参考答案
1.:C
2.D.
3.C.
4.B.
5.D
6.A.
7.A.
8 .B
9.【答案】AB
10.ABD.
11【答案】BCD
第9题，选对每个选项得3分，全选对得6分，有选错的不得分。第10题和第11题，选对每个选项得2分，全选对得6分，有选错的不得分。山东省泰山中学 2023级高一下学期 3月份月考 数学试题
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1 1 i．已知 z ,则
2 2i z z
( )
A. 0 B.i C. i D.1
2．已知 ABC的边 BC上有一点 D，且满足 BD 3DC，则 AD （ ）
3 1 2 1
A． 2AB 3AC B． AB AC C． AB AC
1
D． AB
3
AC
4 4 3 3 4 4
3． 平面向量 | a | 2,| b | 2, (a b) a，则 a与b的夹角是（ ）
5π π π π
A． B． C． D．
12 3 4 6
4．在 ABC中，a，b，c 3分别是角A，B，C的对边， ABC的面积为 ，b 1，A 60 ，
2
b c
则 的值为（ ）
sin B sinC
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知a与b 为非零向量，OA a b ,OB 2a b ,OC a b，若 A,B,C三点共线，则
2 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6． ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，若 3b c cos A acosC ，则 cos A （ ）
A 3 3 1． B． C． D． 3
3 2 2
7．为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度，复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下
测量方案：如图，设 A，B分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线 HG，使得 H，
G，B三点在同一直线上，在 G，H两点用测角仪测得 A的仰角分别是 和 ，CD a，测
角仪器的高度是 h．由此可计算出建筑物的高度 AB，若 75 , 45 ，则此建筑物的高
度是（ ）
A 3 1． a h B 3 1． a h C 3 1． a h D 3 1． a h
2 4 2 4
1
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8．在平面四边形 ABCD中，AB BC 2CD 2， ABC 60 ， ADC 90 ，若 P为边 BC
上的一个动点，则 PA PC的最小值是（ ）
1 1 1
A． 1 B． C． D．
4 2 4
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9．已知 a t , 2 ,b 4,t ，则（ ）
A．若 a//b ，则 t 2 2 B．若 a b，则 t 0
C a b
． 的最小值为 2 D．若向量 a与向量b的夹角为钝角，则 t的取值范围为 0,
10．已知 ABC的内角A、 B、C所对的边分别为 a、b、 c，下列说法正确的是（ ）
A．若 sinA : sinB : sinC 2:3: 4，则 ABC是钝角三角形
B．若 sinA sinB，则 a b
C．若 AC AB 0，则 ABC是锐角三角形
D．若 A 45o，a 2，b 2 2，则 ABC只有一解
π
11．已知锐角 ABC三个内角 A，B，C 的对应边分别为 a，b，c，且 C ，c =2．则下列
3
结论正确的是（ ）
A． ABC的面积最大值为 2 B． AC AB的取值范围为 0,4
cos B
C．b cos A a cos B 2 D． 的取值范围为 0,
cos A
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12．已知 z 2 i , z i ______.
13．已知 a 6 ，b (1, 2) ， a b 12，则 a在b方向上的投影向量是 .
1
14．如图，在菱形 ABCD中，BE BC，CF 2FD，若菱形的边长为 6，则 AE EF 的取2
值范围为 ．
2
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13 分）已知向量 a (2,1)，b (1, 2)， c (3, )．
(1) 若 c∥a，求 | c
|的值；
(2)若 (ka b ) a，求 k的值．
16．(15 分)在 ABC中， a,b,c分别是角 A,B,C所对的边，且满足 a2 b2 c2 ab．
(1)求角C的大小；
3 (2)设向量 a 3sin A, ，向量b 1, 2cosC ，且 a b，判断 ABC的形状．
2
17. （15 分）如图，A，B，C 为山脚两侧共线的三点，在山顶 P 处测得这三点的俯角分别为
30 ， 60 ， 45 ，现计划沿直线 AC 开挖一条穿山隧道 DE，经测量 AD=150 m，
BE=33 m，BC=100 m．
（1）求 PB 的长：
（2）求隧道 DE 的长．（结果精确到 1 m，附： 3 1.732， 5 2.236
3
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18．（17分）已知在 ABC中，N是边 AB的中点，且4BM BC，设 AM与 CN交于点 P.
记 AB=a， AC b .
(1)用 a，b表示向量 AM ，CN；
(2)若CN AB， AM CB，求 a,b 的余弦值.
19．（17分）在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，且bcos A 3bsin A a c．
(1)求 B；(2)若 ABC的中线 BD长为 2 3，求 ABC面积的最大值．
4
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