湖南省岳阳市岳阳县2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题（含答案）

岳阳县2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知集合A＝{x|x2+x﹣6＞0}，B＝{x|0＜x＜6}，则（ RA）∩B＝（　　）
A．[﹣3，2] B．（0，2] C．[0，2） D．（﹣2，6）
2．下列四个函数中，以π为最小周期，且在区间上单调递减的是（　　）
A．y＝|sinx| B．y＝cosx C．y＝tanx D．
3．已知向量、不共线，且，若与共线，则实数x的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．﹣1或
4．如图所示，已知正方形ABCD的边长为，，则向量的模为（　　）
A． B．2 C． D．4
5．若x，y∈R，则“lnx2＞2lny”是“x＞y”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把（1+1%）365看作是经过365天的“进步值”，（1﹣1%）365看作是经过365天的“退步值”，则经过300天时，“进步值”大约是“退步值”的（　　）（参考数据：lg101≈2.0043，lg99≈1.9956，100.87≈7.41）
A．22倍 B．55倍 C．217倍 D．407倍
7．已知函数的零点分别a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
8．函数，若f（x1） f（x2）＝﹣3，则|2x1﹣x2|的最小值是（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．已知函数f（x）＝|lnx|，0＜a＜b，且f（a）＝f（b），下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．ab＞1
D．（a+1）2+（b+1）2的最小值为8
（多选）10．已知，下列关系可能成立的有（　　）
A．α＜β B．α＞3β C．α+β＜π D．α+β＞π
（多选）11．设，则下列选项正确的是（　　）
A．[f（x）]2+[g（x）]2＝1
B．f（2x）＝2f（x）g（x）
C．g（2x）＝[g（x）]2﹣[f（x）]2
D．f（x﹣y）＝f（x）g（y）﹣g（x）f（y）
（多选）12．声音是由物体振动产生的声波．我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数y＝Asinwt．音有四要素：音调、响度、音长和音色，它们都与函数y＝Asinwt中的参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利．像我们平时听到乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音．我们听到的声音函数是y＝sinx+sin2x+sin3x+sin4x+…．结合上述材料及所学知识，你认为下列说法中正确的有（　　）
A．函数不具有奇偶性
B．函数在区间上单调递增
C．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲的响度一定比纯音响度大
D．若某声音甲对应函数近似为，则声音甲一定比纯音更低沉
三．填空题（共4小题每题5分，共20分）
13．已知向量满足，则与的夹角为 　 　．
14．函数f（x）＝x2﹣4x+5在[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是　 　．
15．已知对任意平面向量，把绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A（1，2），点，把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P，则点P的坐标 　 　．
16．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边AB，DA上的点，当△APQ的周长为2时，求∠PCQ的大小为 　 　．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．已知函数．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若关于x的方程f（x）﹣m＝2在上有唯一解，求实数m的取值范围．
18．对于实数a、b，定义，设f（x）＝（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）＝m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，若x1＜x2＜x3，求的取值范围．
19．求解下列问题：
（1）求证：；
（2）已知，求．
20．已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求cos2α；
（2）若0＜β＜，sin（α+β）＝，求cosβ．
21．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若a＝2，且△ABC的面积为，求b+c的值．
22．设a∈R，函数f（x）＝．
（1）若a＝1，求证：函数f（x）为奇函数；
（2）若a＜0，判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）若a≠0，函数f（x）在区间[m，n]（m＜n）上的取值范围是[，]（k∈R），求的范围．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题） 1-5：BACBD 6-10:DBD
二．多选题（共4小题）
9：AB．10：BCD．11：BD．12：BCD．
三．填空题（共4小题）
13．：．
14:[2，4]
15．（4，1）．
16．：45°．
四．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）
＝
＝
＝，
函数的单调递减区间满足：，
解得f（x）的单调递减区间为．
（2）因为，
所以，
在上f（x）＝m+2有唯一解，
则，或，
所以f（x）＝m+2有唯一解，
又f（x）的值域为．
所以，
即．
18．【解答】解：当2x﹣1≤x﹣1时，即当x≤0时，f（x）＝（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）＝2x2﹣x；
当2x﹣1＞x﹣1时，即当x＞0时，f（x）＝（x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）＝x﹣x2．
∴f（x）＝，
作出函数y＝f（x）的图象如下图所示：
因为x1＜x2＜x3，则x2、x3为方程x﹣x2＝m的两个不等的实根，
即x2、x3为方程x2﹣x+m＝0的两个不等的实根，所以，x2x3＝m，
由图象可知，当时，直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个交点，
由，可得，∵x1＜0，解得，
所以：＝＝＝2x1﹣1∈（﹣，﹣1），
因此，的取值范围是．
19．【解答】（1）证明：，
．
（2）若，则，
由，解得，
所以，
因为，由（1）得，
所以＝．
20．【解答】解：（1）由角α的终边过点，
则，，
∴．
（2）∵，，
∴，
又，∴，
又，则，
则．
21．【解答】解：（1）由又及正弦定理，
得，
所以，
由于sinC≠0，所以，
即，又0＜A＜π，故．
（2）由题意可知，解得bc＝4，
根据余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即4＝（b+c）2﹣3bc，解得b+c＝4．
22．【解答】解：（1）当a＝1时，函数f（x）＝，
因为2x﹣1≠0，所以x≠0，
从而对任意的x≠0，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），
所以f（x）＝（x≠0）为奇函数．
（2）当a＜0时，因为2x＞0，所以2x﹣a＞0，
所以函数f（x）＝的定义域为R．
结论：函数f（x）＝（a＜0）为R上的单调递增函数．
证明：设对任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣
＝
＝，
因为x1＜x2，所以2＞2，即＞0，
又因为2﹣a＞0，2﹣a＞0，a＜0，
所以＜0，
于是f（x1）＜f（x2），即证．
（3）因为m＜n，所以2m＜2n，从而，
由[，]，知＜，所以k＜0，
因为a≠0，所以a＜0或a＞0．
1° 当a＜0时，由（2）知，函数f（x）＝为R上单调递增函数．
因为函数f（x）在区间[m，n]（m＜n）上的取值范围是[，]，（k∈R）
所以，即，
从而关于x的方程 有两个互异实数根．
令t＝2x，则t＞0，所以方程t2+（a﹣k）t+ak＝0，（a，k＜0）有两个互异实数根
，从而0＜＜3﹣2．
2° 当a＞0时，函数f（x）＝1+在区间（﹣∞，log2a），（log2a，+∞）上均单调递减．
若[m，n] （log2a，+∞），则f（x）＞1，于是，这与k＜0矛盾，故舍去．
若[m，n] （﹣∞，log2a），则f（x）＜1，于是，即，
所以，两式相减整理得，（a+k）（2n﹣2m）＝0，
又2m＜2n，故2n﹣2m＞0，从而a+k＝0，＝﹣1，
综上所述，的取值范围（0，3﹣2）∪{﹣1}．