贵州省六盘水市第四中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（PDF版，含答案）

六盘水市第四中学 2023-2024学年度下学期第一次月考试卷
高 一 数 学
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.
1. 若集合M x x 4 ,N x 3x 1 ,则M N ( )
A. x 0 x 1 2 B. x x 2 C. x 3 x 16 D. 1 x x 16
3 3


2. 下列函数的最小正周期为 且为奇函数的是（ ）
y cos 2x y tan 2x y | sin x | y cos 2x A. B. C. D.
2

3．已知 a 2，且 a b 2，则向量b在向量 a上的投影向量为（ ）
1 1
A． a B． b C．
2 2 a D． b
1 1
4.已知 a 20.7 b ( )0.7， ， c log ，则（ ）
3 2 3
A． a c b B．b c a C． a b c D． c a b
5.已知扇形的周长是 6cm，面积是 2cm2,则扇形的中心角的弧度数是( )
A.1 B.2 或 4 C.4 D.1 或 4
3π , 3π , π, 3π 6. 已 知 , cos
π 3 π 5 ,sin
， 则
4 2 2 4 5 4 13
sin( )的值为（ ）
16 16 56 56
A. B. C. D.
65 65 65 65
π
7.如图，在 ABC中， BAC , AD 2DB
1
， P为CD上一点，且 AP mAC AB，
3 2

若 | AC | 3,| AB | 4 ，则 AP CD的值为（ ）
A 7
7 13 13
． B． C． D．
6 6 12 12
8.在 2022年 2月 4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场
的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国，各地区代表团的“小雪花”汇聚成一
朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图
中各顶点可近似得到正六边形 ABCDEF（如图②）．已知正六边形 ABCDEF的边长为

2，若点 P是线段 EC上的动点（包括端点），则 AP BP 的取值范围是（ ）
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABLQaQoggAApBAARgCAQHSCEGQkBAACCoGQEAAMAAAiANABAA=}#}
A． 5,2 13 7, 13
5
B． C． , 13

D ． 2,
5
2 2
二、多项选择题：(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，
有选错的得 0分)

9. 已知 a (3, 1),b (1, 2)，则下列结论正确的有（ ）
3 10 10
A. a b 5 B. 与 a方向相同的单位向量是 ,
10 10



C. a,b D.
4 a / / b
10.已知函数 f x sin 2x 的图象关于直线 x

对称，则（ ）
2 2 3
A． f 0 1 B．函数 f x 5 的图象关于点
2
,0 成中心对称
12

C．函数 f x 在 , 上单调递增
12 3
D．若 f x1 f x2 2，则 x x

1 2 的最小值为 2
11.下列结论正确的是（ ）
1 1
A. 当 x 0时， x 2 B. 当 x 2时， x 的最小值为 2
x x
5 1
C. 当 x 时， 4x 2 的最小值是 5
4 4x 5
1 4 9
D. 设 x 0, y 0，且 x y 2，则 的最小值是
x y 2
12. 下列说法不正确的是 （ ）
A. 已知 A x x2 x 6 0 ， B x mx 1 0 1 1 ，若B A，则m组成集合为 ， 2 3
B. 2kx2不等式 kx 3 0对一切实数 x恒成立的充要条件是 3 k 0
8
1
C. 命题 p : x 2,1 , x2 x m 0为真命题的充要条件是m
4
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABLQaQoggAApBAARgCAQHSCEGQkBAACCoGQEAAMAAAiANABAA=}#}
D. 不等式 ax2 bx c 0解集为 ( , 2) (3, )，则 a b c 0
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
3 1
13.求值： ________.
cos10 sin170
a

14. 设 ，b 为单位向量，且 | a b | 3，则 | a b | ________.
3 x
15.已知函数 f x x a 2 2 x 是偶函数，则a ________.
16. 已知 0，函数 f (x) 2sin x
π π 5π


在 ， 6 2 6
上单调递减，则实数 的取值可以是

________.（填写一个正确答案即可）
四、解答题：本题共 6小题，共 70分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
3
17. （10分）已知 sin ，且 是第三象限角.
5
（1）求 cos 和 tan 的值；
2 cos
2 sin 2
（ ）求 的值.
cos2 1
18.（12分）已知在△ 中，点 是 边上靠近点 的四等分点，点 在 边上，且
= ，设 与 相交于点 ．记 = ， = ．
(1)请用 ， 表示向量 ；
(2)若 = ，设 ， 的夹角为 ，若 cos = ，求证： ⊥ ．

19.（12 分）如图所示，某地夏天从 ～ 时的用电量变化曲线近似满足函数 =
( + ) + ( < < ).

