2024年北师大版数学七（下）期中专项复行线的性质与判定
一、选择题
1．（2019七下·南海期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项不符合题意；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项符合题意；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
2．（2023七下·惠东期中）下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是直线AB、CD被第三条直线所截的一对同旁内角，由AB//CD，不能得到∠1=∠2，故A选项不符合题；
B、如图，
∵AB//CD
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3
∴∠1=∠2
故B选项符合题意；
C、∠1与∠2是AC、BD被AD所截的一对内错角，由AB//CD，不能得到∠1=∠2，故C选项不符合题；
D、∠1与∠2是AC、BD被CD所截的一对同旁内角，由AB//CD，不能得到∠1=∠2，故D选项不符合题.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质判断各选项即可.
3．（2017七下·淮安期中）如图，下列结论中不正确的是（ ）
A．若AD∥BC，则∠1=∠B B．若∠1=∠2，则AD∥BC
C．若∠2=∠C，则AE∥CD D．若AE∥CD，则∠1+∠3=180°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，选项A不正确；
∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，选项B正确；
∵∠2=∠C，
∴AE∥CD，选项C正确；
∵AE∥CD，
∴∠1+∠3=180°，选项D正确；
故选：A．
【分析】由平行线的性质和判定得出选项A不正确，选项B、C、D正确；即可得出结论．
4．（2023七下·增城期中）如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠2=∠B，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=90°-∠1=90°-50°=40°.
故答案为：B
【分析】利用两直线平行，同位角相等，可证得∠2=∠B，利用垂直的定义可得到∠BAC=90°；然后利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠2的度数.
5．（2023七下·东莞期中）如果两条直线被第三条直线所截，下列判断正确的是（ ）
A．同位角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．不能判断
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，由于这两条直线不一定平行，同位角不一定相等，内错角不一定相等，同旁内角不一定互补，故A、B、C三个选项都错误，不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截，只有当两条被截的直线平行的时候，同位角才相等，内错角才相等，同旁内角才互补，据此即可判断得出答案.
6．（2023七下·东莞期中）如图，直线，被直线所截，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠3=40°，∠3+∠1+∠2=180°，
∴∠1+∠2=140°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=70°，
∵a∥b，
∴∠1=∠4=70°.
故答案为：C.
【分析】由平角定义可求出∠1+∠2=140°，结合已知可求出∠1=70°，进而根据两直线平行，内错角相等可求出∠1=∠4=70°.
7．（2023七下·宝安期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：A、过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，故此选项错误，不符合题意；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不符合题意；
D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行判断求解即可.
8．（2023七下·宝安期中）如图，下列条件中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠ACE，
∴AB∥CE．
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可求解．
9．（2023七下·宝安期中）如图，，平分，平分，，，则下列结论：
；
；
；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴，
∴OE⊥OF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠BOD=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴，故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠EOF=∠POD=90°，
∴∠POE=90°-∠POF，∠DOF=90°-∠POF，
∴∠POE=∠DOF，
∵∠BOF=∠DOF，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∵AB∥CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠BPO=90°，
∴∠POB=90°-∠PBO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴，
∴2∠DOF=40°，
∴∠POB≠2∠DOF，故④错误．
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可求解.
10．（2023七下·南山期中）如图，在下列条件中，能够证明的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1=∠4，则AB∥DE，A选项错误；
B、∠B=∠5，则AB∥DE，B选项错误；
C、∵∠1+∠2+∠D=180°，即∠BAD+∠D=180°，
∴AB∥DE，C选项错误；
D、∵∠2=∠3，∴AD∥CB，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；即可判断.
二、填空题
11．（2023七下·南山期中）如图，将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为 ．
【答案】35°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： 如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-90°=90°，
∴∠1=90°-∠2=35°．
故答案为：35°.
【分析】根据两直线平行，内错角相等；两直线相交，对顶角相等；三角形的内角和是180度；即可求解.
12．（2023七下·东莞期中）如图，已知直线，，则 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=50°，
∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3=50°.
故答案为：50°.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠2=∠3=50°，再由对顶角相等可得∠1=∠3=50°.
13．（2023七下·宝安期中）将含角的三角板如图摆放，，若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=20°，∠3=∠1+30°，
∴∠3=∠1+30°=20°+30°=50°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=50°．
故答案为：50°.
【分析】根据两直线平行，同位角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解.
14．（2023七下·宝安期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE=55°，
∴∠AEF=∠CFE=55°，∠DEF=125°，
∴图②中的∠GEF=55°，∠DEG=180°-2×55°=70°，
∴图③中∠GEF=55°，∠DEF=70°-55°=15°．
故答案为：15°.
