2024年中考数学复习：与圆相关的综合题 （含答案）
文档属性
| 名称 | 2024年中考数学复习：与圆相关的综合题 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-02 20:18:38 | ||
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文档简介
北师大版中考复习：与圆相关的综合题
1．已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1，O1O2=5，在线段O1O2的延长线上取一点O3，使O2O3=3，以O3为圆心，R=5为半径作圆．
（1）如图1，⊙O3与线段O1O2相交于点P1，过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1、P1B1（A1、B1为切点），连接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；
（2）如图2，若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2，又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的切线P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；
（3）设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1和⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）
2．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（﹣9，0）
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
4．如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm 的半圆O．两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A﹣D﹣C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s），其中1≤t＜2．
（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？
（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因．
（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值．
变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F，设EB=x，FD=y．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值．若不存在，请说明理由．
5．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．
_________ ， _________ ；
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示） _________ ；
②求抛物线的解析式；
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．
（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；
（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；
（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：
①当r= _________ 时，⊙A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；
②当r= _________ 时，⊙A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；
③随着r的变化，⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得△FBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得△ABP与△DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
8．已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．
（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）求证：EF是⊙O2的切线；
（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．
9．如图：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴，E为垂足，E点的横坐标为2．
（1）求直线CD的解析式；
（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（t，0），过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当﹣6＜t＜2时，求y与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．
10．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
11．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．
小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：
①反向延长射线OM；
②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；
③连接CB；
④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．
（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．
（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°、OF=10时，求AE的长．
12．已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为 _________ ，C的坐标为 _________ ，D的坐标为 _________ ；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？
14．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？
（2）若⊙B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的⊙P既与⊙B相切又与AD相切？
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说明理由．
15．如图，已知抛物线m的解析式为y=x2﹣4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
（1）求证：点D一定在抛物线n上．
（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．
16．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当时，设四边形APQB的面积为s．
（1）求s与t的函数关系式；
（2）如图3，当⊙P和⊙Q外切时，求s的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
17．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
18．请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA PB=PC PD．请你根据以上材料，解决下列问题．
已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．
19．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①）．
求证：AC2=AG AF．
（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②）．连接FH后，他惊奇地发现∠GFH=∠AFC．根据这一条件，可证GF GA=GH GC．请你帮李明给出证明．
（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）．
20．如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a．另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q．
（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；
（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置．
（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？
21．如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）
（1）点E的坐标是 _________ ；
（2）三角形ABE的面积是 _________ ；
（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？
22．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
（1）若PC=PD，求PB的长．
（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．
（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．
23．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），D（x2，0）（x1＞x2）两点，并且AD=1，又经过点B（4，1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=x2+bx+c的函数关系式；
（2）求点A及点C的坐标；
（3）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
24．关于图形变化的探讨：
（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．
②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F．
③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论 _________ ．证明结论成立或说明不成立的理由
（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2=PC2．
②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论 _________ ．证明结论成立或说明不成立的理由：
（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律 _________ ．
25．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，4）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；
（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H（如图2），问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH﹣PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
26．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．
27．如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0＜t＜15），
（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．
（2）设点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N．
求证：①CN∥AE；
②四边形CGFN为菱形；
③是否存在这样的t值，使BE2=CF CB？若存在，求t值；若不存在，说明理由．
28．如图，⊙O′经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO′交⊙O′于点P，交EF于点C，交⊙O于点Q，且EF=2，sin∠P=．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求⊙O和⊙O′的半径的长；
（3）若点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连接PA交劣弧于点B，连接BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
29．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，点D是BC中点，AD=AC，BC=4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，
（1）求弦AD的长；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
参考答案
1．已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1，O1O2=5，在线段O1O2的延长线上取一点O3，使O2O3=3，以O3为圆心，R=5为半径作圆．
（1）如图1，⊙O3与线段O1O2相交于点P1，过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1、P1B1（A1、B1为切点），连接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；
（2）如图2，若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2，又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的切线P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；
（3）设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1和⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）
解：（1）在图1中，由已知A为切点，得O1A1⊥P1A1． ∴△O1A1P1是直角三角形． 同理可得△O2B1P1是直角三角形． ∴P1A1=，P1B1=． ∴P1A1：P1B1=：=2：． （2）在图2中，连接O1A2，O2B2，P2O1，P2O3． 在Rt△O2O3P2中，P2O2=4，P2B2=． 同理可解，得P2O1=，P2A2=． ∴P2A2：P2B2=：=：=2：． （3）提出的命题是开放性的，只要正确都可以． 如：1．设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1、⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点）． 则有PA：PB=2：或PA：PB是一个常数； 2．在平面上任取一点P，过点P分别作⊙O1、⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点）， 若PA：PB=：，则点P在⊙O3上．
2．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点可得， c=0， 由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0）， 将他们的坐标值分别代入解析式可得， ， 解得，， 故该抛物线的解析式为：y=﹣2x2+4x； （2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为： y=﹣2（x﹣m）2+4（x﹣m）， 原抛物线与平移后的解析式交于P点， 则有， 解得，， 即P点坐标为：（，）， 那么△CDP的高为：，而CD=2， 则S=×2×（）， 化简得，S=； （3）如图， 四边形BAA′B′为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2， B点的纵坐标为：=， 那么tan∠BA′A=， 故∠BA′A=∠A′BA=30°， A′E=AE==， 则=正好是tan30°的值， 故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF， 则∠A′EF=90°， A′F==， 则AF=2﹣=，F横坐标为：2+=， 故在x轴上存在一点F，F的坐标为：（，0）．
