嘉祥一中2023-2024学年高一第二学期第一次月考试题
4月△，
时间：4月2号
一、单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有
一项是最符合题目要求的)
1,在△ABC中，若BA=a,BC=b,则CA等于()
A.a
B.a+b
C.B-a
D.a-B
2.设a,b是非零向量，“a-b=lab1”是“a∥b”的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知向量a=(4,-l0,6=(-1,3),则a2ā+b)=（)
A0B.1.
C.-1
D.2
4.己知平面内一点P及△ABC,若PA+PB+PC=B,则点P与△ABC的位置关系是(
A.点P在线段AB上
B.点P在线段BC上
C.点P在线段AC上
D.点P在△ABC外部
m
5.在△ABC中，已知面积4S=a2+2-c2,则角C的度数为()
A.135
B.45
C.60°
D.120°
6:《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形一
八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦
田.
已知正八边形ABCDEFGH的边长为2√2，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则亚，AB
的最小值是().
A
第6题图
第7题图
A.-4
B.-4N2
C.42
D.4
7.已知函数/()=4sin(@x+x∈R,A>0,0>0<受)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
()
Ao-号
B.直线x=π是f(x)图象的一条对称轴
器国
0000000
C.f图象的对称中心为（君+气0小kez
D.将f(x)的图象向左平移”个单位长度后，得到函数y=3Cos2x的图象
6
8.△MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin BcosC+csi血Bcos4=5b,b=5,
2
a>b,则2a+c的最大值为()
A.2√万
B.3V5
C.2√6
D.3W2
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9,下列结论中，错误的是()
A.表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同：，
B.若a±b,则a,b不是共线向量：
C.若A园=DC,则四边形ABCD是平行四边形：
D.有向线段就是向量，向量就是有向线段
10.已知向量a=(-2,1),b=(-1,),则下列说法正确的是（)
A.若aLb,则的值为-2
B.若āi,则r的值为号
C.若0D.若(a+b)1(a-),则a+=a-列
11己知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则以下四个命题正确的有()
A.当a=5,b=7,A=60°时，满足条件的三角形共有1个
B.若sinA:sinB:sinC=3:5:7则这个三角形的最大角是120
C.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形
D.若C=”
，。2-c2=bc,则△ABC为等腰直角三角形
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分)
12.已知平面向量ā=(0,1)，b=(-1,1),则向量ā在向量6上的投影向量是（请用坐标表示）
13.已知a=(1-2k,1),b=(-3,k),若a与6的夹角为钝角，则实数k的取值范围为一
14.在△ABC中，D是BC边上一点，且BD=2DC,E是AD的中点，过点E的直线与AB,AC两边
分别交于M,N两点（点M,N与点B,C不重合，设西=xm,C=y,则上+径的最小值
x y
为
器0口口0口口可嘉祥一中 2023-2024 学年高一第二学期第一次月考试题答案
时间：4 月 2号
1．D 2．A 3．A 4．C 5．B
6．B【详解】过点H 作直线 AB 的垂线HM ，垂足为点M ，
AP AB AP AB cos AP, AB 2 2 AP cos AP, AB ，
如图，由平面向量数量积的几何意义可知， AP AB等于 AB 的模与 AP 在 AB方向
上的投影的乘积，
当点 P 在线段GH 上时， AP 在 AB方向上的投影 AP cos AP, AB 取最小值，
π
此时 HAM ， AH 2 2 ， AM 2， AP cos AP, AB AM 2，
4
故 AP AB的最小值为2 2 2 4 2 . 故选：B.
