四川省绵阳市三台中学校2023-2024学年高三下学期第二学月测试文科数学试题（PDF版含答案）

秘密★启用前 【考试时间：2024 年 3 月 26 日下午 14:40~16:40】
高中 2021 级高三下第二学月测试
数 学（文）
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共
6 页；答题卡共 2页。满分 150分，考试时间 150分钟。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，同时用 2B 铅笔将
考号准确填涂在“考号”栏目内。
2. 选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其
它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草
稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题意要求的。
1．已知集合 A = x 3 x 1 ，B = 0,1,2,3,4 ，则 A B =（ ）
A． 3,4 B． 2,3,4 C． 0,1 D． 0,1,2
a i
2．已知 z = 为纯虚数，则实数 a 的值为（ ）
1+ 2i
A．2 B．1 C． 1 D． 2
π 3
3．已知sin = ，则 cos 2 =（ ）
2 3
2 2 2 2 1 1
A． B． C． D．
3 3 3 3
x + y 4 0

4．已知点 (x, y)满足不等式组 x y + 2 0，则 z = 2x + y 的最小值为（ ）

y 1
A． 3 B． 1 C．5 D．7
5．已知命题 p ：若 a b，则3a 3b；命题q : x (0,1)，不等式 log2x log3x恒成立，则下列命题是真命
题的是（ ）
A． p q B． ( p) q C． ( p) ( q) D． p ( q)
6．已知等差数列 an 的前n项和为 Sn ，若 S15 = 4S5 = 20，则a2 + a9 =（ ）
2 5 7
A．2 B． C． D．
3 3 3
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）第 1 页，共 4 页
{#{QQABZQwUggAgAoAAARhCAQUQCEAQkAEAAAoGBFAEMAAAiAFABAA=}#}
x2 y2
7．已知平面直角坐标系 xOy中，椭圆C ： + =1（a > b > 0）的左顶点和上顶点分别为 A, B，过椭圆
a2 b2
C 左焦点F 且平行于直线 AB 的直线交 y 轴于点D .若OD = 2DB，则椭圆C 的离心率为（ ）
1 3 1 2
A． B． C． D．
2 2 3 3
8．如图，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，AA1 = 2AB, D 为棱 A C B BCC1 1的中点，则直线 AD 与平面 1 1所成角的
正弦值为（ ）
51 51 17 17
A． B． C． D．
34 17 5 6
9．在区间 4,2 上随机取一个实数 x ，使得 x sinx 成立的概率是（ ）
2 1 1 3
A． B． C． D．
3 2 3 4
2 2
10．设圆C : (x 2) + ( y 1) = 36和不过第三象限的直线 l : 4x +3y a = 0，若圆C 上恰有三点到直线 l的距
离为3，则实数a =（ ）
A．2 B．4 C．26 D．41
11．已知函数 f (x)是定义在R 上的奇函数，且 f (1) = 3，f (5 x) = f (1 x)，则 f (2024)+ f (2023) =（ ）
A． 3 B．0 C．3 D．6
1 e2 3
12．已知函数 f (x) = ln x ,a = f ln ,b = f ln ,c = f ln ，则（ ）
2 2 2
A．a b c B．b a c
C．c第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分,把答案直接填答题卷的横线上。
13．已知向量m = (x,1) , n = ( 3,2) ,若2m+ n = (1,4)，则m n = ．
14．已知圆锥的母线长为 5，侧面积为20π，则此圆锥的体积为 （结果中保留 π）.
2
15．在 ABC中，BC = 2 6 ， S = AB AC ，则 ABC外接圆半径为 . △ABC
2
π
16．已知函数 f (x) = 2cos( x + ) ( 0 )的最小正周期为 π， f (x)的图像关于点 ,0 对称， f (0) 0．若
12
f (x)在[0,m]上存在最大值2 ，则实数m的最小值是 ．
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）第 2 页，共 4 页
{#{QQABZQwUggAgAoAAARhCAQUQCEAQkAEAAAoGBFAEMAAAiAFABAA=}#}
三、解答题：共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题,每
个试题考生都必须作答。第 22、23为选考题,考生根据要求作答。
17．随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在 2015 年，国家开始大力推行科技特长生招
生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》
为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了 A B两个参加国内学科竞赛的中学，从 A B两个
中学的参赛学员中随机抽取了 60 人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次
A 中学 11 6
B 中学 34 9
(1)试判断是否有90%的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
(2)用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取 5 人，再从这 5 人中任选 3 人进行
深度调研，求所选的 3 人中恰有 2 人来自 B 中学的概率.
2 n(ad bc)
2
附：K = ，其中n = a+b+c+d .
(a +b)(c + d )(a + c)(b + d )
P (K 2 k0 ) 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
π
18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD为菱形， BAD = ，BD = DE = 2BF = 2，DE ⊥ AC，BF DE．
3
(1)求证：平面 ACF ⊥平面BDEF ；
(2)当BF⊥CD时，求三棱锥D ACF 的体积．
3 *
19．已知数列 an 的前n项和 Sn = (an 1)(n N )．
2
(1)求数列 an 的通项公式；
b
(2)在 a n nn ，与an+1之间插入 个数，使这n+ 2个数组成一个公差为bn 的等差数列，若cn = ，求数列 cncn+1
3n
的前n项和Tn ．
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）第 3 页，共 4 页
{#{QQABZQwUggAgAoAAARhCAQUQCEAQkAEAAAoGBFAEMAAAiAFABAA=}#}
x2 y2
20．已知双曲线C : =1的左右焦点分别为F1, F2 ，点P ( 1,2)在C 的渐近线上，且满足PF1 ⊥ PF2 .
a2 b2
(1)求C 的方程；
(2)点Q为C 的左顶点，过 P 的直线 l交C 于 A, B两点，直线 AQ与 y 轴交于点M ，直线BQ与 y 轴交于点N ，
证明：线段MN 的中点为定点.
1
21．已知函数 f (x) = ax (a +1) lnx (a R ) .
x
(1)当a = 1时，求曲线 y = f (x)在点 (e, f (e))处的切线方程；
(2)若 f (x)既存在极大值，又存在极小值，求实数a的取值范围.
请考生在 22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一个题目记分，作答时请用 2B铅笔在答题卡
上将所选题号后的方框涂黑.
22．[选修 4-4：极坐标与参数方程]
x =1+ tcos ,
在平面直角坐标系中，直线C1的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴
y = tsin
2 4
为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 = ．
3 cos 2
(1)求曲线C2 的直角坐标方程；
1 1
(2)若直线C1与曲线C2 交于点 A，B，且P (1,0)，求 + 的值． PA PB
23．[选修 4-5：不等式选讲]
已知 f (x) = 2x 1 + 2x 2 + x .
(1)求 f (x) 2的解集；
2 1 1 25
(2)记 f (x)的最小值为 t，且a +b = t(a 0,b 0)，求证： + a + b .
3 a b 4
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）第 4 页，共 4 页
{#{QQABZQwUggAgAoAAARhCAQUQCEAQkAEAAAoGBFAEMAAAiAFABAA=}#}
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）参考答案
5π
1-5．CADBA 6-10. DDAAC 11-12. AB 13． 4 14．16π 15．3 16．
6
12．B【详解】因为函数 f (x)的定义域为 x x 0 ，
又 f ( x) = ln x = ln x = f (x)，所以 f (x)为偶函数，当0 x 1时，任取 x1 x2 ，
f (x1 ) f (x2 ) = ln x1 ln x2 = lnx1 lnx2 = lnx2 lnx1 0，
3
即 f (x1 ) f (x2 )，所以 f (x)在 (0,1)上为减函数，因为1 ln2 ln 0，
2
1 3( 1 ) 所以a = f ln = f ln2 = f ( ln2) = f (ln2) f ln = c，即a c，
2 2
设0 x3 1,1 x4，则 f (x4 ) = ln x4 = lnx4 = lnx4 ，
f (x3 ) = ln x3 = lnx3 = lnx3，若 f (x3 ) = f (x4 )，则 lnx3 = lnx4 ，所以 x3x4 =1，