3．如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（﹣9，0）
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
解：（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6 OA=OM+MA=3+6=9 A（9，0） ∵OC==3 ∴C（0，） （2）证法一： 在Rt△DCO中，∵DC==6 在△DCM中，∵CM2+DC2=144 DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144 ∴CM2+DC2=DM2 ∴△DCM直角三角形． ∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半径 ∴CD是⊙M的切线． 证法二： 在Rt△COM中，∵sin∠MCO==， ∴∠MCO=30° 在Rt△DOC中，∵tan∠DCO===， ∴∠DCO=60° ∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90° ∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径． （3）由抛物线y=x2+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣12x+27． （4）存在 设抛物线的对称轴交x轴于点H 在（2）中已证： ∴∠DCO=60°，∠CDO=30° ∵抛物线的对称轴平行于y， ∴∠CEF=∠DCO=60° ∵OD=OA=9， ∴CO垂直平分AD ∴∠CAO=∠CDO=30° 在Rt△AFH中，∠AFH=60° ∴∠EFC=60° ∴△CEF是等边三角形 过点C作CG⊥EF于点G，则CG=6 可得：EF=4，S△CEF=EF CG=×4×6=12； 若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y），S△PAM=AM y=3y，S△PAM：S△CEF=：3 ∴3y：12=：3， 解得：y=4． 当y=4时，即x2﹣12x+27=4，解得x=6± ∴P（6﹣，4）或（6+，4）． ②若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形． ③若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y） S△PAM=AM （﹣y）=﹣3y，S△PAM：S△CEF=：3 ∴﹣3y：12=：3 解得：y=﹣4 当y=﹣4时，即x2﹣12x+27=﹣4，解得x=6±． ∴P（6﹣，﹣4）或（6+，﹣4）． ∴这样的点共有4个， ∴P（6﹣，4）或（6+，4）或（6﹣，﹣4）或（6+，﹣4）．
4．如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm 的半圆O．两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A﹣D﹣C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s），其中1≤t＜2．
（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？
（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因．
（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值．
变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F，设EB=x，FD=y．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值．若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，设E、F出发后运动了t s时，有EF和BC平行． 则BE=t，DF=2t﹣2． ∴t=4﹣2t． 解得t=． ∴当t=s时，线段EF和BC平行． （2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切． 作OM⊥EF于点M，ON∥CF交EF于点N，KF∥BC交AB于点K，如图2．则 OM=1，BE=t，CF=4﹣2t，EK=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，ON=[t+（4﹣2t）]=2﹣t． 在Rt△OMN中，MN2=ON2﹣OM2=4t2﹣8t+3． ∵△OMN∽△FKE，∴， 将有关数据代入上式并整理，得2t2﹣4t+1=0 解得t=． ∵1＜t＜2，∴t=． ∴当t=s时，线段EF与半圆相切． （3）当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化． 证明：设1≤t＜2时，E、F出发后运动了t秒时，EF位置如图 则BE=t，AE=2﹣t，CF=4﹣2t ∴ 又∵AB∥DC∴△AEP∽△CFP ∴，即点P的位置与t的取值无关． ∴当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP：PC的值为． 变式题答案： （1）如图（1），当F点在CD的延长线上，过E作EH⊥DC，交DC于F点，易证EB=EM=x，MF=FC=FD+DC=y+2， 在Rt△EHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2， 即22+（y+2﹣x）2=（x+2+y）2， 整理得xy+2x﹣1=0， ∴ ∵1﹣2x＞0 ∴ ∴点F在DC上的函数关系式为（） 如图（2），当E点重合于D点时，即FD=y=0，易求出EM=EB=HC=x，DM=DC=2， ∴DH=DC﹣HC=2﹣x， 即在Rt△EHD中，ED2=EH2+HD2， ∴（x+2）2=22+（2﹣x）2， 解得， 如图（3），当F点在DC上，在Rt△EHF中， 由勾股定理得EH2+FH2=EF2， 即22+（y﹣2+x）2=（x+2﹣y）2， 整理得xy=2x﹣1， ∴， ∵2x﹣1＞0， ∴， ∴点F在DC上的函数关系式为（）； （2）如图（3），假设EF把正方形周长分成相等两部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF， ∴2﹣x+2+y=x+2+2﹣y整理得x=y 由上面可知，=x，解得x=1， ∴存在切线EF，把正方形的周长分成相等的两部分，此时x=1．
5．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．
△OAD∽△CDB ， △ADB∽△ECB ；
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示） （1，﹣4a） ；
②求抛物线的解析式；
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（4分） （2）①（1，﹣4a）（5分） ②∵△OAD∽△CDB ∴（6分） ∵ax2﹣2ax﹣3a=0，可得A（3，0）（8分） 又∵OC=﹣4a，OD=﹣3a，CD=﹣a，CB=1， ∴ ∴a2=1， ∵a＜0， ∴a=﹣1； 故抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3（10分） ③存在，（11分） 设P（x，﹣x2+2x+3） ∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形 ∴PN=AN 当x＜0（x＜﹣1）时，﹣x+3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=﹣2，x2=3（舍去）， ∴P（﹣2，﹣5）（13分） 当x＞0（x＞3）时，x﹣3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=0，x2=3；（都不合题意舍去） 符合条件的点P为（﹣2，﹣5）．（14分）
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．
（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；
（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；
（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：
①当r= 2 时，⊙A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；
②当r= 6 时，⊙A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；
③随着r的变化，⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围．
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+4， 则有：a（0﹣4）2+4=0， 解得a=﹣． ∴y=﹣（x﹣4）2+4． 根据A（4，4）可知，∠AOB=45° ∵AO=AB， ∴△AOB为等腰直角三角形． ∴∠OAB=90°，即O、A、D三点共线， 因此直线BD∥y轴，直线AC∥x轴， 则有：C（12，4）D（8，8）． （2）设平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2+4+h（h＞0）， 将C点坐标代入有：4=﹣（12﹣4）2+4+h， 解得h=16 ∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2+20 当x=8时，y=12≠8， 因此不能使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D． （3）①2；②6； ③当0＜r＜2时0个；当r=2时1个；当2＜r＜6时2个；当r=6时3个；当r＞6时4个．
7．如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得△FBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得△ABP与△DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）∵OA=，AD=AC=2， ∴C（3，0） 又在Rt△AOD中，OA= ∴OD==3， ∴D（O，﹣3）， 又∵D，C两点在抛物线上， ∴c=﹣3， ∴b=﹣， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3； （2）∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4； ∴抛物线的对称轴方程为：x=， ∵BD的长为定值，∴要使△FBD周长最小，只需FB+FD最小， 连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点， 设直线DC的解析式为y=mx+n， 有n=﹣3，得：m=， ∴直线DC的解析式为y=x﹣3， 由y=x﹣3，得x=， ∴y=﹣2， ∴F的坐标为（，﹣2）； （3）存在， 设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，M在抛物线上， 要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM， ①当点M在对称轴的左侧时，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x，t），由BC=QM得QM=4，从而x=﹣3，t=12；故在抛物线上存在点M1（﹣3，12）使得四边形BCQM为平行四边形； ②同理可知当点M在对称轴的右侧时，在抛物线上存在M2（5，12）使得四边形BCQM为平行四边形； ③当点M在对称轴上时，在抛物线上存在M3（，﹣4）使得四边形BMCQ为平行四边形； （4）由（1）得B（﹣，0），BD=2，DC=6，AB=2 ∵BC为圆的直径，∴△BDC是直角三角形， ∴在Rt△BDC和Rt△PAB中 当，△BDC∽△P1AB，∴AP1==6，∴P1（，6） 当，△BDC∽△P2AB，∴AP2==2，∴P2（，2） 根据对称性可得P3（，﹣6）．P4（，﹣2）． ∴点P的坐标为P1（，6），P2（，2），P3（，﹣6）．P4（，﹣2）．
8．已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．
（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）求证：EF是⊙O2的切线；
（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．
解：（1）连接O2F． ∵O2P=O2F，O1P=O1B， ∴∠O2PF=∠O2FP，∠O1PB=∠O1BP， ∴∠O2FP=∠O1BP． ∴O2F∥O1B， 得∠OO2F=90°， ∴∠OPB=∠OO2F=45°． 又∵AB为直径， ∴∠APB=90°， ∴∠APO=∠BPO=45°． （2）延长ED交⊙O1于点H，连接PE． ∵BO为切线， ∴BO2=BF BP． 又∵BE=BO， ∴BE2=BF BP． 而∠PBE=∠EBF， ∴△PBE∽△EBF， ∴∠BEF=∠BPE， ∴BE=BH，有AB⊥ED． 又由（1）知O2F∥O1B， ∴O2F⊥DE， ∴EF为⊙O2的切线． （3）MN的长度不变． 过N作⊙O3的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO1N=∠EO1D， 且∠NMK=∠EDO1=90°， 又∵NK=O1E， ∴△NKM≌△EDO1， ∴MN=ED． 而OO1=4，OO2=3， ∴O1O2=5， ∴O1A=8．即AB=16， ∵EF与圆O2相切， ∴O2F⊥ED， 则四边形OO2FD为矩形， ∴O2F=OD，又圆O2的半径O2F=3， ∴OD=3， ∴AD=7，BD=9． ED2=AD BD， ∴ED=3． 故MN的长度不会发生变化，其长度为．
9．如图：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴，E为垂足，E点的横坐标为2．
（1）求直线CD的解析式；
（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（t，0），过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当﹣6＜t＜2时，求y与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．
解：（1）如图，∵， ∴当x=2时，y=4， ∴D（2，4）， 把D（2，4）代入y=kx+8中，得 4=2k+8， 解得，k=﹣2， 故直线CD的解析式为y=﹣2x+8； （2）∵P点的坐标为（t，0）， ∴Q点的坐标为（t，t+3）， ∵QM∥x轴， ∴M点的纵坐标为t+3， ∴M点的横坐标为﹣t+， ∴y=﹣t+﹣t，即y=﹣t+； （3）由直线AB、CD的解析式得：OB=3 OA=6 OC=4 ∵D（2，4） ∴CE=2 DE=4 如图1，tan∠BAO=tan∠CDE= ∴∠BAO=∠CDE ∴∠ADC=∠ADE+∠BAO=90° 设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′ ∵PQM为直角三角形 ∴PM为直径 设⊙O′与x轴交于H，MH⊥AC，四边形PQMH为矩形 如图2，当⊙O′与直线CD相切时PM⊥CD ∴∠ADC=∠PMC=90° ∴PM∥AB 又∵QM∥AC ∴四边形AQMP为平行四边形 ∴AP=QM 即：﹣t+=t+6 得：t=﹣ ∵QA=MP=QH ∴∠O′QD=2∠QAC ∵∠QAC≠45° ∴∠O′QD≠90°， 过O′作O′N⊥AD于N 则O′Q＞O′N ∴⊙O′与直线AB相交 ∴此时⊙O′与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点． 如图3，当⊙O′与直线AB相切时， 同理可得四边形QMCH为平行四边形，QM=CH=PH ∴AP+2QM=10 即t+6+2（﹣t+）=10 解得：t= 同理，过O′作O′T⊥CD于T， 则O′Q=O′M＞OT ∴此时⊙O′与直线CD相交， ∴当t=时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点； 若⊙O′经过点D， ∵PM是直径， ∴∠PDM=90°， ∵﹣6＜t＜2 ∴PDM＜90°（不符合题意） ∴⊙O′不经过点D， 综上所述：t=或t=时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点．
10．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4=0， 解得x1=﹣1，x2=4， ∴点C、D的坐标是C（﹣1，0），D（4，0）， =1.5， ∴点M的坐标是（1.5，0）， 故答案为：C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）； （2）如图，连接AM，则AM=2.5， 在Rt△AOM中，AO===2， ∴点A的坐标是（0，2）， ∵PA与⊙M相切， ∴AM⊥PA， ∴∠MAO+∠PAO=90°， 又∵∠AMO+∠MAO， ∴∠AMO=∠PAO， 在△AOM与△POA中，， ∴△AOM∽△POA， ∴=， 即=， 解得PA=； （3）存在． 如图，连接AC、AD， ∴∠CAD=90°， 在△ACO与△DCA中，， ∴△ACO∽△DCA， ∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似， 此时，设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c， 则， 解得， ∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