【分析】根据两条直线平行，内错角相等；折叠的性质：折叠前后的两个图形是全等图形，同时也是轴对称图形；全等图形的对应角相等，即可求解．
15．（2023七下·禅城期中）如图，，若，，则的度数为 ．
【答案】130°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，∠CEF=105°，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-105°=75°.
∵∠BCE=55°，
∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=55°+75°=130°.
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=130°.
故答案为：130°.
【分析】由平行线的性质可得∠CEF+∠ECD=180°，∠ABC=∠BCD，结合∠CEF的度数可得∠ECD的度数，然后根据∠BCD=∠BCE+∠ECD求出∠BCD的度数，据此解答.
三、作图题
16．（2023七下·光明期中）如图，点是内部一点，交于点．
（1）请尺规作图：画出射线，使得，交直线于点；
（2）请你直接写出与的数量关系： ．
【答案】（1）解：如图，射线即为所求．
（2）
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）∵DE∥AB，DF∥BC，
∴∠EDF=∠DEC，∠B=∠EDC，
∴∠B=∠EDF.
故答案为：∠B=∠EDF.
【分析】（1）作∠FDE=∠DEC，则DF∥BC；
（2）由平行线的性质可得∠EDF=∠DEC，∠B=∠EDC，据此解答.
四、解答题
17．如图，∠1=∠C，AC平分∠DAB，求证：DC∥AB．
【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴DC∥AB．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠2，再利用内错角相等，两直线平行证明即可．
18．（2023七下·东莞期中）已知：如图，，请证明：．
【答案】证明：已知，
又对顶角相等，
等量代换．
同位角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等
已知
等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【分析】由已知及对顶角相等可得∠2=∠DGH，由同位角相等，两直线平行，得DB∥CE，由二直线平行，同位角相等的∠ABD=∠C，结合已知由等量代换可得∠ABD=∠D，由内错角相等，两直线平行，得AC∥DF，最后根据两直线平行，内错角相等，得∠A=∠F.
19．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．
【答案】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2=∠CDM，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠AMN，
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠AMN，
∴AB∥MN．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2=∠CDM，而∠1=∠2，则∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C=∠AMN，又∠3=∠C，于是∠3=∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．
20．（2023七下·光明期中）完成下面的证明．
如图，已知，，
求证：
证明：邻补角定义
且已知
同角的补角相等
▲ （ ）
又已知
▲ 等量代换
【答案】证明：邻补角定义，
且已知，
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由邻补角的定义可得∠1+∠EFD=180°，根据已知条件可知∠1+∠BDG=180°，则∠EFD=∠BDG，推出AB∥EF，由平行线的性质可得∠DEF=∠ADE，结合∠DEF=∠B可得∠ADE=∠B，推出DE∥BC，然后根据平行线的性质可得结论.
五、实践探究题
21．（2023七下·宝安期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，
（1）问题提出：如图，，求的度数；
（2）问题迁移：如图，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题应用：如图，：：，，，求的值．
【答案】（1）解：如图1所示，过点P作，
，
，
，
，，
，
．
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点P作，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点E作，过点H作，
，
，，
， ，
，，，
，，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补；在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行，即可求解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补；在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行，即可求解；
（3）根据在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换，即可求解．
六、综合题
22．（2017七下·寮步期中）如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠B=60
∴∠1=∠B=60°
∵∠1=∠C，
∴∠C=∠B=60°
（2）解：DE∥AB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADC =180°
∴∠ADC=180°-∠C=120°
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE= ∠BDC=60°
∵∠1=∠B=60°
∴∠1=∠ADE．
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】(1)由AD//BC ，可知∠1=∠B=，又因为∠1=∠C，所以可知∠C=；
（2）同样由AD//BC ，同旁内角互补，可知∠ADC=，又因为DE平分∠ADC，结合三角形内角和定理可知，∠EDC=∠DEC=，所以∠B=∠DEC，AB//DE .