e2 e
2 1 1
因为 ln = 2 ln2 1，所以b = f ln = f = f ，
2 2 e
2
2 ln2
ln
2
2
(1 ln2) 1
又 1 ln2 = 0，即1 ln2 0，
2 ln2 2 ln2 2 ln2
1
所以 f f (ln2)，即b a，故选：B.
2 ln2
5π 2π π π π
16． 【详解】 T = = π， = 2， + = kπ + ,k Z，即 = kπ + ,k Z，
6 6 2 3
π π
又 f (0) = 2cos 0， = 2k1π + ,k1 Z ， f (x) = 2cos(2x + ) ，
3 3
π π π
当 x [0,m]时，2x + , 2m +3 3 3
，因为 f (x)在[0,m]上存在最大值2 ，

π 5π 5π 5π
所以2m+ 2π，解得m ，即mmin = ． 故答案为：
3 6 6 6
3
17．(1)没有90%的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关 (2)
5
【详解】（1）补全 2 2列联表如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次 总计
A 中学 11 6 17
B 中学 34 9 43
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）参考答案第 1 页，共 4 页
{#{QQABZQwUggAgAoAAARhCAQUQCEAQkAEAAAoGBFAEMAAAiAFABAA=}#}
总计 45 15 60
2 60 (11 9 6 34)
2
所以K = 1.341 2.706，
17 43 45 15
故没有90%的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关.
（2）由题知，用分层抽样抽取的 5 人中，来自A 中学的有 2 人，记为a,b，来自 B 中学的有 3 人，记为 A, B,C ，
从这 5 人中任选 3 人进行深度调研，所有的结果有：abA,abB,abC,aAB,aAC,aBC,bAB,bAC,bBC, ABC ，共
6 3
10 种，其中恰有 2 人来自 B 中学的结果有aAB,aAC,aBC,bAB,bAC,bBC ，共 6 种，故所求概率P = = .
10 5
3
18．(1)证明见解析 (2)
3
【详解】（1）∵BF DE，∴B, D, E, F 四点共面 ∵四边形 ABCD为菱形，∴ AC ⊥ BD，
∵ AC ⊥ DE,BD DE = D,BD,DE 平面BDEF ∴ AC ⊥平面BDEF ，
∵ AC 平面 ACF ，∴平面 ACF ⊥平面BDEF ；
（2）因为 AC ⊥平面BDEF ，BF 平面BDEF ，所以BF ⊥ AC ，
又因为BF ⊥CD,AC CD =C ，CD,AC 平面 ABCD，故BF ⊥平面 ABCD，
又因为 AC, BD互相平分，所以点D到平面 ACF 的距离等于点 B 到平面 ACF 的距离，
所以VD ACF =VB ACF ，
1 1 1 3 3 3
又因为VB ACF =VF ABC = BF S = 1 2 2 = ，所以三棱锥D ACF 的体积为 . ABC
3 3 2 2 3 3
n 2n
19．(1) an = 3 (2) n + 2
3 * 3 3
【详解】（1）因为 Sn = (an 1)(n N )，当n =1时 S = (a 1) = a a = 31 1 1 ，解得 1 ，当n 2时Sn 1 = (an 1 1)，
2 2 2
3 3 3 3
所以 S a = 3an Sn 1 = (an 1) (an 1 1)，即an = an an 1，所以 n n 1 ，
2 2 2 2
即数列 an
n
是以3为首项，3为公比的等比数列，所以an = 3 .
n n+1 a a 2 3
n
（2）因为an = 3 ，an+1 = 3 ，所以b =
n+1 n
n = ，
n +1 n +1
2 3n
2 2 1 1
所以 bn n +1 2 ，则cncn+1 = = 4 ， cn = = =n n n +1 n + 2 n +1 n + 2 3 3 n +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n
所以Tn = 4 + 4 + + 4 = 4 + + + = 4 = .
2 3 3 4 n +1 n + 2 2 3 3 4 n +1 n + 2 2 n + 2 n + 2
y2
20．(1) x2 =1； (2)证明见解析.
4
【详解】（1）设F1 ( c,0) , F2 (c,0)，PF1 = ( c +1, 2) , PF = (c +1, 2)，由PF2 1 ⊥ PF2，得PF1 PF2 =1 c