11．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．
小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：
①反向延长射线OM；
②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；
③连接CB；
④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．
（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．
（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°、OF=10时，求AE的长．
解：（1）连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵BD=CD， ∴AB=AC； （2）连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∴∠B＜∠ADB=90° ∠C＜∠ADB=90° ∴∠B、∠C为锐角， ∵AC和⊙O交于点F，连接BF， ∴∠A＜∠BFC=90° ∴△ABC为锐角三角形； ①∵∠AOF=∠OCB 又∵∠BOA=2∠OCB ∴∠AOF=∠BOF ∴OP为∠BOA的角平分线 ②∵∠MON=60° ∴△AOB为正三角形 ∵OP平分∠MON ∴AE=BE=AB ∵OP平分∠BOD ∴∠BOF=30° 又∵AF与⊙O相切 ∴AF⊥AO ∵AO=5 ∴AB=AO=5 ∴AE=．
12．已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为 （4，﹣2） ，C的坐标为 （4，﹣8） ，D的坐标为 （0，﹣6） ；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
解： （1）①B（4，﹣2）C（4，﹣8）D（0，﹣6） ②设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣2，已知抛物线过D点， 因此﹣6=a（x﹣4）2﹣2， 解得a=﹣． 抛物线的函数关系式为：y=﹣（x﹣4）2﹣2． 根据对称可知：E（8，﹣6） ③直线AD：y=2x﹣6， 把y=2x﹣6代入y=﹣（x﹣4）2﹣2， 整理得：x2=0，得x1=x2=0 ∴除D点外，直线AD与②中的抛物线无其它公共点． （2）设A（m，h），则B的坐标为（m，﹣h），C的坐标为（m，h﹣10）． 假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分， 设DE与BC相交于点F，于是BF=CF=AB． ∴10﹣3h=h， 即h= ∴AB=5 ∴B、P两点重合 ∴OB=m===．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？
解：（1）连接OD，DF． ∵AC切⊙O于点D， ∴OD⊥AC． 在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t， ∴OD=OF=t，AD=OA cosA=． 又∵∠FOD=90°﹣30°=60°， ∴∠AED=30°，∴AD=ED=． ∵DE⊥EG， ∴∠BEG=60°， △BEG与△DEG相似． ∵∠B=∠GED=90°， ①当∠EGD=30°， CE=2BE=2（6﹣）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合， DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t， ∵△BEG∽△DEC， ∴=， ∴=， t=； ②当∠EGD=60°． ∴DG⊥BC，DG∥AB． 在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=， ∴DG=t． 在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6， ∴AC=12，AB=6， ∴CD=12﹣． ∵DG∥AB， ∴解得t=． 答：当t为或时，△BEG与△EGD相似； （2）∵AC切⊙O于点D， ∴OD⊥AC． 在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t， ∴∠AED=30°，∴DE⊥EG， ∴∠BEG=60°． 在Rt△BC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6， ∴AB=6，BE=6﹣t． Rt△BEG中，∠BEG=60°， ∴BG=BE tan60°=18﹣t． 当0≤18﹣t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上； 当18﹣t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上； （3）过点D作DM⊥AB于M． 在Rt△ADM中，∠A=30°， ∴DM=AD=t． ∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG =36﹣t2﹣27t =﹣（t﹣）2+（＜t＜4）． 所以当t=时，s取得最大值，最大值为．
14．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？
（2）若⊙B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的⊙P既与⊙B相切又与AD相切？
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说明理由．
解：（1）作BM⊥AD于M； ∵B（6，）， ∴DM=6，BM=； ∵A（8，0）， ∴AM=8﹣6=2， ∴AB==4， ∴P点到达终点的时间为：t=（BC+AB）÷2=5秒， 此时Q在距A点5个单位处， ∴P点先到达，此时t=5秒； （2）∵由（1）可知∠BAM=30°； ∵AP：AQ=2：1， ∴PQ∥BM， ∴△PMA为直角三角形； ∵AB=4， ∴PQ=t，AP=2t，BP=4﹣2t， ∴t±1=4﹣2t，（5分） t=3（2﹣）（7分）或t=5（2﹣）；（8分） （3）t=时，以PQ为直径的圆能与CD相切，（9分） 设PQ的中点为M，过M作MN⊥y轴于N，过P点作PH⊥x轴于H； 依题意得：CP+OQ=2MN 10﹣2t+8﹣t=PQ 即（18﹣3t）2=PQ2=（2）2+[（8﹣t）﹣（10﹣2t）]2， 化简得：2t2﹣26t+77=0，（10分） t=或， 又t≤5，故取t=．（12分）
15．如图，已知抛物线m的解析式为y=x2﹣4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
（1）求证：点D一定在抛物线n上．
（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．
（1）证明：设n的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵n与x轴的交点为A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，﹣4），m与n关于x轴对称， ∴m过A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）， ∴ ∴a=﹣1，b=0，c=4， 即n的解析式为y=﹣x2+4， 设点B（m，n）为m：y=x2﹣4上任意一点，则n=m2﹣4， ∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称， ∴B、D关于原点O对称， ∴点D的坐标为D（﹣m，﹣n）． 由式方程式可知，﹣n=﹣（m2﹣4）=﹣（﹣m）2+4， 即点D的坐标满足y=﹣x2+4， ∴点D在n上． （2）解： ABCD能为矩形． 过点B作BH⊥x轴于H，由点B在m：y=x2﹣4上，可设点B的坐标为（x0，x02﹣4）， 则OH=|x0|，BH=|x02﹣4|． 易知，当且仅当BO=AO=2时， ABCD为矩形． 在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02﹣4|2=22， （x02﹣4）（x02﹣3）=0， ∴x0=±2（舍去）、x0=±．（7分） 所以，当点B坐标为B（ ，﹣1）或B′（﹣，﹣1）时， ABCD为矩形， 此时，点D的坐标分别是D（﹣，1）、D′（ ，1）． 因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′． （3）解：设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB， ∴=， ∴． ∴EO=4﹣2 ． 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为 S=2S△ACE=2××AC×EO=2××4×（4﹣2 ）=16﹣8 ．
16．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当时，设四边形APQB的面积为s．
（1）求s与t的函数关系式；
（2）如图3，当⊙P和⊙Q外切时，求s的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）依题意，得AP=3t，CQ=t． ∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），OB的中点C， ∴OP=OA﹣AP=10﹣3t， OQ=OC﹣CQ=OB﹣CQ =×10﹣t =5﹣t， ∴S四边形APQB=S△OAB﹣S△OPQ=OA OB﹣OP OQ =×10×10﹣（10﹣3t）（5﹣t）， ∴S四边形APQB=． （2）当⊙P和⊙Q外切时，PQ=4+1=5． 在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2， ∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=25， ∴t=2或t=5（舍去）， 当t=2时， s= =44， 当⊙P和⊙Q外切时，s=44． （3）在运动的过程中，存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切． 当⊙P和⊙Q内切时，PQ=4﹣1=3． 在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2， ∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=9， 解得t=， ∴点P的坐标为（0，）．
17．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3（1分） 将A（﹣1，0）代入：0=a（﹣1﹣1）2﹣3， 解得a=（2分） 所以，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣x﹣（3分） （2）是定值，=1（4分） ∵AB为直径， ∴∠AEB=90°， ∵PM⊥AE， ∴PM∥BE， ∴△APM∽△ABE， 所以① 同理：②（5分） ①+②：（6分） （3）∵直线EC为抛物线对称轴， ∴EC垂直平分AB， ∴EA=EB， ∵∠AEB=90°， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴∠EAB=∠EBA=45°（7分） 如图，过点P作PH⊥BE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形． ∴PH=ME且PH∥ME． 在△APM和△PBH中， ∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°， ∴PH=BH，且△APM∽△PBH， ∴， ∴①（8分） 在△MEP和△EGF中， ∵PE⊥FG， ∴∠FGE+∠SEG=90°， ∵∠MEP+∠SEG=90°， ∴∠FGE=∠MEP， ∵∠PME=∠FEG=90°， ∴△MEP∽△EGF， ∴② 由①、②知：（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）
18．请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA PB=PC PD．请你根据以上材料，解决下列问题．
已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．
解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C， ∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C． ∴Q与A重合，R与C重合． ∵OP=1，AC=4， ∴+=1+=． （2）连接OA， ∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2， ∴∠OAP=30°． ∴AP=． ∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m， ∴OA∥PQ，∠PQA=90°． ∴∠APQ=∠OAP=30°． ∴AP=． ∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m， ∴OA∥PQ，∠PQA=90°． ∴∠APQ=∠OAP=30°． 在Rt△AQP中，PQ=，同理，PR=， ∴． （3）猜想． 证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC， ∴∠ECA=90°． ∵AE⊥直线m，PQ⊥直线， ∴AE∥PQ且∠PQA=90°． ∴∠EAC=∠APQ． ∴△AEC∽△PAQ． ∴① 同理可得：② ①+②，得： +=+ ∴=（） = =． 过P作直径交⊙O于M，N， 根据阅读材料可知：AP PC=PM PN=3， ∴=．
19．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①）．
求证：AC2=AG AF．
（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②）．连接FH后，他惊奇地发现∠GFH=∠AFC．根据这一条件，可证GF GA=GH GC．请你帮李明给出证明．
（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）．
考点： 相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．1082614
（1）证明：延长CG交⊙O于H， ∵CD⊥AB， ∴AB平分CH，弧CA=弧AH， ∴∠ACH=∠AFC， 又∠CAG=∠FAC， ∴△AGC∽△ACF， ∴=， 即AC2=AG AF． （2）证明：∵CH⊥AB， ∴弧AC=弧AH， ∴∠AFC=∠ACG 又∠AFC=∠GFH， ∴∠ACG=∠GFH， 又∠G=∠G， ∴△GFH∽△GCA， ∴=， ∴GF GA=GC CH． （3）答：CD2=AD DB，AC2=AD AB；EF EC=EA EB，AF GA=AD AB．
20．如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a．另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q．
（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；
（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置．
（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？
解：（1）可知四边形APDQ为平行四边形 证明：由题知△ABC≌△DEF且△ABC △DEF为等边三角形 ∴∠BAC=∠EDF=60° 又∵EF∥BC，MN∥BC ∴EF∥BC∥MN ∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60° ∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60° ∴△DQN为等边三角形 ∴∠DQN=∠PDQ=60°， ∴PD∥AQ ∴∠BAC=∠DQN=60°， ∴AP∥DQ ∴四边形APDQ为平行四边形． （2）y=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+a2 ∴当x取时，即D点位于MN的中点位置时，四边形APDQ的面积最大，且最大值为a2． （3）当D点和圆心O重合时，四边形APDQ为菱形， 理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON为等边三角形，且MO=ON， 所以△MPQ≌△QON． 因此OP=OQ，又因为四边形APDQ为平行四边形． 所以可知四边形APDQ为菱形， 由题可知，S△ABC=a2，而由（2）知S四边形APDQ=a2 ∴， ∴S四边形APDQ=S△ABC．