T π π π 2π
7．C【解析】对 A，由最大值为 3 可得 A 3，由图知 ，故T π ，故 2，
4 12 6 4
π π π
由图象最高点可得2 2kπ, k Z ，即 2kπ, k Z ，
12 2 3
π π π π 3 3
又 ，故 ，故 f x 3sin 2x .故 f 0 3sin ，故 A 错误；
2 3 3 3 2
π 3 3
对 B， f π 3sin 2π ，不为函数最值，故直线 x π不是 f x 图象的一条对称轴，故 B 错误；
3 2
π k π π kπ
对 C，令2x kπ, k Z ，解得 x π , k Z ，故对称中心为 ,0 ,k Z，故 C 正确；
3 2 6 6 2
π π
对 D， f x 3sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后，得到函数
3 6
π π 2π
f x 3sin 2 x 3sin 2x 的图象，故 D 错误； 故选：C
6 3 3
3
8．A【详解】因为a sin B cosC c sin B cos A b ，
2
3
所以sin Asin B cosC sin C sin B cos A sin B ，因为sin B 0，
2
3 3
所以sin AcosC sin C cos A ， sin B . a b， A B ，B
2 2 3
2a c 4sin A 2sin C 4sin A 2sin A 5sin A 3cos A 2 7 sin A ，
3
所以最大值为2 7 . 故选：A
1
{#{QQABDQQQogggAIJAABgCAQ1iCkOQkAGAAIoGAFAMMAAAiBFABAA=}#}
9．BCD 10． AB【详解】对于 A：若a b ，则a b 2 1 1 t 0，解得 t 2，故 A 正确；
1
对于 B：若a //b ，则 2t 1 1，解得 t ，故 B 正确；
2
1
对于 C：当 t 时，a与b 同向，此时a与b 的夹角为0 ，故 C 错误；
2
对于 D：若 a b a b ，则 a b a b 0，即 a2 2 2 b 2 0，即 ( 2) 1 ( 1)2 t 2 ，解得 t 2，
当 t 2时，a 2，1 ，b 1，2 ，a b 3，3 ，a b 1， 1 ，显然 a b a b ，
当 t 2时，a 2，1 ，b 1， 2 ， a b 3， 1 ，a b 1，3 ，此时 a b a b ，故 D 错误．
故选：AB．
3
7
11 BD【详解】对于Ａ， bsin A 7 3 ，无解，故 A 错误；
sin B 2 1
a 5 10
对于 B,根据已知条件，由正弦定理得：a :b :c 3:5:7 ,
a2 b2 c2 9 25 49 1
不妨令a 3 ,则b 5,c 7 ,最大角C 的余弦值为：cosC ,
2ab 30 2
∴C 120 ，故 B 正确；
对于 C，由条件，结合余弦定理只能得到cosC 0 ,即角C 为锐角，无法保证其它角也为锐角，故 C 错误；
a2 b2 c2 b2 bc b c 2
对于 D, cosC cos ,得到b c 2a ,
2ab 2ab 2a 4 2
a2 c2又 bc, a
2 bc c2 c b c 2ac,
a 2c ,
sin A 2 sinC 2 sin 1, A ,
4 2
ABC 为等腰直角三角形，故 D 正确.
故选：BD.
1 1 3
12． ( , ) 13． , 1 1,
2 2 7
3 1 2
14． /1.5【详解】因为BD 2DC，所以 AD AB 2(AC AD)，得 AD AB AC .
2 3 3
又 E 是 AD 的中点， AB xAM ， AC yAN ，
1 1 1 x y
所以 AE AD AB AC AM AN .
2 6 3 6 3
x y
因为E,M , N 三点共线，所以 1，即 x 2y 6 ，且 x 0, y 0，
6 3
1 2 1 1 2 1 2y 2x 1 2y 2x 3
所以 x 2y 5 5 2
x y 6 x y 6 x y 6
，
x y 2
2y 2x 3
当且仅当 ,即 x y 2时，等号成立.故答案为：
x y 2
2
{#{QQABDQQQogggAIJAABgCAQ1iCkOQkAGAAIoGAFAMMAAAiBFABAA=}#}
15．【答案】（1）解：
， 三点共线
（2）解：设 ，则
解得
16．【详解】（1）设 a 与b 的夹角为 0 π ，
2 2 2 2
a 2b a 2b a 4a b 4b 2 7 ，则 a 4 a b cos 4 b 7，
1 2π
将 a b 1代入得1 4cos 4 7， cos ，故 ；
2 3
2 2 2 2
（2） a 3b a 3b a 6a b 9b 2 a 6 a b cos 9 b
1
将 a b 1代入得 a 3b 1 6 9 7 ，故 a 3b 7 .
