定义可得∠COB=90°，由对顶角相等可得∠DOB=∠AOE=40°，利用∠COD=∠COB-∠DOB计算即可.
三、解答题
16．（2023七下·汕尾期中）如图，直线，相交于点O，，若平分且，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
【知识点】垂线；角平分线的定义
【解析】【分析】根据垂直的定义先求出 ， 再根据角平分线的定义计算即可。
17．（2023七下·澄海期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为O，且，求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】角的运算；垂线；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【分析】由已知条件可知∠BOC=2∠AOC，由邻补角的性质可得∠BOC+∠AOC=180°，联立可得∠BOC、∠AOC的度数，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD，然后根据∠DOE=∠BOE+∠DOB进行计算.
18．（2023七下·花都期末）如图，已知直线和交于点O，，平分，，求，的度数．
【答案】解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵平分，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】由垂直的概念可得∠AOE=90°，则∠AOC=∠AOE-∠COE=70°，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD，根据角平分线的概念可得∠BOF=∠BOD，据此计算.
四、综合题
19．（2023七下·增城期中）如图所示，直线AB，CD相交于点O，，OF平分．
（1）判断OF与OB的位置关系，并说明理由．
（2） ，求的度数．
【答案】（1）解：OF⊥OB
理由如下：
∵∠BOD＝∠BOE
∴OB平分∠DOE
∴∠BOE＝∠BOD＝ ∠DOE
∵OF平分∠COE
∴∠COF＝∠EOF＝ ∠COE
∴∠BOF＝∠BOE＋∠EOF
＝ ∠DOE＋ ∠COE
＝ （∠DOE＋∠COE）
＝ ∠COD
＝ ×180°
＝90°
∴OF⊥OB
（2）解：设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°
∵∠AOC＋∠AOD＝180°
∴x＋5x＝180
x＝30
∴∠AOC＝30°，∠AOD＝150°
∴∠BOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°
由（1）得∠BOF＝90°
∴∠EOF＝∠BOF－∠BOE
＝90°－30°
＝60°
【知识点】垂线；邻补角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）利用已知可证得OB平分∠DOE，可证得∠BOE=∠DOE，由OF平分∠COE，可证得∠EOF=∠COE；再证明∠BOF＝∠BOE＋∠EOF=∠COD，可推出∠BOF=90°，利用垂直的定义可证得结论.
（2）利用已知设∠AOC＝x°，∠AOD＝5x°，利用邻补角的定义可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠AOC，∠AOD的度数，利用对顶角相等可求出∠BOD，∠BOE的度数；然后根据∠EOF＝∠BOF－∠BOE，代入计算可求出∠EOF的度数.
20．（2023七下·东莞期中）如图，直线，相交于点，．
（1）的邻补角为 ；
（2）若，判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
，，
，
又，
，
；
（3）解：，
，
，，
又，
，
．
，，
，
，
．
【知识点】角的运算；垂线；邻补角
【解析】【解答】（1）由图形知：∠COM的邻补角为∠MOD；
故答案为：∠MOD.
【分析】（1）根据邻补角的定义即得结论；
（2），理由： 由垂直的定义可得∠AOM=∠1+∠AOC=90°，利用等量代换可得∠2+∠AOC=90°，即得∠NOC=90°，根据垂直定义即得结论；
（3）由垂直的定义及 可求出∠1=30°，从而求出∠AOC=60°，由对顶角相等可得∠BOD=∠AOC=60°，根据∠MOD=∠MOB+∠BOD进行计算即可.
21．（2023七下·英德期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O．
（1）图中的补角是 ，的对顶角是 ；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）和；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
【知识点】余角、补角及其性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：（1）观察所给的图形，可知∠AOC的补角是∠BOC和∠AOD，∠AOC的对顶角是∠BOD，
故答案为：∠BOC和∠AOD；∠BOD.
【分析】（1）根据补角和对顶角的定义，结合图形求解即可；
（2）根据题意先求出∠AOC=40°，再求出∠AOE=90°，最后计算求解即可。
22．（2023七下·梅江期末）如图，中，，，垂足为D．
（1）求作的平分线，分别交，于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：．
【答案】（1）解：如图所示，BQ为所求作；
（2）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；对顶角及其性质；角平分线的定义；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）按照角平分线的尺规作图规则，作图即可；
（2）根据角平分线的性质得∠ABQ=∠CBQ，根据垂直，利用等角的余角相等及对顶角相等证明∠AQP=∠APQ，再根据等角对等边得出结论.
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