21．如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）
（1）点E的坐标是 （0，） ；
（2）三角形ABE的面积是 ；
（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？
解：（1）对于y=x=2，令x=0，则y=2；令y=0，则x+2=0，解得x=﹣2 ∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2）， ∵正方形OBCD是OB为边长的正方形， ∴O1的坐标为（1，1） 设直线O1A的解析式为y=kx+b， 把A（﹣2，0），O1（1，1）分别代入得，解得， ∴直线O1A的解析式为y=x+， 令x=0，则y=， ∴点E坐标为（0，）； （2）S△ABE=BE OA=×（2﹣）×2=； 故答案为（0，）；； （3）存在．理由如下： ∵OA=OB=2，AD=4， ∴△OAB为等腰直角三角形，则AB=OB=2， ∵动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动，而Q点运动在线段AD上时， ∴0≤t≤2，此时点P在AB上， 过点P作PF⊥AD于点F，如图， ∵S△APQ：S△ABE=3：4， ∴S△APQ=S△ABE=×=1， ∵AP=t， ∴PF=AP=t， 而AQ=2t， ∴S△APQ=AQ PF=×2t×t=1， ∴t=1， ∴AQ=2t=2×1=2，PF=1， ∵AO=2， ∴点Q与点O重合，即点Q的坐标为（0，0），OF=1， ∴点P坐标为（﹣1，1） 设直线PQ的解析式为y=mx， 把P（﹣1，1）代入得1=﹣m，即m=﹣1， ∴直线PQ的解析式是y=﹣x．
22．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
（1）若PC=PD，求PB的长．
（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．
（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．
解：（1）∵PC切⊙A点于C， ∴PC⊥AC， PC2=PA2﹣AC2， 同理PD2=PB2﹣BD2， ∵PC=PD， ∴PA2﹣AC2=PB2﹣BD2 设PB=x，PA=4﹣x代入得x2﹣12=（4﹣x）2﹣22， 解得x=，1＜＜2， 即PB的长为（PA长为＞2）， （2）假定存在一点P使PC2+PD2=4，设PB=x， 则PD2=x2﹣1 PC2=（4﹣x）2﹣22， 代入条件得（4﹣x）2﹣22+x2﹣1=4， 代简得2x2﹣8x+7=0解得x=2±， ∵P在两圆间的圆外部分， ∴1＜PB＜2即1＜x＜2， ∴满足条件的P点只有一个，这时PB=2﹣， （3）当PC：PD=2：1或PB=时，也有△PCA∽△PDB， 这时，在△PCA与△PDB中或， ∠C=∠D=90°， ∴△PCA∽△PDB， ∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延长线上）， ∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等， ∵⊙B与PD相切， ∴⊙B也与CP的延长线PE相切．
23．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），D（x2，0）（x1＞x2）两点，并且AD=1，又经过点B（4，1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=x2+bx+c的函数关系式；
（2）求点A及点C的坐标；
（3）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
解：（1）令y=0，则x2+bx+c=0，即x2+2bx+2c=0， 根据根与系数的关系，x1+x2=﹣2b，x1 x2=2c， AD===1， 整理得，4b2﹣8c﹣1=0①， 又∵点B（4，1）在抛物线上， ∴8+4b+c=1， 整理得，c=﹣4b﹣7②， 把②代入①得，4b2+32b+55=0， 解得b1=﹣，b2=﹣， 由图可知，抛物线x=﹣＜4， 所以，b＞﹣4， ∴b=﹣， 把b=﹣代入②得，c=﹣4×（﹣）﹣7=10﹣7=3， 所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3； （2）令x=0，则x2﹣x+3=0， 整理得，x2﹣5x+6=0， 解得x1=3，x2=2， ∵点A在点D的右边， ∴点A的坐标为（3，0）， 令x=0，则y=3， 所以，点C的坐标为（0，3）； （3）假设存在，分两种情况：如图1，①过点B作BH⊥x轴于点H， ∵A（3，0），C（0，3），B（4，1）， ∴∠OCA=45°，∠BAH=45°， ∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴△ABC是直角三角形， 点C（0，3）符合条件， 所以，P1（0，3）； ②当∠ABP=90°时，过点B作BP∥AC交抛物线于点P， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y=﹣x+3， 设直线BP的解析式为y=﹣x+b， 则﹣4+b=1， 解得b=5， ∴直线BP：y=﹣x+5， 联立， 解得，， 又∵点B（4，1）， ∴点P的坐标为（﹣1，6）， 综上所述，存在点P1（0，3），P2（﹣1，6）； （4）如图2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1）， ∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°， 又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF， ∴∠OEF=∠OFE=45°， ∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°， ∵点E在直线AC上：y=﹣x+3， ∴设点E（x，﹣x+3）， 根据勾股定理，OE2=x2+（﹣x+3）2， =2x2﹣6x+9， 所以，S△OEF=OE OF=OE2=x2﹣3x+=（x﹣）2+， 所以，当x=时，S△OEF取最小值， 此时﹣x+3=﹣+3=， 所以，点E的坐标（，）．
24．关于图形变化的探讨：
（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．
②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F．
③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论 EC1=C2F ．证明结论成立或说明不成立的理由
（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2=PC2．
②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论 PM2=PC1 PC2 ．证明结论成立或说明不成立的理由：
（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律 在某些几何图形中，平行移动某条直线，有些几何关系保持不变． ．
解：（1）结论为EC1=C2F． 证明：过O作OM⊥C1C2于M， 则AE∥OM∥BF， ∵AO=OB，根据平行截割定理，得EM=MF， 又∵C1O=OC2， ∴EC1=C2F； （2）结论为PM2=PC1 PC2． 证明：连接ON， ∵PN是切线，O是圆心， ∴∠MNP+∠ONB=90°． 又∠ONB=∠B，BC⊥l， ∴∠NMP+∠B=∠BMC3+∠B=90°， ∴∠MNP=∠NMP， ∴PM=PN． 由PM=PN， 由切割线定理得 PN2=PC1 PC2， ∴PM2=PC1 PC2． （3）在某些几何图形中，平行移动某条直线，有些几何关系保持不变．
25．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，4）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；
（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H（如图2），问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH﹣PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得：， 解得：． ∴抛物线解析式为y=x2﹣x+4； （2）令y=0，得x2﹣x+4=0． 解得：x1=1，x2=3． ∴C点坐标为（1，0）． 作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ=C'Q，则点C′， 就是点C关于直线AB的对称点． 由△ABC的面积得：CQ AB=CA BO， ∵AB==5，CA=2， ∴CQ=，CC'=． 作C'T⊥x轴，垂足为T， ∵∠C′CT+∠BAO=90°，∠C′CA+∠CC′T=90°， ∴∠BAO=∠CC′T， ∵∠BOA=∠CTC′， ∴△CTC'∽△BOA． ∴， ∴C'T=，CT= ∴OT=1+=， ∴C'点的坐标为（，）； （3）设⊙D的半径为r， 则AE=r+3，BF=4﹣r，HB=BF=4﹣r． ∵AB=5，且AE=AH， ∴r+3=5+4﹣r， ∴r=3． HB=4﹣3=1． 作HN⊥y轴，垂足为N， 则，， ∴HN=，BN=， ∴H点坐标为（，）． 根据抛物线的对称性，得PA=PC， ∵|PH﹣PA|=|PH﹣PC|≤HC， ∴当H、C、P三点共线时，|PH﹣PC|最大． ∵HC==， ∴|PH﹣PA|的最大值为．
26．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．
解：（1）两个三角形全等． ∵△AOB、△CBD都是等边三角形， ∴OBA=∠CBD=60°， ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 即∠OBC=∠ABD； ∵OB=AB，BC=BD， △OBC≌△ABD； （2）点E位置不变． ∵△OBC≌△ABD， ∴∠BAD=∠BOC=60°， ∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°； 在Rt△EOA中，EO=OA tan60°=， 或∠AEO=30°，得AE=2， ∴OE= ∴点E的坐标为（0，）； （3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1 m=n AG，即AG=； 又∵OC是直径， ∴OE是圆的切线，OE2=EG EF， 在Rt△EOA中，AE==2， （）2=（2﹣）（2+n） 即2n2+n﹣2m﹣mn=0 解得m=．
27．如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0＜t＜15），
（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．
（2）设点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N．
求证：①CN∥AE；
②四边形CGFN为菱形；
③是否存在这样的t值，使BE2=CF CB？若存在，求t值；若不存在，说明理由．
（1）解：∵射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置， ∴B一秒P转动的圆心角为12°， ∴每秒走过的弧长为：=πcm∕s； （2）①证明：如图所示： ∵点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N． ∴∠ACD+∠CAG=∠CGF，∠ABC=∠GAC=∠ACG， ∠MCA=∠ABC， ∴∠MCA+∠ACG=∠ACD+∠CAG， ∴CN∥AE； ②证明：∵FN∥CD，CN∥AE； ∴四边形CGFN是平行四边形， ∵∠GCF=90°﹣∠ACG， ∠CFG=∠EFB=90°﹣∠EBC， ∵∠EBC=∠ACD， ∴∠GCF=∠GFC， ∴CG=GF， ∴平行四边形CGFN为菱形； ③解：连接EO，CO． 存在，理由如下： ∵∠ACF=∠ACB， ∠CAF=∠CBA， ∴△ACF∽△BCA， ∴， ∴AC2=BC CF， ∵当t=10s时，∠AOC=∠AOE=60°， ∴∠BOE=60°， ∴△AOC，△BOE都是等边三角形，且此时全等， ∴AC=BE， ∴BE2=BC CF．
28．如图，⊙O′经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO′交⊙O′于点P，交EF于点C，交⊙O于点Q，且EF=2，sin∠P=．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求⊙O和⊙O′的半径的长；
（3）若点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连接PA交劣弧于点B，连接BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（1）证明：连接OE， ∵OP是⊙O'的直径， ∴∠OEP=90°． ∴PE是⊙O的切线． （2）解：设⊙O、⊙O'的半径分别为r，r' ∵⊙O与⊙O'交于E、F， ∴EF⊥OO'，EC=EF=． ∴在Rt△EOC、Rt△POE中，∠OEC=∠OPE． ∴sin∠OEC=sin∠OPE=． ∴sin∠OEC=． 即OC=r， ∴，解得r=4． Rt△OPE中，sin∠OPE= ∴r'=8． （3）解：连接OF， ∵∠OEP=90°，CE⊥OP， ∴PE2=PC PO． 又∵PE是⊙O的切线， ∴PE2=PB PA． ∴PC PO=PB PA． 即， 又∵∠CPB=∠APO， ∴△CPB∽△APO． ∴． ∴． 由相交弦定理，得BC CG=CF CE． ∴． ∴PA=4CG． 即y=4x（）．
29．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，点D是BC中点，AD=AC，BC=4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，
（1）求弦AD的长；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
解：（1）∵∠BAC=90°，点D是BC中点，BC=4， ∴AD=BC=2； （2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE， 当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰， ∴OE⊥DM， 又∵AD=AC， ∴△ADC为等边三角形， ∴∠CAD=60°， ∴∠DAO=30°， ∴∠DON=60°， 在Rt△ADN中，DN=AD=， 在Rt△ODN中，ON=DN=1， ∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形； 当MD=ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE， ∵AD=2，∠DAE=30°， ∴DH=，∠DEA=60°，DE=2， ∴△ODE为等边三角形， ∴OE=DE=2，OH=1， ∵∠M=∠DAE=30°， 而MD=ME， ∴∠MDE=75°， ∴∠ADM=90°﹣75°=15°， ∴∠DNO=45°， ∴△NDH为等腰直角三角形， ∴NH=DH=， ∴ON=﹣1； 综上所述，当ON等于1或﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形； （3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ=2．理由如下： 连AP、AQ，如图2， ∵∠C=∠CAD=60°， 而DP⊥AB， ∴AC∥DP， ∴∠PDB=∠C=60°， 又∵∠PAQ=∠PDB， ∴∠PAQ=60°， ∴∠CAQ=∠PAD， ∵AC=AD，∠AQC=∠P， ∴△AQC≌△APD， ∴DP=CQ， ∴DP﹣DQ=CQ﹣DQ=CD=2．
1．已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1，O1O2=5，在线段O1O2的延长线上取一点O3，使O2O3=3，以O3为圆心，R=5为半径作圆．
（1）如图1，⊙O3与线段O1O2相交于点P1，过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1、P1B1（A1、B1为切点），连接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；
（2）如图2，若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2，又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的切线P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；
（3）设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1和⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）
2．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．
3．如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（﹣9，0）