2 + 4 = 0，
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）参考答案第 2 页，共 4 页
{#{QQABZQwUggAgAoAAARhCAQUQCEAQkAEAAAoGBFAEMAAAiAFABAA=}#}
x2 2 2 2
解得c2
y x y
= 5，即a2 +b2 = 5，而曲线C : =1的渐近线方程为 = 0，
a2 b2 a2 b2
( ) ( 1)
2 22 y2
由点P 1,2 在C 的渐近线上，得 = 0，即b2 = 4a2 ，因此a
2 =1,b2 = 4，所以C 的方程为 x2 =1.
a2 b2 4
（2）由（1）知Q( 1,0) ，设直线 l为 y 2 = k(x +1), A(x1, y1), B(x2 , y2 ), M (0, y3), N (0, y4 )，
y 2 = k (x +1) 2 2 2 2
由 y2 2 消去 得： (4 k ) x (2k + 4k ) x k 4k 8 = 0，
4x y = 4
2k 2 + 4k k 2 4k 8
则 x1 + x2 = , x1x2 = ，
4 k 2 4 k 2
y1 y2
QA = (x1 +1, y1),QM = (1, y )，由 A,Q, M3 三点共线，得 y3 = ，同理 y4 = ， x1 +1 x2 +1
y y y1x2 + y2x1 + ( y1 + y2 ) (kx1 + k + 2) x2 + (kx2 + k + 2) x1 + (kx1 + k + 2+ kx2 + k + 2y + y = 1 + 2
)
因此 3 4 = =
x1 +1 x2 +1 x1x2 + (x1 + x2 )+1 x1x2 + (x1 + x2 )+1
2
2kx x + (2k + 2)(x + x )+ 2k + 4 2k ( k 4k 8)+ (2k + 2)(2k 2 + 4k )+ (2k + 4)(4 k 21 2 1 2 ) 16
= = = = 4，
x1x2 + (x1 + x2 )+1 k 2 4k 8+ (2k 2 + 4k )+ (4 k 2 ) 4
所以MN 的中点T 为定点 (0, 2) .
1 2
21．(1) y = ( 1)x ； (2) (0,1) (1,+ ) .
e2 e
1 1 1 1
【详解】（1）当a = 1时，函数 f (x) = x ，求导得 f (x) = 1 f (e) = 1 f (e) = e
x x2
，则 2 ，而 ，e e
1 1 1 2
所以曲线 y = f (x)在点 (e, f (e))处的切线方程为 y ( e ) = ( 1)(x e)，即 y = ( 1)x .
e e2 e2 e
1
（2）函数 f (x) = ax (a +1) ln x的定义域为 (0,+ )，
x
1 a +1 ax2 (a +1)x +1 (ax 1)(x 1)
求导得 f (x) = a + = = ，
x2 x x2 x2
当 a 0时，ax 1 0，由 f (x) 0，得0 x 1，由 f (x) 0 ，得 x 1，
则函数 f (x)在(0,1)上递增，在 (1,+ )上递减，函数 f (x)只有极大值 f (1)，不合题意；
1
当 a 0时，由 f (x) = 0，得 x =1或 x = ，
a
1 1 1
①若0 1，即a 1，由 f (x) 0，得0 x 或 x 1，由 f (x) 0 ，得 x 1，
a a a
1 1 1
函数 f (x)在 (0, ), (1,+ )上递增，在 ( ,1) 上递减，∴函数 f (x)的极大值为 f ( )，极小值为 f (1)，符合题意；
a a a
1 1 1
②若 1，即 0 a 1，由 f (x) 0，得0 x 1或 x ，由 f (x) 0 ，得1 x ，
a a a
1 1 1
则函数 f (x)在 (0,1), ( ,+ ) 上递增，在 (1, )上递减，因此函数 f (x)的极大值为 f (1)，极小值为 f ( )，符合
a a a
1
题意；③若 =1，即a =1，由 f (x) 0在 (0,+ )上恒成立，得 f (x)在 (0,+ )上递增，
a
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）参考答案第 3 页，共 4 页
{#{QQABZQwUggAgAoAAARhCAQUQCEAQkAEAAAoGBFAEMAAAiAFABAA=}#}
函数 f (x)无极值，不合题意，所以a的取值范围为 (0,1) (1,+ ) .
x2
22．(1) + y2 =1 (2) 2 2
2
4 x = cos ,2 3 2 2 (cos2 2