2
17．【详解】（1）因为a sin B 3bcos A 0，所以由正弦定理可得到sin Asin B 3 sin B cos A 0，
又因为 B (0,π) ，所以sin B 0，
2π
故 sin A 3 cos A 0，得到 tan A 3 ，又因为 A (0,π)，所以 A .
3
（2）因为b 4， ABC的面积 S 2 3 ，
1 1 3
所以 S bc sin A 4 c 2 3 ，得到c 2，
2 2 2
2 2 2 1
在 ABC中，由余弦定理得a b c 2bccos A 16 4 2 4 2 28，
2
所以a 2 7 ，故 ABC的周长为6 2 7 .
1 cos 2x 3
18．解：(1) f (x) a b cos2 x 3 sin x cos x sin 2x
2 2
1 2
即 f (x) sin 2x .故最小正周期为 = .
6 2 2
单调递增区间： 2k 2x 2k k x k ,k Z .
2 6 2 3 6
故T ,递增区间为[k ,k ] , k Z .
3 6
1 1
(2)由 f (A) 1得sin 2A 1 sin 2A ,因为 A 0, .
6 2 6 2
13 5
故 2A ， ,故2A A .
6 6 6 6 6 3
3
{#{QQABDQQQogggAIJAABgCAQ1iCkOQkAGAAIoGAFAMMAAAiBFABAA=}#}
1 3
又b 1,故 S ABC bc sin A c 2 .
2 2
故a2 b2 c2 2bccos A 1 4 2 3,故a 3
19．【解析】（1） f (x)max f π 3, f (x)min f 6π 3， 0，
又 f (x)在 x 0,7π 内只取到一个最大值和一个最小值，
2π 1 π π π
A 3,T 2 6π π 10π， ， f π 3sin 3， 2kπ ,k Z，
5 5 5 2
3π π 3π 1 3π
则 2kπ ,k Z，又0 ， ， f x 3sin x .
10 2 10 5 10
（2）假设存在实数m ，满足题设不等式，
m2 2m 3 0
则m满足 ，解得 1 m 22 ，
m 4 0
m2 2m 3 (m 1)2 4 4 ， 0 m2 2m 3 2，
3π 1 3π π 1 3π
同理0 m2 4 2，当0 x 2 π时， x ，故 f x 3sin x 在 0,2 上单调递增，
10 5 10 2 5 10
若有 Asin m2 2m 3 Asin m2 4 1，只需要 m2 2m 3 m2 4 ，即m 成立即2
1
可， 存在m , 2 ，使 Asin m2 2m 3 Asin m2 4 成立.
2
1 3π 1 3π 1
（3）由题意得 g x sin x ,h x sin x 0 ， 函数 y 10
x 与函数 y lgx均为单调增函
5 10 5 10 5
1 3 1 3 1
数，且 1 g x 1,0 h x 1， 当且仅当 g x sin x 1与h x sin x 0 1同时取得
5 10 5 10 5
g x 1 3π 1 3π π
才有 y 10 lgh x 的最大值为10 ,由 g x sin x 1，得 x 2kπ,k Z，
5 10 5 10 2
1 3π 1 π 1 1
则由h x sin x 0 1，得sin 2kπ 0 cos 0 1，
5 10 5 2 5 5
1
2kπ,k Z，则 0 10kπ,k Z，又 0 0， 0 的最小值为10π0 .
5
4
{#{QQABDQQQogggAIJAABgCAQ1iCkOQkAGAAIoGAFAMMAAAiBFABAA=}#}