( )求这一天的最大用电量及最小用电量；
( )写出这段曲线的函数解析式．
试卷第 3页，共 4页
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20.（12 分）已知函数 f x sin 2x
π
sin

2x
π
3cos2x.
3 3
（1）求函数 f (x)的最小正周期；
1
（2）先将函数 f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），再向右
2

平移 个单位后得到函数 g x 的图象，求 y g x 的单调减区间以及在区间 0,
6 4
上的最值.
21.（12分）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度 d 1km，一艘游船从南岸码头

A点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是v1，水流速度 v2的大小为 v2 4km / h .

设 v1和 v2 的夹角为 0 180 ，北岸上的点 A 在点A的正北方向.

(1)若游船沿 AA 到达北岸 A 点所需时间为 6min，求 v1的大小和 cos 的值；

(2)当 60 , v1 10km / h时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
22. 12 a g x 2
x
（ 分）已知函数 f x （ a为常数，且 a 0，a R）.请在下面四个
a 4x
2 x
函数：① g1 x 2x，② g2 x log2 x，③ g3 x x ，④ g4 x 8 ，中选择一个函数
作为 g x ，使得 f x 具有奇偶性.
（1）请写出 g x 表达式，并求 a的值；
（2）当 f x 为奇函数时，若对任意的 x 1,2 ，都有 f 2x mf x 成立，求实数m的
取值范围；
（3）当 f x 为偶函数时，请讨论关于 x的方程 f 2x mf x 解的个数.
试卷第 4页，共 4页
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参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D D C C D A D A
8、【答案】A
【详解】

如图，以正六边形 ABCDEF 的中心O为坐标原点，FC方向为 x轴正方向，建立直角坐标系.
因正六边形边长为 2，故得：C(2,0),E( 1, 3), A( 1, 3),B(1, 3) ,

设点 P(a,b)， EP tEC , 0 t 1则得： (a 1,b 3) t(3, 3)，故 P(3t 1, 3 3t)，

于是， AP BP (3t, 2 3 3t) (3t 2, 2 3 3t) (6t 2,4 3 2 3t) ，
2 3
AP BP (6t 2)2
2
(4 3 2 3t )2 48t 2 72t 52 48(t ) 25
则： 4 ，
2
0 t 1 25 AP BP 52 5 AP BP 2 13因 ，故得： ，即： .
故选：A.
二、多选题
9 10 11 12
ABC BD AD ABCD
三、填空题
2 8
13. -4 14. 1 15. a=1 16. 内任取一个
3 5
四、解答题：
4 3
17. (1) cos = , tan
5 4
cos2 sin 2
（2） cos
2 1 15=
41
18.【答案】（1） = = ，由题意得 = 1 = 1 ，
4 4
试卷第 5页，共 6页
{#{QQABLQaQoggAApBAARgCAQHSCEGQkBAACCoGQEAAMAAAiANABAA=}#}
所以 = + = + 1 = 3 + 1 ．
4 4 4
（2）由题意， = + = + 1 = 1 ．
2 2
∵ = 2 ，cos = 1，∴ = cos = 1 2．
4 2
∴ = 1 = 1 2 = 1 2 1 2 = 0，
2 2 2 2
∴ ⊥ ．
19.【答案】解：(1)最大用电量为 50万 · ，最小用电量为 30万 · ．
(2)观察图象可知从 8～14时的图象是 = ( + ) + 的半个周期图象，
∴ = 1 × (50 30) = 10 1， = × (50 + 30) = 40．
2 2
1 2 ∴ = ∵ × = 14 8， ．
2 6
∴ = 10sin( + ) + 40
6 ．
将 = 8， = 30代入上式，又∵ 0 < <

，∴解得 =

2 6．

∴所求解析式为 = 10sin( + ) + 406 6 ， ∈ [8,14]．
20. 【答案】（1）
f x sin 2x 3 cos 2x 2sin(2x )，T
3
(2) 函数减区间为
g x 2sin(4x 3 ), 2k 4x 2k ,k Z
3 2 3 2
5 k , 7 k

(k Z ), g x 3,2 24 2 24 2
2 29 2 13
21.【答案】(1) 2 29km / h
km
， 29 (2) 5

v km / h
【解析】（1）设游船的实际速度为 .
试卷第 6页，共 6页
{#{QQABLQaQoggAApBAARgCAQHSCEGQkBAACCoGQEAAMAAAiANABAA=}#}

AA 1km,6min 0.1h v 10km / h v2 4km / h由 ，得 ， .
2 v | v |2
2
v 102 4 2 116 v 2 29km / h
如图所示速度合成示意图，由 1 2 ，得 1 ，

v
cos 2 2 29
v 291 .
2 29
v
所以 1的大小为 2 29km / h,cos

的值为 29 .