【详解】（1）由 = 得 sin ) = 4，将 代入可得
3 cos 2 y = sin ,
x2
3(x2 + y2 ) x2 + y2 = 4，即 + y2 =1
2
2
C 1+ tcos 2 2（2）将曲线 1的参数方程带入曲线C2 得：
( ) 2
+ (tsin ) =1，即 (1+ sin ) t + 2cos t 1= 0
2

Δ = 4cos
2 + 4(1+ sin2 ) = 5 0

2cos
设 A，B 两点对应的参数分别为 t t t , t1 ， 2 ，则 t1 + t2 = 2 ， 所以 1 2 异号，
1+ sin
1
t1 t2 = 0 1+ sin
2
2
1 1 1 1 t1 + t2 t1 t2 (t + t ) 4t t
∴ + = + = = 1 2 1 2= = 2 2
PA PB t1 t2 t1t2 t1t2 t1t2
1
23．(1) x x 或x 1 (2)证明见解析
3
【详解】（1） f (x) = 2x 1 + 2x 2 + x 当 x 0时， 5x+3 2，解得 x 0
1 1 1
当0 x 时， 3x+3 2，解得0 x 当 x 1时， x+1 2，解得 x
2 3 2
1
当 x 1时，5x 3 2，解得 x 1 综上所述， f (x) 2的解集为 x x 或 x 1
3
5x + 3x 0

1
3x + 30 x
2 1 3
（2）由已知可得 f (x) = ，所以当 x = 时， f (x)的最小值为 .
1 2 2x +1 2

5x 3x 1
2
a +b 1 1 1
a+b =1 a +b =1, ab = ， 当且仅当a = b = 取等, 令 t = ab，则0 t
2 4 2 4
1 1 (a +b)
2
2ab 1 2 2 25 1 1
+ a +b = + ab+ = ab+ 2 = t + 2 当且仅当 t = 取等，此时a = b =
a b ab ab ab t 4 4 2
高中 2021 级高三下第二学月测试数学（文）参考答案第 4 页，共 4 页
{#{QQABZQwUggAgAoAAARhCAQUQCEAQkAEAAAoGBFAEMAAAiAFABAA=}#}