23．（2023七下·光明期中）如图，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图的数学模型：，，，分别交、于点、、的角平分线交于点，为线段上一动点不与、重合，连接交于点．
（1）当时，求．
（2）在线段上任意移动时，求，，之间的关系．
（3）在(1)的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
即；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：由知，，，
，
如图，当时，，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，设与相交于点，
，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，
，
此时是旋转了，
此时，；
当的其中一边与的某一边平行时，为或或或或．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由内角和定理可得∠B=30°，根据平行线的性质可得∠BFN=∠B=30°，结合已知条件可求出∠BFH的度数，由角平分线的概念可得∠CAD=∠BAD=∠CAB，由平行线的性质可得∠ADE=∠BAD，结合外角的性质可得∠AKF=∠ADE+∠HFD=∠ADE+∠HFB+∠BFN，据此计算；
（2）由平行线的性质可得∠HAK=∠FDK，由外角的性质可得∠AKF=∠DFH+∠KDF，据此证明；
（3）由（1）知∠FDK=30°，∠KFD=45°，由内角和定理可得∠DKF的度数，当DF∥CE时，∠CFD=∠ECF=90°，据此求解；当DK∥CF时，∠CFD=∠KDF=30°，求出旋转的度数，进而可得t的值；当KF∥CE、DK∥EC、DK∥EF时，同理进行求解.
1 / 12024年北师大版数学七（下）期中专项复行线的性质与判定
一、选择题
1．（2019七下·南海期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（ ）
A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2
C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°
2．（2023七下·惠东期中）下列图形中，由，能得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2017七下·淮安期中）如图，下列结论中不正确的是（ ）
A．若AD∥BC，则∠1=∠B B．若∠1=∠2，则AD∥BC
C．若∠2=∠C，则AE∥CD D．若AE∥CD，则∠1+∠3=180°
4．（2023七下·增城期中）如图，直线，直线，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·东莞期中）如果两条直线被第三条直线所截，下列判断正确的是（ ）
A．同位角相等 B．同旁内角互补
C．内错角相等 D．不能判断
6．（2023七下·东莞期中）如图，直线，被直线所截，，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2023七下·宝安期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．同位角相等
C．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
8．（2023七下·宝安期中）如图，下列条件中能判定的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023七下·宝安期中）如图，，平分，平分，，，则下列结论：
；
；
；
．
其中正确结论有个．（ ）
A． B． C． D．
10．（2023七下·南山期中）如图，在下列条件中，能够证明的条件是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2023七下·南山期中）如图，将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数为 ．
12．（2023七下·东莞期中）如图，已知直线，，则 ．
13．（2023七下·宝安期中）将含角的三角板如图摆放，，若，则的度数是 ．
14．（2023七下·宝安期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的度数是 ．
15．（2023七下·禅城期中）如图，，若，，则的度数为 ．
三、作图题
16．（2023七下·光明期中）如图，点是内部一点，交于点．
（1）请尺规作图：画出射线，使得，交直线于点；
（2）请你直接写出与的数量关系： ．
四、解答题
17．如图，∠1=∠C，AC平分∠DAB，求证：DC∥AB．
18．（2023七下·东莞期中）已知：如图，，请证明：．
19．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．
20．（2023七下·光明期中）完成下面的证明．
如图，已知，，
求证：
证明：邻补角定义
且已知
同角的补角相等
▲ （ ）
又已知
▲ 等量代换
五、实践探究题
21．（2023七下·宝安期中）已知直线，点为直线，所确定的平面内的一点，
（1）问题提出：如图，，求的度数；
（2）问题迁移：如图，写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）问题应用：如图，：：，，，求的值．
六、综合题
22．（2017七下·寮步期中）如图，AD∥BC，∠1=∠C，∠B=60°．
（1）求∠C的度数；
（2）如果DE是∠ADC的平分线，那么DE与AB平行吗？请说明理由．
23．（2023七下·光明期中）如图，一块直尺和一块含的直角三角板如图放置，其中直尺和直角三角板的斜边平行，我们可以抽象出如图的数学模型：，，，分别交、于点、、的角平分线交于点，为线段上一动点不与、重合，连接交于点．
（1）当时，求．
（2）在线段上任意移动时，求，，之间的关系．
（3）在(1)的条件下，将绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为，则在旋转过程中，当的其中一边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠3＝∠A，无法得到，AB∥CD，故此选项不符合题意；
B、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行可得：AB∥CD，故此选项符合题意；
C、∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意；
D、∠D+∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD∥AC，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案．
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、∠1与∠2是直线AB、CD被第三条直线所截的一对同旁内角，由AB//CD，不能得到∠1=∠2，故A选项不符合题；
B、如图，
∵AB//CD
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3
∴∠1=∠2
故B选项符合题意；
C、∠1与∠2是AC、BD被AD所截的一对内错角，由AB//CD，不能得到∠1=∠2，故C选项不符合题；
D、∠1与∠2是AC、BD被CD所截的一对同旁内角，由AB//CD，不能得到∠1=∠2，故D选项不符合题.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质判断各选项即可.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，选项A不正确；
∵∠1=∠2，
∴AD∥BC，选项B正确；
∵∠2=∠C，
∴AE∥CD，选项C正确；
∵AE∥CD，
∴∠1+∠3=180°，选项D正确；
故选：A．
【分析】由平行线的性质和判定得出选项A不正确，选项B、C、D正确；即可得出结论．
4．【答案】B
【知识点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠2=∠B，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∴∠2=90°-∠1=90°-50°=40°.