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
4．如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm 的半圆O．两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A﹣D﹣C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s），其中1≤t＜2．
（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？
（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因．
（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值．
变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F，设EB=x，FD=y．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值．若不存在，请说明理由．
5．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．
_________ ， _________ ；
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示） _________ ；
②求抛物线的解析式；
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．
（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；
（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；
（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：
①当r= _________ 时，⊙A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；
②当r= _________ 时，⊙A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；
③随着r的变化，⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围．
7．如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得△FBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得△ABP与△DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
8．已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．
（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）求证：EF是⊙O2的切线；
（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．
9．如图：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴，E为垂足，E点的横坐标为2．
（1）求直线CD的解析式；
（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（t，0），过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当﹣6＜t＜2时，求y与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．
10．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
11．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．
小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：
①反向延长射线OM；
②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；
③连接CB；
④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．
（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．
（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°、OF=10时，求AE的长．
12．已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为 _________ ，C的坐标为 _________ ，D的坐标为 _________ ；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？
14．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？
（2）若⊙B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的⊙P既与⊙B相切又与AD相切？
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说明理由．
15．如图，已知抛物线m的解析式为y=x2﹣4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
（1）求证：点D一定在抛物线n上．
（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．
16．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当时，设四边形APQB的面积为s．
（1）求s与t的函数关系式；
（2）如图3，当⊙P和⊙Q外切时，求s的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
17．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
18．请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA PB=PC PD．请你根据以上材料，解决下列问题．
已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．
19．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①）．
求证：AC2=AG AF．
（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②）．连接FH后，他惊奇地发现∠GFH=∠AFC．根据这一条件，可证GF GA=GH GC．请你帮李明给出证明．
（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）．
20．如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a．另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q．
（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；
（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置．
（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？
21．如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）
（1）点E的坐标是 _________ ；
（2）三角形ABE的面积是 _________ ；
（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？
22．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
（1）若PC=PD，求PB的长．
（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．
（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．
23．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），D（x2，0）（x1＞x2）两点，并且AD=1，又经过点B（4，1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=x2+bx+c的函数关系式；
（2）求点A及点C的坐标；
（3）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
24．关于图形变化的探讨：
（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．
②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F．
③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论 _________ ．证明结论成立或说明不成立的理由
（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2=PC2．
②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论 _________ ．证明结论成立或说明不成立的理由：
（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律 _________ ．
25．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，4）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；
（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H（如图2），问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH﹣PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
26．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．
27．如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0＜t＜15），
（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．
（2）设点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N．
求证：①CN∥AE；
②四边形CGFN为菱形；
③是否存在这样的t值，使BE2=CF CB？若存在，求t值；若不存在，说明理由．
28．如图，⊙O′经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO′交⊙O′于点P，交EF于点C，交⊙O于点Q，且EF=2，sin∠P=．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求⊙O和⊙O′的半径的长；
（3）若点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连接PA交劣弧于点B，连接BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
29．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，点D是BC中点，AD=AC，BC=4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，
（1）求弦AD的长；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
参考答案
1．已知⊙O1和⊙O2的半径都等于1，O1O2=5，在线段O1O2的延长线上取一点O3，使O2O3=3，以O3为圆心，R=5为半径作圆．
（1）如图1，⊙O3与线段O1O2相交于点P1，过点P1分别作⊙O1和⊙O2的切线P1A1、P1B1（A1、B1为切点），连接O1A1、O2B1，求P1A1：P1B1的值；
（2）如图2，若过O2作O2P2⊥O1O2交O3于点P2，又过点P2分别作⊙O1和⊙O2的切线P2A2、P2B2（A2、B2为切点），求P2A2：P2B2的值；
（3）设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1和⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点），由（1）（2）的探究，请提出一个正确命题．（不要求证明）
解：（1）在图1中，由已知A为切点，得O1A1⊥P1A1． ∴△O1A1P1是直角三角形． 同理可得△O2B1P1是直角三角形． ∴P1A1=，P1B1=． ∴P1A1：P1B1=：=2：． （2）在图2中，连接O1A2，O2B2，P2O1，P2O3． 在Rt△O2O3P2中，P2O2=4，P2B2=． 同理可解，得P2O1=，P2A2=． ∴P2A2：P2B2=：=：=2：． （3）提出的命题是开放性的，只要正确都可以． 如：1．设在⊙O3上任取一点P，过点P分别作⊙O1、⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点）． 则有PA：PB=2：或PA：PB是一个常数； 2．在平面上任取一点P，过点P分别作⊙O1、⊙O2的切线PA、PB（A、B为切点）， 若PA：PB=：，则点P在⊙O3上．
2．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
（3）如图②，以点A为圆心，以线段OA为半径画圆，交抛物线y=ax2+bx+c的对称轴于点B，连接AB，若将抛物线向右平移m（m＞0）个单位后，B点的对应点为B′，A点的对应点为A′点，且满足四边形BAA′B′为菱形，平移后的抛物线的对称轴与菱形的对角线BA′交于点E，在x轴上是否存在一点F，使得以E、F、A′为顶点的三角形与△BAE相似？若存在，求出F点坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过坐标原点可得， c=0， 由顶点M坐标为（1，2），可得A点坐标为（2，0）， 将他们的坐标值分别代入解析式可得， ， 解得，， 故该抛物线的解析式为：y=﹣2x2+4x； （2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线解析式为： y=﹣2（x﹣m）2+4（x﹣m）， 原抛物线与平移后的解析式交于P点， 则有， 解得，， 即P点坐标为：（，）， 那么△CDP的高为：，而CD=2， 则S=×2×（）， 化简得，S=； （3）如图， 四边形BAA′B′为菱形，则有菱形的边长就是圆的半径为2， B点的纵坐标为：=， 那么tan∠BA′A=， 故∠BA′A=∠A′BA=30°， A′E=AE==， 则=正好是tan30°的值， 故∠BAE=90°而△BAE∽△A′EF， 则∠A′EF=90°， A′F==， 则AF=2﹣=，F横坐标为：2+=， 故在x轴上存在一点F，F的坐标为：（，0）．
3．如图，在直角坐标系中，以点M（3，0）为圆心，以6为半径的圆分别交x轴的正半轴于点A，交x轴的负半轴交于点B，交y轴的正半轴于点C，过点C的直线交x轴的负半轴于点D（﹣9，0）
（1）求A，C两点的坐标；
（2）求证：直线CD是⊙M的切线；
（3）若抛物线y=x2+bx+c经过M，A两点，求此抛物线的解析式；
（4）连接AC，若（3）中抛物线的对称轴分别与直线CD交于点E，与AC交于点F．如果点P是抛物线上的动点，是否存在这样的点P，使得S△PAM：S△CEF=：3？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）
解：（1）连接CM，由题意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6 OA=OM+MA=3+6=9 A（9，0） ∵OC==3 ∴C（0，） （2）证法一： 在Rt△DCO中，∵DC==6 在△DCM中，∵CM2+DC2=144 DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144 ∴CM2+DC2=DM2 ∴△DCM直角三角形． ∴MC⊥DC，而MC是⊙M的半径 ∴CD是⊙M的切线． 证法二： 在Rt△COM中，∵sin∠MCO==， ∴∠MCO=30° 在Rt△DOC中，∵tan∠DCO===， ∴∠DCO=60° ∴∠DCM=∠MCO+∠DCO=90° ∴MC⊥DC，而MC中的⊙M半径． （3）由抛物线y=x2+bx+c经过点M（3，0）和点A（9，0），可得： 解得： ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣12x+27． （4）存在 设抛物线的对称轴交x轴于点H 在（2）中已证： ∴∠DCO=60°，∠CDO=30° ∵抛物线的对称轴平行于y， ∴∠CEF=∠DCO=60° ∵OD=OA=9， ∴CO垂直平分AD ∴∠CAO=∠CDO=30° 在Rt△AFH中，∠AFH=60° ∴∠EFC=60° ∴△CEF是等边三角形 过点C作CG⊥EF于点G，则CG=6 可得：EF=4，S△CEF=EF CG=×4×6=12； 若点P在轴的上方，设点P坐标为（x，y），S△PAM=AM y=3y，S△PAM：S△CEF=：3 ∴3y：12=：3， 解得：y=4． 当y=4时，即x2﹣12x+27=4，解得x=6± ∴P（6﹣，4）或（6+，4）． ②若点P在x轴上，则点P与点M或与点A重合，此时构不成三角形． ③若点P在x轴下方，设点P的坐标为（x，y） S△PAM=AM （﹣y）=﹣3y，S△PAM：S△CEF=：3 ∴﹣3y：12=：3 解得：y=﹣4 当y=﹣4时，即x2﹣12x+27=﹣4，解得x=6±． ∴P（6﹣，﹣4）或（6+，﹣4）． ∴这样的点共有4个， ∴P（6﹣，4）或（6+，4）或（6﹣，﹣4）或（6+，﹣4）．