60 , v 10km / h
（2）当 1 时，设到达北岸 B点所用时间为 th，作出向量加法示意图如图
所示，由向量数量积运算得：
AB2 | tv |2 t2 2v v t2 2 21 2 10 4 2 10 4 cos60 156t 2 . AB 2 39t .
1
t v cos30 △AA C 1 1
t
在 Rt 中， ，从而 5 3 h .
AB 1 2 39 2 13
所以 5 3 5 .
2 13 km
故游船的实际航程为 5 .
22.【答案】
x
（1）若选①， g x 2x 2ax 2，则 f x ，该函数的定义域为 R
a 4x
1
若函数 f x 为奇函数，则 f 0 0，不合乎题意；
a
试卷第 7页，共 6页
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x 4x 2 x
若函数 f x 为偶函数，则 f x 2ax 2
2ax 2 x 2ax 4 x
，
a 4 x a a
x x x x x
由 f x f x 2 2ax 4 2ax 2 8 2，可得 x ，化简可得 2a x x 0 ，a a 4 x x 16
2ax 2x
则 a不为常数，即函数 f x x 不可能为偶函数，不合乎题意；a 4
若选②， g x log2 x的定义域为 0, ，所以，函数 f x 的定义域为 0, ，
此时，函数 f x 为非奇非偶函数，不合乎题意；
2 x
若选③， g x x2，则 f x ax 2
a 4x
.
f x 1若函数 为奇函数，则 f 0 0，不合乎题意；
a
2 x 4x ax2 2 x x
若函数 f x 为偶函数，则 f x ax 2 2 ax
2 4x
，
a 4 x a a
x 2 x 2 x
由 f x f x 2 ax 4 ax 2，可得 ，
a a 4x
2x
x
8x 2 1 4x x
整理可得 a
2
x 0
x2 16x 1 x2 1 42x x2 1 4x ，
则 a不为常数，不合乎题意.
x x
选④ g(x) 8x， f x a 8 2 1 x 2x
1
2 x f x 2 x， 2x，
a 4 a a
f x 1 x x当 为奇函数，则 f x f x ，即 f x f x 1 2 2 0，可得 a 1；
a
f x 1 x x当 为偶函数，则 f x f x ，则 f x f x 1 a 2 2 0，可得 a 1；
x x x
（2）当 f x 为奇函数时， f x 2 2 ， x 1,2 ，则 2 2,4 ，
x x
由于函数 y1 2 在 1,2 上为增函数，函数 y2 2 在 1,2 为减函数，
f x 2x 2 x 1,2 f x 3 15 所以，函数 在 上为增函数，则

, ，
2 4
若对于任意的 x 1,2 ，都有 f 2x mf x 成立
f 2x 22x 2 2x m x x x 2 2 x ，
f x 2 2min minmin
设 t 2x 2,4 ， t t 1 ，
t
试卷第 8页，共 6页
{#{QQABLQaQoggAApBAARgCAQHSCEGQkBAACCoGQEAAMAAAiANABAA=}#}
任取 t1、 t2 2, 4 ，且 t1 t2，即 2 t1 t2 4，
1 1 1 1 t t t t 1 t2 t1t2 1 则 1 t2 t1 t t2 t1 t2 t1 t2
2 1 ，
1 t2 t1 t2 t1t2 t1t2
2 t1 t2 4，则 t1 t2 0， t1t2 4，可得 t1 t2 0，即 t1 t2 ，
所以，函数 t 在 2,4 上为增函数，所以， t 2 5 5 ， m min .2 2
所以m 的取值范围是 ,
5
；
2
（3）当 f x x x 2为偶函数时， f x 2 2 ， f 2x 22x 2 2x 2x 2 x 2，
令 s 2x 2 x 2 2x 2 x 2，当且仅当 x 0时，等号成立，
则 s2 2 ms s 2 2，m s h s ，
s
h s s 2又 在 2, 单调递增，所以 h s 1.
s
①当m 1，此时方程无解；
②当m 1，存在唯一解 s0 2, ，
x x
又因为 f x 2 2 为偶函数，不妨设0 x1 x2，
1 1 x2 x1f x1 f x2 2x1 2 x1 2 x2 2 x2 2x1 2x2 x x 2 1x 2 2x 2 2
2 2
1 2 2x1 x2
2x1 2x2 2x1 x2 1
，
2x1 x2
因为0 x1 x ，则 2x12 2x2 0， x1 x2 0，所以， 2x1 x2 1， f x1 f x2 ，
所以 f x 在 0, 单调递增，在 , 0 单调递减，
（i）当m 1时， s0 2，此时方程有唯一解 x 0；
（ii）当m >1时， s0 2，此时方程有两个解；
x x
下证必要性：令 h x 2 2 s0，该函数的定义域为 R，
h x 2 x 2x s0 h x ，则 h x 为偶函数， h x 在 0, 单调递增，
h 0 2 s0 0， h log2 s0 2log2 s0 2 log2 s0 s 2 log2 s00 0，
所以 h x 在 0, log2 s0 有一个零点，
试卷第 9页，共 6页
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又因为函数 h x 是偶函数，则函数 h x 在 log2 s0 , 0 也有一个零点，
所以当m >1， s0 2时原方程一共有两个解.
试卷第 10页，共 6页
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