故答案为：B
【分析】利用两直线平行，同位角相等，可证得∠2=∠B，利用垂直的定义可得到∠BAC=90°；然后利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠2的度数.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，由于这两条直线不一定平行，同位角不一定相等，内错角不一定相等，同旁内角不一定互补，故A、B、C三个选项都错误，不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截，只有当两条被截的直线平行的时候，同位角才相等，内错角才相等，同旁内角才互补，据此即可判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵∠3=40°，∠3+∠1+∠2=180°，
∴∠1+∠2=140°，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=70°，
∵a∥b，
∴∠1=∠4=70°.
故答案为：C.
【分析】由平角定义可求出∠1+∠2=140°，结合已知可求出∠1=70°，进而根据两直线平行，内错角相等可求出∠1=∠4=70°.
7．【答案】D
【知识点】垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【解答】解：A、过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项错误，不符合题意；
B、两直线平行，同位角相等，故此选项错误，不符合题意；
C、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故此选项错误，不符合题意；
D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行判断求解即可.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠A=∠ACE，
∴AB∥CE．
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，即可求解．
9．【答案】C
【知识点】余角、补角及其性质；垂线；平行线的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵OE平分∠BOC，OF平分∠BOD，
∴，，
∵∠BOC+∠BOD=180°，
∴，
∴OE⊥OF，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠BOD=40°，
∴∠BOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠BOC，
∴，故②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP=90°，
∴∠EOF=∠POD=90°，
∴∠POE=90°-∠POF，∠DOF=90°-∠POF，
∴∠POE=∠DOF，
∵∠BOF=∠DOF，
∴∠POE=∠BOF，故③正确；
∵AB∥CD，OP⊥CD，
∴OP⊥AB，∠BOD=∠ABO=40°，
∴∠BPO=90°，
∴∠POB=90°-∠PBO=50°，
∵OF平分∠BOD，
∴，
∴2∠DOF=40°，
∴∠POB≠2∠DOF，故④错误．
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线；两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：A、∠1=∠4，则AB∥DE，A选项错误；
B、∠B=∠5，则AB∥DE，B选项错误；
C、∵∠1+∠2+∠D=180°，即∠BAD+∠D=180°，
∴AB∥DE，C选项错误；
D、∵∠2=∠3，∴AD∥CB，D选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；即可判断.
11．【答案】35°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解： 如图，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠3（对顶角相等），
∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-90°=90°，
∴∠1=90°-∠2=35°．
故答案为：35°.
【分析】根据两直线平行，内错角相等；两直线相交，对顶角相等；三角形的内角和是180度；即可求解.
12．【答案】
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=50°，
∵∠1与∠3是对顶角，
∴∠1=∠3=50°.
故答案为：50°.
【分析】由二直线平行，同位角相等得∠2=∠3=50°，再由对顶角相等可得∠1=∠3=50°.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图：
∵∠1=20°，∠3=∠1+30°，
∴∠3=∠1+30°=20°+30°=50°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=50°．
故答案为：50°.
【分析】根据两直线平行，同位角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解.
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠CFE=55°，
∴∠AEF=∠CFE=55°，∠DEF=125°，
∴图②中的∠GEF=55°，∠DEG=180°-2×55°=70°，
∴图③中∠GEF=55°，∠DEF=70°-55°=15°．
故答案为：15°.
【分析】根据两条直线平行，内错角相等；折叠的性质：折叠前后的两个图形是全等图形，同时也是轴对称图形；全等图形的对应角相等，即可求解．
15．【答案】130°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵CD∥EF，∠CEF=105°，
∴∠CEF+∠ECD=180°，
∴∠ECD=180°-105°=75°.
∵∠BCE=55°，
∴∠BCD=∠BCE+∠ECD=55°+75°=130°.
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD=130°.
故答案为：130°.