4．如图1，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm 的半圆O．两点E、F分别从点B、点A同时出发，点E沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A﹣D﹣C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s），其中1≤t＜2．
（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？
（2）EF能否与半圆O相切？如果能，求出t的值；如果不能，请说明原因．
（3）如图2，设EF与AC相交于点P，当点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，也请说明理由，并求AP：PC的值．
变式：如图3，若将上题改为，正方形ABCD中，有一直径为BC=2cm的半圆O．点E为AB边上的动点（不与点A、B重合），过点E与圆O相切的直线交CD所在直线为点F，设EB=x，FD=y．
（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）是否存在切线EF，把正方形ABCD的周长分成相等的两部分？若存在，求出x的值．若不存在，请说明理由．
解：（1）如图1，设E、F出发后运动了t s时，有EF和BC平行． 则BE=t，DF=2t﹣2． ∴t=4﹣2t． 解得t=． ∴当t=s时，线段EF和BC平行． （2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切． 作OM⊥EF于点M，ON∥CF交EF于点N，KF∥BC交AB于点K，如图2．则 OM=1，BE=t，CF=4﹣2t，EK=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，ON=[t+（4﹣2t）]=2﹣t． 在Rt△OMN中，MN2=ON2﹣OM2=4t2﹣8t+3． ∵△OMN∽△FKE，∴， 将有关数据代入上式并整理，得2t2﹣4t+1=0 解得t=． ∵1＜t＜2，∴t=． ∴当t=s时，线段EF与半圆相切． （3）当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化． 证明：设1≤t＜2时，E、F出发后运动了t秒时，EF位置如图 则BE=t，AE=2﹣t，CF=4﹣2t ∴ 又∵AB∥DC∴△AEP∽△CFP ∴，即点P的位置与t的取值无关． ∴当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP：PC的值为． 变式题答案： （1）如图（1），当F点在CD的延长线上，过E作EH⊥DC，交DC于F点，易证EB=EM=x，MF=FC=FD+DC=y+2， 在Rt△EHF中，由勾股定理得EH2+FH2=EF2， 即22+（y+2﹣x）2=（x+2+y）2， 整理得xy+2x﹣1=0， ∴ ∵1﹣2x＞0 ∴ ∴点F在DC上的函数关系式为（） 如图（2），当E点重合于D点时，即FD=y=0，易求出EM=EB=HC=x，DM=DC=2， ∴DH=DC﹣HC=2﹣x， 即在Rt△EHD中，ED2=EH2+HD2， ∴（x+2）2=22+（2﹣x）2， 解得， 如图（3），当F点在DC上，在Rt△EHF中， 由勾股定理得EH2+FH2=EF2， 即22+（y﹣2+x）2=（x+2﹣y）2， 整理得xy=2x﹣1， ∴， ∵2x﹣1＞0， ∴， ∴点F在DC上的函数关系式为（）； （2）如图（3），假设EF把正方形周长分成相等两部分，即EA+AD+DF=EB+BC+CF， ∴2﹣x+2+y=x+2+2﹣y整理得x=y 由上面可知，=x，解得x=1， ∴存在切线EF，把正方形的周长分成相等的两部分，此时x=1．
5．已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD、BE．
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形．
△OAD∽△CDB ， △ADB∽△ECB ；
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点．
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示） （1，﹣4a） ；
②求抛物线的解析式；
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；（4分） （2）①（1，﹣4a）（5分） ②∵△OAD∽△CDB ∴（6分） ∵ax2﹣2ax﹣3a=0，可得A（3，0）（8分） 又∵OC=﹣4a，OD=﹣3a，CD=﹣a，CB=1， ∴ ∴a2=1， ∵a＜0， ∴a=﹣1； 故抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3（10分） ③存在，（11分） 设P（x，﹣x2+2x+3） ∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形 ∴PN=AN 当x＜0（x＜﹣1）时，﹣x+3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=﹣2，x2=3（舍去）， ∴P（﹣2，﹣5）（13分） 当x＞0（x＞3）时，x﹣3=﹣（﹣x2+2x+3），x1=0，x2=3；（都不合题意舍去） 符合条件的点P为（﹣2，﹣5）．（14分）
6．如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（4，4），且抛物线经过原点，和x轴相交于另一点B，以AB为一边在直线AB的右侧画正方形ABCD．
（1）求抛物线的解析式和点C、D的坐标；
（2）能否将此抛物线沿着直线x=4平移，使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D若能，写出平移后抛物线的解析式；若不能，请说明理由；
（3）若以点A（4，4）为圆心，r为半径画圆，请你探究：
①当r= 2 时，⊙A上有且只有一个点到直线BD的距离等于2；
②当r= 6 时，⊙A上有且只有三个点到直线BD的距离等于2；
③随着r的变化，⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数也随着变化，请根据⊙A上到直线BD的距离等于2的点的个数，讨论相应的r的值或取值范围．
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2+4， 则有：a（0﹣4）2+4=0， 解得a=﹣． ∴y=﹣（x﹣4）2+4． 根据A（4，4）可知，∠AOB=45° ∵AO=AB， ∴△AOB为等腰直角三角形． ∴∠OAB=90°，即O、A、D三点共线， 因此直线BD∥y轴，直线AC∥x轴， 则有：C（12，4）D（8，8）． （2）设平移后的抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2+4+h（h＞0）， 将C点坐标代入有：4=﹣（12﹣4）2+4+h， 解得h=16 ∴平移后抛物线的解析式为y=﹣（x﹣4）2+20 当x=8时，y=12≠8， 因此不能使平移后的抛物线恰好经过正方形ABCD的另两个顶点C、D． （3）①2；②6； ③当0＜r＜2时0个；当r=2时1个；当2＜r＜6时2个；当r=6时3个；当r＞6时4个．
7．如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线y=x2+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得△FBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得△ABP与△DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）∵OA=，AD=AC=2， ∴C（3，0） 又在Rt△AOD中，OA= ∴OD==3， ∴D（O，﹣3）， 又∵D，C两点在抛物线上， ∴c=﹣3， ∴b=﹣， ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3； （2）∵y=x2﹣x﹣3=（x﹣）2﹣4； ∴抛物线的对称轴方程为：x=， ∵BD的长为定值，∴要使△FBD周长最小，只需FB+FD最小， 连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点， 设直线DC的解析式为y=mx+n， 有n=﹣3，得：m=， ∴直线DC的解析式为y=x﹣3， 由y=x﹣3，得x=， ∴y=﹣2， ∴F的坐标为（，﹣2）； （3）存在， 设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，M在抛物线上， 要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM， ①当点M在对称轴的左侧时，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x，t），由BC=QM得QM=4，从而x=﹣3，t=12；故在抛物线上存在点M1（﹣3，12）使得四边形BCQM为平行四边形； ②同理可知当点M在对称轴的右侧时，在抛物线上存在M2（5，12）使得四边形BCQM为平行四边形； ③当点M在对称轴上时，在抛物线上存在M3（，﹣4）使得四边形BMCQ为平行四边形； （4）由（1）得B（﹣，0），BD=2，DC=6，AB=2 ∵BC为圆的直径，∴△BDC是直角三角形， ∴在Rt△BDC和Rt△PAB中 当，△BDC∽△P1AB，∴AP1==6，∴P1（，6） 当，△BDC∽△P2AB，∴AP2==2，∴P2（，2） 根据对称性可得P3（，﹣6）．P4（，﹣2）． ∴点P的坐标为P1（，6），P2（，2），P3（，﹣6）．P4（，﹣2）．
8．已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心，O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．
（1）求证：∠APO=∠BPO；
（2）求证：EF是⊙O2的切线；
（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．
解：（1）连接O2F． ∵O2P=O2F，O1P=O1B， ∴∠O2PF=∠O2FP，∠O1PB=∠O1BP， ∴∠O2FP=∠O1BP． ∴O2F∥O1B， 得∠OO2F=90°， ∴∠OPB=∠OO2F=45°． 又∵AB为直径， ∴∠APB=90°， ∴∠APO=∠BPO=45°． （2）延长ED交⊙O1于点H，连接PE． ∵BO为切线， ∴BO2=BF BP． 又∵BE=BO， ∴BE2=BF BP． 而∠PBE=∠EBF， ∴△PBE∽△EBF， ∴∠BEF=∠BPE， ∴BE=BH，有AB⊥ED． 又由（1）知O2F∥O1B， ∴O2F⊥DE， ∴EF为⊙O2的切线． （3）MN的长度不变． 过N作⊙O3的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO1N=∠EO1D， 且∠NMK=∠EDO1=90°， 又∵NK=O1E， ∴△NKM≌△EDO1， ∴MN=ED． 而OO1=4，OO2=3， ∴O1O2=5， ∴O1A=8．即AB=16， ∵EF与圆O2相切， ∴O2F⊥ED， 则四边形OO2FD为矩形， ∴O2F=OD，又圆O2的半径O2F=3， ∴OD=3， ∴AD=7，BD=9． ED2=AD BD， ∴ED=3． 故MN的长度不会发生变化，其长度为．
9．如图：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线y=kx+8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DE⊥x轴，E为垂足，E点的横坐标为2．
（1）求直线CD的解析式；
（2）若点P为x轴上一点，P点的坐标为（t，0），过P作x轴的垂线，交直线AB于点Q，边Q点作x轴的平行线交直线CD于点M，设线段QM的长为y，当﹣6＜t＜2时，求y与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点．
解：（1）如图，∵， ∴当x=2时，y=4， ∴D（2，4）， 把D（2，4）代入y=kx+8中，得 4=2k+8， 解得，k=﹣2， 故直线CD的解析式为y=﹣2x+8； （2）∵P点的坐标为（t，0）， ∴Q点的坐标为（t，t+3）， ∵QM∥x轴， ∴M点的纵坐标为t+3， ∴M点的横坐标为﹣t+， ∴y=﹣t+﹣t，即y=﹣t+； （3）由直线AB、CD的解析式得：OB=3 OA=6 OC=4 ∵D（2，4） ∴CE=2 DE=4 如图1，tan∠BAO=tan∠CDE= ∴∠BAO=∠CDE ∴∠ADC=∠ADE+∠BAO=90° 设过P、Q、M的三点的圆为⊙O′ ∵PQM为直角三角形 ∴PM为直径 设⊙O′与x轴交于H，MH⊥AC，四边形PQMH为矩形 如图2，当⊙O′与直线CD相切时PM⊥CD ∴∠ADC=∠PMC=90° ∴PM∥AB 又∵QM∥AC ∴四边形AQMP为平行四边形 ∴AP=QM 即：﹣t+=t+6 得：t=﹣ ∵QA=MP=QH ∴∠O′QD=2∠QAC ∵∠QAC≠45° ∴∠O′QD≠90°， 过O′作O′N⊥AD于N 则O′Q＞O′N ∴⊙O′与直线AB相交 ∴此时⊙O′与直线AB和直线CD这两条直线只有三个公共点． 如图3，当⊙O′与直线AB相切时， 同理可得四边形QMCH为平行四边形，QM=CH=PH ∴AP+2QM=10 即t+6+2（﹣t+）=10 解得：t= 同理，过O′作O′T⊥CD于T， 则O′Q=O′M＞OT ∴此时⊙O′与直线CD相交， ∴当t=时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点； 若⊙O′经过点D， ∵PM是直径， ∴∠PDM=90°， ∵﹣6＜t＜2 ∴PDM＜90°（不符合题意） ∴⊙O′不经过点D， 综上所述：t=或t=时，过P、Q、M三点的圆与直线AB和直线CD这两天直线只有三个公共点．
10．已知，如图，点M在x轴上，以点M为圆心，2.5长为半径的圆交y轴于A、B两点，交x轴于C（x1，0）、D（x2，0）两点，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的两根．
（1）求点C、D及点M的坐标；
（2）若直线y=kx+b切⊙M于点A，交x轴于P，求PA的长；
（3）⊙M上是否存在这样的点Q，使点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点的坐标，并求出过A、C、Q三点的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4=0， 解得x1=﹣1，x2=4， ∴点C、D的坐标是C（﹣1，0），D（4，0）， =1.5， ∴点M的坐标是（1.5，0）， 故答案为：C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）； （2）如图，连接AM，则AM=2.5， 在Rt△AOM中，AO===2， ∴点A的坐标是（0，2）， ∵PA与⊙M相切， ∴AM⊥PA， ∴∠MAO+∠PAO=90°， 又∵∠AMO+∠MAO， ∴∠AMO=∠PAO， 在△AOM与△POA中，， ∴△AOM∽△POA， ∴=， 即=， 解得PA=； （3）存在． 如图，连接AC、AD， ∴∠CAD=90°， 在△ACO与△DCA中，， ∴△ACO∽△DCA， ∴存在点Q，与点D重合时，点Q、A、C三点构成的三角形与△AOC相似， 此时，设过点A、C、Q的抛物线是y=ax2+bx+c， 则， 解得， ∴过A、C、Q三点的抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．
11．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交⊙O于点F．
（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？
（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．
小明按下面的方法作出了∠MON的平分线：
①反向延长射线OM；
②以点O为圆心，任意长为半径作圆，分别交∠MON的两边于点A、B，交射线OM的反向延长线于点C；
③连接CB；
④以O为顶点，OA为一边作∠AOP=∠OCB．
（1）根据上述作图，射线OP是∠MON的平分线吗？并说明理由．
（2）若过点A作⊙O的切线交射线OP于点F，连接AB交OP于点E，当∠MON=60°、OF=10时，求AE的长．
