高一第一次月考数学参考答案
一、单选题
1．我们高一同学今年大部分已经16岁了，那么属相和16岁的同学相同的老师的年龄可能是（ ）
A．26 B．32 C．40 D．41
【答案】C.
2．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
3．下列各式化简结果正确的是（ ）
A．＋＝
B．＋＋＋＝
C．＋－＝0
D． —+＝
【答案】D
4．下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D．不相等的角终边一定不相同
【答案】B
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．已知，则（ ）
A． B．
C ． D．
【答案】C
7．函数的部分图象如图所示，则函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
8．设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1013 B．1012 C．506 D．507
【答案】D
二、多选题
9．已知扇形的周长是，面积也是，则扇形的中心角的弧度数可能是（ ）
A． B． C．4 D．或
【答案】AC
10．以下关于向量的说法错误的有（ ）
A．若与同向，且，则；
B．为实数，若，则与共线.
C．若且，则
D．若与共线，与共线，则与共线
【答案】ABD
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当时，盛水筒位于点，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足，），则下列叙述正确的是（ ）
图1 图2
A．筒车转动的角速度.
B．当筒车旋转50秒时，盛水筒对应的点的纵坐标为
C．当筒车旋转50秒时，盛水筒和初始点的水平距离为6
D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6
【答案】CD
三、填空题
12．设角的终边不在坐标轴上，那么函数的值域为 ．
【答案】
13．如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．
【答案】6
14．某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域（如图所示）测量得知，其半径为3km，圆心角为，规划局工作人员在弧AB上取一点C，做CD//OA,交OB于点D，做CE垂直OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大值（一般地，对于，可以进行合并转化为的形式。形如：）
【答案】
四、解答题
15．已知已知角的终边经过点P（2，-3），求下列各式的值.
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）………6
（2）
………………………………………………………………………..13
16．如图所示，已知在△AOB中，点C是以A为对称中心的点B的对称点，＝3，DC和OA交于点E，设，．
（1）用和表示向量、；
（2）若＝λ，求实数λ的值．
【答案】（1），；（2）λ＝．
【详解】（1）由题意知，A是BC的中点，且＝，
由平行四边形法则，＋＝2，
∴＝2－＝2，
＝－＝(2)－＝．………………………………………………..7
（2）∥．
又∵＝－＝(2)－λ＝(2－λ)，
＝，
∴＝，∴λ＝ ……………………………………………15
17．已知函数．
(1)用五点作图法画出函数在一个周期上的简图；
(2)若，求．
【答案】(1)答案见解析
(2)或．
【详解】（1）由“五点作图法”列表如下：
x
0
0 3 0 0
…………………………………………………………………………………………..4
图象如下：
………………………………………………………………………………..……10
（2）由，得，
所以或，即或．
又因为，所以k取0，得或．………………………………15
18．设函数．
(1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数，
令，可得，
因为对一切实数恒成立，即对任意的，恒成立，
又由函数的图像开口向下，对称轴为，
当时，；当时，，
则，解得，所以实数a的取值范围……………………….6
（2）解：由，令，
要使得方程关于x的方程在有实数解，
即在上有实数解，即在上有实数解，
令，由，…………………………………10
可当在上单调递减，在单调递增，
当时，，当或时，，
则，即实数的取值范围为…………………………………….17
19．定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当，函数取得最小值为.
(1)求出此函数的解析式；
(2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
(3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值.
【答案】(1)
(2)存在，
(3)
【详解】（1），，
又在内只取到一个最大值和一个最小值，
，，
，，
则，又，，
………………………………………………………..5
（2）假设存在实数，满足题设不等式，
则满足，解得，
，，
同理，
当时，，故在上单调递增，
若有，
只需要，即成立即可，
存在，使成立………..10
（3）由题意得，
函数与函数均为单调增函数，且，
当且仅当与同时取得1才有的最大值为,
由，得，
则由，得，
，则，
又，的最小值为. ………………………………………………………17瑞昌一中、修水一中
2023～2024 学年度下学期第一次月考试卷
高一 数学
2024 年 4 月
说明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．我们高一同学今年大部分已经16岁了，那么属相和16岁的同学相同的老师的年龄可能是（ ）
A．26 B．32 C．40 D．41
2．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移2个单位长度，得到函数的图象，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式化简结果正确的是（ ）
A．＋＝ B．＋＋＋＝
C．＋－＝0 D． —+＝
4．下列说法中正确的是（ ）
A．第一象限角一定不是负角
B．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关
C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角
D．不相等的角终边一定不相同
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A． B．
C ． D．
7．函数的部分图象如图所示，
则函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
8．设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1013 B．1012 C．506 D．507
多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）
9．已知扇形的周长是，面积也是，则扇形的中心角的弧度数可能是（ ）
A． B． C．4 D．或
10．以下关于向量的说法错误的有（ ）
A．若与同向，且，则； B．为实数，若，则与共线.
C．若且，则 D．若与共线，与共线，则与共线
11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中
用图画描绘了筒车的工作原理（图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都
做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用
时60秒，当时，盛水筒位于点
，经过秒后运动到点，
点的纵坐标满足
，则下列叙述正确的
是（ ）
A．筒车转动的角速度.
B．当筒车旋转50秒时，盛水筒对应的
点的纵坐标为
C．当筒车旋转50秒时，盛水筒和初始点的水平距离为6
D．筒车在秒的旋转过程中，盛水筒最高点到轴的距离的最大值为6
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．设角的终边不在坐标轴上，那么函数的值域为 ．
13．如图，B是线段AC的中点，若分别以图中各点为起点和终点，则最多可以写出 个共线非零向量．
14．某市规划局计划对一个扇形公园进行改造，经过对公园AOB区域
（如图所示）测量得知，其半径为3km，圆心角为，规划局工作
人员在弧AB上取一点C，做CD//OA,交OB于点D，做CE垂直
OA，垂足为E，形成三角形CDE健步跑道，则跑道CD长度的最大
值（一般地，对于，可以进行合并转化为
的形式。
形如：）
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分13分）
已知角的终边经过点P（2，-3），求下列各式的值.
(1)；
(2).
（本小题满分15分）
如图所示，已知在△AOB中，点C是以A为对称中心的点B的对称点，＝3，DC和OA交于点E，设，．
(1)用和表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
（本小题满分15分）
已知函数．
(1)用五点作图法画出函数在一个周期上的简图；
(2)若，求．
（本小题满分17分）
设函数．
(1)若对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
(2)若关于x的方程在有实数解，求实数a的取值范围．
（本小题满分17分）
定义在上的函数，已知其在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时函数取得最大值为2；当，函数取得最小值为.
(1)求出此函数的解析式；
(2)是否存在实数，满足不等式，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由；
(3)若将函数的图像保持横坐标不变，纵坐标变为原来的得到函数，再将函数的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为10，求满足条件的的最小值.