【分析】由平行线的性质可得∠CEF+∠ECD=180°，∠ABC=∠BCD，结合∠CEF的度数可得∠ECD的度数，然后根据∠BCD=∠BCE+∠ECD求出∠BCD的度数，据此解答.
16．【答案】（1）解：如图，射线即为所求．
（2）
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：（2）∵DE∥AB，DF∥BC，
∴∠EDF=∠DEC，∠B=∠EDC，
∴∠B=∠EDF.
故答案为：∠B=∠EDF.
【分析】（1）作∠FDE=∠DEC，则DF∥BC；
（2）由平行线的性质可得∠EDF=∠DEC，∠B=∠EDC，据此解答.
17．【答案】证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠C，
∴∠2=∠C，
∴DC∥AB．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】根据角平分线的定义得出∠1=∠2，再利用内错角相等，两直线平行证明即可．
18．【答案】证明：已知，
又对顶角相等，
等量代换．
同位角相等，两直线平行．
两直线平行，同位角相等
已知
等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等．
【知识点】平行线的判定与性质；证明过程
【解析】【分析】由已知及对顶角相等可得∠2=∠DGH，由同位角相等，两直线平行，得DB∥CE，由二直线平行，同位角相等的∠ABD=∠C，结合已知由等量代换可得∠ABD=∠D，由内错角相等，两直线平行，得AC∥DF，最后根据两直线平行，内错角相等，得∠A=∠F.
19．【答案】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF∥DM，
∴∠2=∠CDM，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠CDM，
∴MN∥CD，
∴∠C=∠AMN，
∵∠3=∠C，
∴∠3=∠AMN，
∴AB∥MN．
【知识点】平行线的判定
【解析】【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2=∠CDM，而∠1=∠2，则∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C=∠AMN，又∠3=∠C，于是∠3=∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．
20．【答案】证明：邻补角定义，
且已知，
同角的补角相等，
内错角相等，两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
又已知，
等量代换，
同位角相等，两直线平行，
两直线平行，同位角相等．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由邻补角的定义可得∠1+∠EFD=180°，根据已知条件可知∠1+∠BDG=180°，则∠EFD=∠BDG，推出AB∥EF，由平行线的性质可得∠DEF=∠ADE，结合∠DEF=∠B可得∠ADE=∠B，推出DE∥BC，然后根据平行线的性质可得结论.
21．【答案】（1）解：如图1所示，过点P作，
，
，
，
，，
，
．
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图2，过点P作，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：如图3，过点E作，过点H作，
，
，，
， ，
，，，
，，
．
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补；在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行，即可求解；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补；在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行，即可求解；
（3）根据在同一平面内，平行于同一直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换，即可求解．
22．【答案】（1）解：∵AD∥BC，∠B=60
∴∠1=∠B=60°
∵∠1=∠C，
∴∠C=∠B=60°
（2）解：DE∥AB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠C+∠ADC =180°
∴∠ADC=180°-∠C=120°
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE= ∠BDC=60°
∵∠1=∠B=60°
∴∠1=∠ADE．
∴DE∥AB.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】(1)由AD//BC ，可知∠1=∠B=，又因为∠1=∠C，所以可知∠C=；
（2）同样由AD//BC ，同旁内角互补，可知∠ADC=，又因为DE平分∠ADC，结合三角形内角和定理可知，∠EDC=∠DEC=，所以∠B=∠DEC，AB//DE .
23．【答案】（1）解：，，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
即；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：由知，，，
，
如图，当时，，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，设与相交于点，
，
，
此时是旋转了，
此时，；
如图，当时，
，
此时是旋转了，
此时，；
当的其中一边与的某一边平行时，为或或或或．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）由内角和定理可得∠B=30°，根据平行线的性质可得∠BFN=∠B=30°，结合已知条件可求出∠BFH的度数，由角平分线的概念可得∠CAD=∠BAD=∠CAB，由平行线的性质可得∠ADE=∠BAD，结合外角的性质可得∠AKF=∠ADE+∠HFD=∠ADE+∠HFB+∠BFN，据此计算；
（2）由平行线的性质可得∠HAK=∠FDK，由外角的性质可得∠AKF=∠DFH+∠KDF，据此证明；
（3）由（1）知∠FDK=30°，∠KFD=45°，由内角和定理可得∠DKF的度数，当DF∥CE时，∠CFD=∠ECF=90°，据此求解；当DK∥CF时，∠CFD=∠KDF=30°，求出旋转的度数，进而可得t的值；当KF∥CE、DK∥EC、DK∥EF时，同理进行求解.
1 / 1