解：（1）连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵BD=CD， ∴AB=AC； （2）连接AD． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∴∠B＜∠ADB=90° ∠C＜∠ADB=90° ∴∠B、∠C为锐角， ∵AC和⊙O交于点F，连接BF， ∴∠A＜∠BFC=90° ∴△ABC为锐角三角形； ①∵∠AOF=∠OCB 又∵∠BOA=2∠OCB ∴∠AOF=∠BOF ∴OP为∠BOA的角平分线 ②∵∠MON=60° ∴△AOB为正三角形 ∵OP平分∠MON ∴AE=BE=AB ∵OP平分∠BOD ∴∠BOF=30° 又∵AF与⊙O相切 ∴AF⊥AO ∵AO=5 ∴AB=AO=5 ∴AE=．
12．已知如图，过O且半径为5的⊙P交x的正半轴于点M（2m，0）、交y轴的负半轴于点D，弧OBM与弧OAM关于x轴对称，其中A、B、C是过点P且垂直于x轴的直线与两弧及圆的交点．
（1）当m=4时，
①填空：B的坐标为 （4，﹣2） ，C的坐标为 （4，﹣8） ，D的坐标为 （0，﹣6） ；
②若以B为顶点且过D的抛物线交⊙P于点E，求此抛物线的函数关系式和写出点E的坐标；
③除D点外，直线AD与②中的抛物线有无其它公共点并说明理由．
（2）是否存在实数m，使得以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
解： （1）①B（4，﹣2）C（4，﹣8）D（0，﹣6） ②设抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣2，已知抛物线过D点， 因此﹣6=a（x﹣4）2﹣2， 解得a=﹣． 抛物线的函数关系式为：y=﹣（x﹣4）2﹣2． 根据对称可知：E（8，﹣6） ③直线AD：y=2x﹣6， 把y=2x﹣6代入y=﹣（x﹣4）2﹣2， 整理得：x2=0，得x1=x2=0 ∴除D点外，直线AD与②中的抛物线无其它公共点． （2）设A（m，h），则B的坐标为（m，﹣h），C的坐标为（m，h﹣10）． 假设以B、C、D、E为顶点的四边形组成菱形，则DE与BC互相垂直平分， 设DE与BC相交于点F，于是BF=CF=AB． ∴10﹣3h=h， 即h= ∴AB=5 ∴B、P两点重合 ∴OB=m===．
13．已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm2）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？
解：（1）连接OD，DF． ∵AC切⊙O于点D， ∴OD⊥AC． 在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t， ∴OD=OF=t，AD=OA cosA=． 又∵∠FOD=90°﹣30°=60°， ∴∠AED=30°，∴AD=ED=． ∵DE⊥EG， ∴∠BEG=60°， △BEG与△DEG相似． ∵∠B=∠GED=90°， ①当∠EGD=30°， CE=2BE=2（6﹣）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合， DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t， ∵△BEG∽△DEC， ∴=， ∴=， t=； ②当∠EGD=60°． ∴DG⊥BC，DG∥AB． 在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=， ∴DG=t． 在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6， ∴AC=12，AB=6， ∴CD=12﹣． ∵DG∥AB， ∴解得t=． 答：当t为或时，△BEG与△EGD相似； （2）∵AC切⊙O于点D， ∴OD⊥AC． 在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t， ∴∠AED=30°，∴DE⊥EG， ∴∠BEG=60°． 在Rt△BC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6， ∴AB=6，BE=6﹣t． Rt△BEG中，∠BEG=60°， ∴BG=BE tan60°=18﹣t． 当0≤18﹣t≤6，即≤t≤4时，点G在线段BC上； 当18﹣t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上； （3）过点D作DM⊥AB于M． 在Rt△ADM中，∠A=30°， ∴DM=AD=t． ∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG =36﹣t2﹣27t =﹣（t﹣）2+（＜t＜4）． 所以当t=时，s取得最大值，最大值为．
14．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0）、B（6，）、C（0，），有两点P、Q同时从A点出发分别作匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两个点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两点从A点出发运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值？
（2）若⊙B的半径为1，t为何值时以PQ为半径的⊙P既与⊙B相切又与AD相切？
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能求出t的值或t的取值范围，若不可能请说明理由．
解：（1）作BM⊥AD于M； ∵B（6，）， ∴DM=6，BM=； ∵A（8，0）， ∴AM=8﹣6=2， ∴AB==4， ∴P点到达终点的时间为：t=（BC+AB）÷2=5秒， 此时Q在距A点5个单位处， ∴P点先到达，此时t=5秒； （2）∵由（1）可知∠BAM=30°； ∵AP：AQ=2：1， ∴PQ∥BM， ∴△PMA为直角三角形； ∵AB=4， ∴PQ=t，AP=2t，BP=4﹣2t， ∴t±1=4﹣2t，（5分） t=3（2﹣）（7分）或t=5（2﹣）；（8分） （3）t=时，以PQ为直径的圆能与CD相切，（9分） 设PQ的中点为M，过M作MN⊥y轴于N，过P点作PH⊥x轴于H； 依题意得：CP+OQ=2MN 10﹣2t+8﹣t=PQ 即（18﹣3t）2=PQ2=（2）2+[（8﹣t）﹣（10﹣2t）]2， 化简得：2t2﹣26t+77=0，（10分） t=或， 又t≤5，故取t=．（12分）
15．如图，已知抛物线m的解析式为y=x2﹣4，与x轴交于A、C两点，B是抛物线m上的动点（B不与A、C重合），且B在x轴的下方，抛物线n与抛物线m关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D．
（1）求证：点D一定在抛物线n上．
（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．
（1）证明：设n的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵n与x轴的交点为A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，﹣4），m与n关于x轴对称， ∴m过A（﹣2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）， ∴ ∴a=﹣1，b=0，c=4， 即n的解析式为y=﹣x2+4， 设点B（m，n）为m：y=x2﹣4上任意一点，则n=m2﹣4， ∵四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称， ∴B、D关于原点O对称， ∴点D的坐标为D（﹣m，﹣n）． 由式方程式可知，﹣n=﹣（m2﹣4）=﹣（﹣m）2+4， 即点D的坐标满足y=﹣x2+4， ∴点D在n上． （2）解： ABCD能为矩形． 过点B作BH⊥x轴于H，由点B在m：y=x2﹣4上，可设点B的坐标为（x0，x02﹣4）， 则OH=|x0|，BH=|x02﹣4|． 易知，当且仅当BO=AO=2时， ABCD为矩形． 在Rt△OBH中，由勾股定理得，|x0|2+|x02﹣4|2=22， （x02﹣4）（x02﹣3）=0， ∴x0=±2（舍去）、x0=±．（7分） 所以，当点B坐标为B（ ，﹣1）或B′（﹣，﹣1）时， ABCD为矩形， 此时，点D的坐标分别是D（﹣，1）、D′（ ，1）． 因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′． （3）解：设直线AB与y轴交于E，显然，△AOE∽△AHB， ∴=， ∴． ∴EO=4﹣2 ． 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为 S=2S△ACE=2××AC×EO=2××4×（4﹣2 ）=16﹣8 ．
16．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．P从A开始在线段AO上以3单位/秒的速度移动，Q从OB的中点C开始在线段CO上以1单位/秒的速度移动，当其中一个点到达原点O时，另一点也随即停止运动．圆心移动时，圆也跟着移动．设点P和点Q运动的时间为t（秒）．如图2，当时，设四边形APQB的面积为s．
（1）求s与t的函数关系式；
（2）如图3，当⊙P和⊙Q外切时，求s的值；
（3）在运动的过程中，是否存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1）依题意，得AP=3t，CQ=t． ∵点A的坐标为（0，10），点B的坐标为（10，0），OB的中点C， ∴OP=OA﹣AP=10﹣3t， OQ=OC﹣CQ=OB﹣CQ =×10﹣t =5﹣t， ∴S四边形APQB=S△OAB﹣S△OPQ=OA OB﹣OP OQ =×10×10﹣（10﹣3t）（5﹣t）， ∴S四边形APQB=． （2）当⊙P和⊙Q外切时，PQ=4+1=5． 在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2， ∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=25， ∴t=2或t=5（舍去）， 当t=2时， s= =44， 当⊙P和⊙Q外切时，s=44． （3）在运动的过程中，存在某一时刻，⊙P和⊙Q内切． 当⊙P和⊙Q内切时，PQ=4﹣1=3． 在Rt△OPQ中，OP2+OQ2=PQ2， ∴（10﹣3t）2+（5﹣t）2=9， 解得t=， ∴点P的坐标为（0，）．
17．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），顶点C（1，﹣3），与x轴交于A，B两点，A（﹣1，0）．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A，D，B，E，点P为线段AB上一个动点（P与A，B两点不重合），过点P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，请判断是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FG⊥EP，FG分别与边AE，BE相交于点F，G（F与A，E不重合，G与E，B不重合），请判断是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣3（1分） 将A（﹣1，0）代入：0=a（﹣1﹣1）2﹣3， 解得a=（2分） 所以，抛物线的解析式为y=（x﹣1）2﹣3，即y=x2﹣x﹣（3分） （2）是定值，=1（4分） ∵AB为直径， ∴∠AEB=90°， ∵PM⊥AE， ∴PM∥BE， ∴△APM∽△ABE， 所以① 同理：②（5分） ①+②：（6分） （3）∵直线EC为抛物线对称轴， ∴EC垂直平分AB， ∴EA=EB， ∵∠AEB=90°， ∴△AEB为等腰直角三角形， ∴∠EAB=∠EBA=45°（7分） 如图，过点P作PH⊥BE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形． ∴PH=ME且PH∥ME． 在△APM和△PBH中， ∵∠AMP=∠PHB=90°，∠EAB=∠BPH=45°， ∴PH=BH，且△APM∽△PBH， ∴， ∴①（8分） 在△MEP和△EGF中， ∵PE⊥FG， ∴∠FGE+∠SEG=90°， ∵∠MEP+∠SEG=90°， ∴∠FGE=∠MEP， ∵∠PME=∠FEG=90°， ∴△MEP∽△EGF， ∴② 由①、②知：（9分）（本题若按分类证明，只要合理，可给满分）
18．请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA PB=PC PD．请你根据以上材料，解决下列问题．
已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作﹣弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（2）若OP⊥AC，请你在图4中画出符合题意的图形，并计算：的值；
（3）若AC是过点P的任一弦（图2），请你结合（1）（2）的结论，猜想：的值，并给出证明．
解：（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C， ∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C． ∴Q与A重合，R与C重合． ∵OP=1，AC=4， ∴+=1+=． （2）连接OA， ∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2， ∴∠OAP=30°． ∴AP=． ∵OA⊥直线m，PQ⊥直线m， ∴OA∥PQ，∠PQA=90°． ∴∠APQ=∠OAP=30°． ∴AP=． ∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m， ∴OA∥PQ，∠PQA=90°． ∴∠APQ=∠OAP=30°． 在Rt△AQP中，PQ=，同理，PR=， ∴． （3）猜想． 证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC， ∴∠ECA=90°． ∵AE⊥直线m，PQ⊥直线， ∴AE∥PQ且∠PQA=90°． ∴∠EAC=∠APQ． ∴△AEC∽△PAQ． ∴① 同理可得：② ①+②，得： +=+ ∴=（） = =． 过P作直径交⊙O于M，N， 根据阅读材料可知：AP PC=PM PN=3， ∴=．
19．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D．
（1）当点E为DB上任意一点（点D、B除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，AF与CD的延长线交于点G（如图①）．
求证：AC2=AG AF．
（2）李明证明（1）的结论后，又作了以下探究：当点E为AD上任意一点（点A、D除外）时，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF并延长与CD的延长线在圆外交于点G，CG与⊙O相交于点H（如图②）．连接FH后，他惊奇地发现∠GFH=∠AFC．根据这一条件，可证GF GA=GH GC．请你帮李明给出证明．
（3）当点E为AB的延长线上或反向延长线上任意一点（点A、B除外）时，如图③、④所示，还有许多结论成立．请你根据图③或图④再写出两个类似问题（1）、（2）的结论（两角、两弧、两线段相等或不相等的关系除外）（不要求证明）．
考点： 相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．1082614
（1）证明：延长CG交⊙O于H， ∵CD⊥AB， ∴AB平分CH，弧CA=弧AH， ∴∠ACH=∠AFC， 又∠CAG=∠FAC， ∴△AGC∽△ACF， ∴=， 即AC2=AG AF． （2）证明：∵CH⊥AB， ∴弧AC=弧AH， ∴∠AFC=∠ACG 又∠AFC=∠GFH， ∴∠ACG=∠GFH， 又∠G=∠G， ∴△GFH∽△GCA， ∴=， ∴GF GA=GC CH． （3）答：CD2=AD DB，AC2=AD AB；EF EC=EA EB，AF GA=AD AB．
20．如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a．另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF∥BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q．
（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行证明；
（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置．
（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？
解：（1）可知四边形APDQ为平行四边形 证明：由题知△ABC≌△DEF且△ABC △DEF为等边三角形 ∴∠BAC=∠EDF=60° 又∵EF∥BC，MN∥BC ∴EF∥BC∥MN ∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60° ∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60° ∴△DQN为等边三角形 ∴∠DQN=∠PDQ=60°， ∴PD∥AQ ∴∠BAC=∠DQN=60°， ∴AP∥DQ ∴四边形APDQ为平行四边形． （2）y=x（a﹣x）=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+a2 ∴当x取时，即D点位于MN的中点位置时，四边形APDQ的面积最大，且最大值为a2． （3）当D点和圆心O重合时，四边形APDQ为菱形， 理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON为等边三角形，且MO=ON， 所以△MPQ≌△QON． 因此OP=OQ，又因为四边形APDQ为平行四边形． 所以可知四边形APDQ为菱形， 由题可知，S△ABC=a2，而由（2）知S四边形APDQ=a2 ∴， ∴S四边形APDQ=S△ABC．
21．如图，已知一次函数y=x+2的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，圆O1过以OB为边长的正方形OBCD的四个顶点，两动点P、Q同时从点A出发在四边形ABCD上运动，其中动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动后停止，动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，AO1交于y轴于E点，P、Q点运动的时间为t（秒）
（1）点E的坐标是 （0，） ；
（2）三角形ABE的面积是 ；
（3）当Q点运动在线段AD上时，是否存在某一时刻t（秒），使得S△APQ：S△ABE=3：4？若存在，请确定t的值和直线PQ所对应的函数解析式；若不存在，请说明理由？
解：（1）对于y=x=2，令x=0，则y=2；令y=0，则x+2=0，解得x=﹣2 ∴A点坐标为（﹣2，0），B点坐标为（0，2）， ∵正方形OBCD是OB为边长的正方形， ∴O1的坐标为（1，1） 设直线O1A的解析式为y=kx+b， 把A（﹣2，0），O1（1，1）分别代入得，解得， ∴直线O1A的解析式为y=x+， 令x=0，则y=， ∴点E坐标为（0，）； （2）S△ABE=BE OA=×（2﹣）×2=； 故答案为（0，）；； （3）存在．理由如下： ∵OA=OB=2，AD=4， ∴△OAB为等腰直角三角形，则AB=OB=2， ∵动点Q以每秒2个单位长度的速度沿A→O→D→C→B运动，动点P以每秒个单位长度的速度沿A→B→C运动，而Q点运动在线段AD上时， ∴0≤t≤2，此时点P在AB上， 过点P作PF⊥AD于点F，如图， ∵S△APQ：S△ABE=3：4， ∴S△APQ=S△ABE=×=1， ∵AP=t， ∴PF=AP=t， 而AQ=2t， ∴S△APQ=AQ PF=×2t×t=1， ∴t=1， ∴AQ=2t=2×1=2，PF=1， ∵AO=2， ∴点Q与点O重合，即点Q的坐标为（0，0），OF=1， ∴点P坐标为（﹣1，1） 设直线PQ的解析式为y=mx， 把P（﹣1，1）代入得1=﹣m，即m=﹣1， ∴直线PQ的解析式是y=﹣x．
22．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A的半径长为2，⊙B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．
（1）若PC=PD，求PB的长．
（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？如果存在，问这样的P点有几个并求出PB的值；如果不存在，说明理由．
（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD．请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．
解：（1）∵PC切⊙A点于C， ∴PC⊥AC， PC2=PA2﹣AC2， 同理PD2=PB2﹣BD2， ∵PC=PD， ∴PA2﹣AC2=PB2﹣BD2 设PB=x，PA=4﹣x代入得x2﹣12=（4﹣x）2﹣22， 解得x=，1＜＜2， 即PB的长为（PA长为＞2）， （2）假定存在一点P使PC2+PD2=4，设PB=x， 则PD2=x2﹣1 PC2=（4﹣x）2﹣22， 代入条件得（4﹣x）2﹣22+x2﹣1=4， 代简得2x2﹣8x+7=0解得x=2±， ∵P在两圆间的圆外部分， ∴1＜PB＜2即1＜x＜2， ∴满足条件的P点只有一个，这时PB=2﹣， （3）当PC：PD=2：1或PB=时，也有△PCA∽△PDB， 这时，在△PCA与△PDB中或， ∠C=∠D=90°， ∴△PCA∽△PDB， ∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延长线上）， ∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等， ∵⊙B与PD相切， ∴⊙B也与CP的延长线PE相切．
23．已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（x1，0），D（x2，0）（x1＞x2）两点，并且AD=1，又经过点B（4，1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=x2+bx+c的函数关系式；
（2）求点A及点C的坐标；
（3）如图1，连接AB，在题1中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
解：（1）令y=0，则x2+bx+c=0，即x2+2bx+2c=0， 根据根与系数的关系，x1+x2=﹣2b，x1 x2=2c， AD===1， 整理得，4b2﹣8c﹣1=0①， 又∵点B（4，1）在抛物线上， ∴8+4b+c=1， 整理得，c=﹣4b﹣7②， 把②代入①得，4b2+32b+55=0， 解得b1=﹣，b2=﹣， 由图可知，抛物线x=﹣＜4， 所以，b＞﹣4， ∴b=﹣， 把b=﹣代入②得，c=﹣4×（﹣）﹣7=10﹣7=3， 所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3； （2）令x=0，则x2﹣x+3=0， 整理得，x2﹣5x+6=0， 解得x1=3，x2=2， ∵点A在点D的右边， ∴点A的坐标为（3，0）， 令x=0，则y=3， 所以，点C的坐标为（0，3）； （3）假设存在，分两种情况：如图1，①过点B作BH⊥x轴于点H， ∵A（3，0），C（0，3），B（4，1）， ∴∠OCA=45°，∠BAH=45°， ∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°， ∴△ABC是直角三角形， 点C（0，3）符合条件， 所以，P1（0，3）； ②当∠ABP=90°时，过点B作BP∥AC交抛物线于点P， ∵A（3，0），C（0，3）， ∴直线AC的解析式为y=﹣x+3， 设直线BP的解析式为y=﹣x+b， 则﹣4+b=1， 解得b=5， ∴直线BP：y=﹣x+5， 联立， 解得，， 又∵点B（4，1）， ∴点P的坐标为（﹣1，6）， 综上所述，存在点P1（0，3），P2（﹣1，6）； （4）如图2，∵A（3，0），C（0，3），B（4，1）， ∴∠OAE=45°，∠OAF=∠BAH=45°， 又∵∠OFE=∠OAE，∠OEF=∠OAF， ∴∠OEF=∠OFE=45°， ∴OE=OF，∠EOF=180°﹣45°×2=90°， ∵点E在直线AC上：y=﹣x+3， ∴设点E（x，﹣x+3）， 根据勾股定理，OE2=x2+（﹣x+3）2， =2x2﹣6x+9， 所以，S△OEF=OE OF=OE2=x2﹣3x+=（x﹣）2+， 所以，当x=时，S△OEF取最小值， 此时﹣x+3=﹣+3=， 所以，点E的坐标（，）．
24．关于图形变化的探讨：
（1）①例题1．如图1，AB是⊙O的直径，直线l与⊙O有一个公共点C，过A、B分别作l的垂线，垂足为E、F，则EC=CF．
②上题中，当直线l向上平行移动时，与⊙O有了两个交点C1、C2，其它条件不变，如图2，经过推证，我们会得到与原题相应的结论：EC1=C2F．
③把直线1继续向上平行移动，使弦C1C2与AB交于点P（P不与A，B重合）．在其它条件不变的情况下，请你在图3的圆中将变化后的图形画出来，标好对应的字母，并写出与①②相应的结论等式．判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论 EC1=C2F ．证明结论成立或说明不成立的理由
（2）①例题2．如图4，BC是⊙O的直径．直线1是过C点的切线．N是⊙O上一点，直线BN交1于点M．过N点的切线交1于点P，则PM2=PC2．
②把例题2中的直线1向上平行移动，使之与⊙O相交，且与直线BN交于B、N两点之间．其它条件仍然不变，请你利用图5的圆把变化后的图形画出来，标好相应的字母，并写出与①相应的结论等积式，判断你写的结论是否成立，若不成立，说明理由，若成立，给以证明．结论 PM2=PC1 PC2 ．证明结论成立或说明不成立的理由：
（3）总结：请你通过（1）、（2）的事实，用简练的语言，总结出某些几何图形的一个变化规律 在某些几何图形中，平行移动某条直线，有些几何关系保持不变． ．
解：（1）结论为EC1=C2F． 证明：过O作OM⊥C1C2于M， 则AE∥OM∥BF， ∵AO=OB，根据平行截割定理，得EM=MF， 又∵C1O=OC2， ∴EC1=C2F； （2）结论为PM2=PC1 PC2． 证明：连接ON， ∵PN是切线，O是圆心， ∴∠MNP+∠ONB=90°． 又∠ONB=∠B，BC⊥l， ∴∠NMP+∠B=∠BMC3+∠B=90°， ∴∠MNP=∠NMP， ∴PM=PN． 由PM=PN， 由切割线定理得 PN2=PC1 PC2， ∴PM2=PC1 PC2． （3）在某些几何图形中，平行移动某条直线，有些几何关系保持不变．
25．如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（3，0）、B（0，4）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；
（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H（如图2），问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH﹣PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得：， 解得：． ∴抛物线解析式为y=x2﹣x+4； （2）令y=0，得x2﹣x+4=0． 解得：x1=1，x2=3． ∴C点坐标为（1，0）． 作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ=C'Q，则点C′， 就是点C关于直线AB的对称点． 由△ABC的面积得：CQ AB=CA BO， ∵AB==5，CA=2， ∴CQ=，CC'=． 作C'T⊥x轴，垂足为T， ∵∠C′CT+∠BAO=90°，∠C′CA+∠CC′T=90°， ∴∠BAO=∠CC′T， ∵∠BOA=∠CTC′， ∴△CTC'∽△BOA． ∴， ∴C'T=，CT= ∴OT=1+=， ∴C'点的坐标为（，）； （3）设⊙D的半径为r， 则AE=r+3，BF=4﹣r，HB=BF=4﹣r． ∵AB=5，且AE=AH， ∴r+3=5+4﹣r， ∴r=3． HB=4﹣3=1． 作HN⊥y轴，垂足为N， 则，， ∴HN=，BN=， ∴H点坐标为（，）． 根据抛物线的对称性，得PA=PC， ∵|PH﹣PA|=|PH﹣PC|≤HC， ∴当H、C、P三点共线时，|PH﹣PC|最大． ∵HC==， ∴|PH﹣PA|的最大值为．
26．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．
（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论；
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由；
（3）如图2，以OC为直径作圆，与直线DE分别交于点F、G，设AC=m，AF=n，用含n的代数式表示m．
解：（1）两个三角形全等． ∵△AOB、△CBD都是等边三角形， ∴OBA=∠CBD=60°， ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 即∠OBC=∠ABD； ∵OB=AB，BC=BD， △OBC≌△ABD； （2）点E位置不变． ∵△OBC≌△ABD， ∴∠BAD=∠BOC=60°， ∠OAE=180°﹣60°﹣60°=60°； 在Rt△EOA中，EO=OA tan60°=， 或∠AEO=30°，得AE=2， ∴OE= ∴点E的坐标为（0，）； （3）∵AC=m，AF=n，由相交弦定理知1 m=n AG，即AG=； 又∵OC是直径， ∴OE是圆的切线，OE2=EG EF， 在Rt△EOA中，AE==2， （）2=（2﹣）（2+n） 即2n2+n﹣2m﹣mn=0 解得m=．
27．如图，半圆O的直径AB=12cm，射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置，BP交半圆于E，设旋转时间为ts（0＜t＜15），
（1）求E点在圆弧上的运动速度（即每秒走过的弧长），结果保留π．
（2）设点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N．
求证：①CN∥AE；
②四边形CGFN为菱形；
③是否存在这样的t值，使BE2=CF CB？若存在，求t值；若不存在，说明理由．
（1）解：∵射线BM从与线段AB重合的位置起，以每秒6°的旋转速度绕B点按顺时针方向旋转至BP的位置， ∴B一秒P转动的圆心角为12°， ∴每秒走过的弧长为：=πcm∕s； （2）①证明：如图所示： ∵点C始终为的中点，过C作CD⊥AB于D，AE交CD、CB分别于G、F，过F作FN∥CD，过C作圆的切线交FN于N． ∴∠ACD+∠CAG=∠CGF，∠ABC=∠GAC=∠ACG， ∠MCA=∠ABC， ∴∠MCA+∠ACG=∠ACD+∠CAG， ∴CN∥AE； ②证明：∵FN∥CD，CN∥AE； ∴四边形CGFN是平行四边形， ∵∠GCF=90°﹣∠ACG， ∠CFG=∠EFB=90°﹣∠EBC， ∵∠EBC=∠ACD， ∴∠GCF=∠GFC， ∴CG=GF， ∴平行四边形CGFN为菱形； ③解：连接EO，CO． 存在，理由如下： ∵∠ACF=∠ACB， ∠CAF=∠CBA， ∴△ACF∽△BCA， ∴， ∴AC2=BC CF， ∵当t=10s时，∠AOC=∠AOE=60°， ∴∠BOE=60°， ∴△AOC，△BOE都是等边三角形，且此时全等， ∴AC=BE， ∴BE2=BC CF．
28．如图，⊙O′经过⊙O的圆心，E、F是两圆的交点，直线OO′交⊙O′于点P，交EF于点C，交⊙O于点Q，且EF=2，sin∠P=．
（1）求证：PE是⊙O的切线；
（2）求⊙O和⊙O′的半径的长；
（3）若点A在劣弧上运动（与点Q、F不重合），连接PA交劣弧于点B，连接BC并延长交⊙O于点G，设CG=x，PA=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（1）证明：连接OE， ∵OP是⊙O'的直径， ∴∠OEP=90°． ∴PE是⊙O的切线． （2）解：设⊙O、⊙O'的半径分别为r，r' ∵⊙O与⊙O'交于E、F， ∴EF⊥OO'，EC=EF=． ∴在Rt△EOC、Rt△POE中，∠OEC=∠OPE． ∴sin∠OEC=sin∠OPE=． ∴sin∠OEC=． 即OC=r， ∴，解得r=4． Rt△OPE中，sin∠OPE= ∴r'=8． （3）解：连接OF， ∵∠OEP=90°，CE⊥OP， ∴PE2=PC PO． 又∵PE是⊙O的切线， ∴PE2=PB PA． ∴PC PO=PB PA． 即， 又∵∠CPB=∠APO， ∴△CPB∽△APO． ∴． ∴． 由相交弦定理，得BC CG=CF CE． ∴． ∴PA=4CG． 即y=4x（）．
29．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，点D是BC中点，AD=AC，BC=4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，
（1）求弦AD的长；
（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？
（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
解：（1）∵∠BAC=90°，点D是BC中点，BC=4， ∴AD=BC=2； （2）连DE、ME，如图，∵DM＞DE， 当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰， ∴OE⊥DM， 又∵AD=AC， ∴△ADC为等边三角形， ∴∠CAD=60°， ∴∠DAO=30°， ∴∠DON=60°， 在Rt△ADN中，DN=AD=， 在Rt△ODN中，ON=DN=1， ∴当ON等于1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形； 当MD=ME，DE为底边，如图3，作DH⊥AE， ∵AD=2，∠DAE=30°， ∴DH=，∠DEA=60°，DE=2， ∴△ODE为等边三角形， ∴OE=DE=2，OH=1， ∵∠M=∠DAE=30°， 而MD=ME， ∴∠MDE=75°， ∴∠ADM=90°﹣75°=15°， ∴∠DNO=45°， ∴△NDH为等腰直角三角形， ∴NH=DH=， ∴ON=﹣1； 综上所述，当ON等于1或﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形； （3）当⊙O变动时DP﹣DQ的值不变，DP﹣DQ=2．理由如下： 连AP、AQ，如图2， ∵∠C=∠CAD=60°， 而DP⊥AB， ∴AC∥DP， ∴∠PDB=∠C=60°， 又∵∠PAQ=∠PDB， ∴∠PAQ=60°， ∴∠CAQ=∠PAD， ∵AC=AD，∠AQC=∠P， ∴△AQC≌△APD， ∴DP=CQ， ∴DP﹣DQ=CQ﹣DQ=CD=2．