专题3 平面向量的概念、线性运算与坐标表示
知识点一．向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二．向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时，
知识点三．平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
知识点五．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
重难点题型突破1 平面向量的基本概念
例1．（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【分析】A选项，由零向量的定义进行判断；B选项，根据向量的模及相等向量判断；
C选项，根据向量的性质判断，D选项，根据共线向量的定义判断；
【详解】对于A项：零向量的方向是任意的并不是没有方向，故A项错误；
对于B项：因为向量的模相等，但向量不一定相等，故B项错误；
对于C项：因为，，所以可得：，故C项正确；
对于D项：若，则不共线的，也有，，故D项错误.
故选：C.
例2．（2023下·甘肃兰州·高二统考期末）关于空间向量的命题：
①方向不同的两个向量不可能是共线向量；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则．
其中所有真命题的序号有 ．
【答案】②
【分析】根据平面向量的相关概念逐项分析判断.
【详解】对于①：由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②：长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③：平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④：若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故答案为：②.
变式向训练1．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则
C． D．若，则
【答案】D
【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确；
由单位向量对于可知，，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为两个向量不能比较大小，故D错误；
故选：D
变式向训练2．（2024·全国·高一专题练习）（多选题）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．有向线段就是向量，向量就是有向线段.
【答案】BCD
【详解】对于A，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，故A正确；
对于B，若也有可能，长度不等，但方向相同或相反，即共线，故B错误；
对于C，若，则，可以方向不同，所以四边形不一定是平行四边形，故C错误；
对于D，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，故D错误.故选：BCD.
重难点题型突破2 平面向量的线性表示
例3．（2024下·全国·高一专题练习）如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合图形，用、表示出、和即可.
【详解】因为是的中点，所以.
故选：C
例4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形的性质，结合平面向量加法的运算性质进行判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.
故选：C
变式向训练3．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角形重心的性质，结合平面向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】设的中点为D，连接，点是的重心，则P在上，
且
，
由此可知A，B，C错误，D正确，
故选：D
变式向训练4．（2023上·黑龙江·高三统考期中）（多选题）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据向量的线性运算分别判断各选项.
【详解】A选项：，A选项正确；
B选项：，B选项错误；
C选项：，C选项正确；
D选项：，D选项错误；
故选：AC.
重难点题型突破3 平行向量与共线向量
例5．（2023下·陕西榆林·高一校考期中）（多选题）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用平行向量和相等向量的定义求解．
【详解】由正六边形的结构特征可知，
与方向相同，长度相等，，故选项A正确，
与方向相反，，故选项B正确，
由正六边形的性质可知，，故选项C正确，
与不共线，所以不会相等，故选项D错误，
故选：ABC．
例6．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
【答案】B
【分析】根据向量相等的定义、共线向量的定义和性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，方向可能不同，未必成立，A错误；
对于B，若，则反向，，B正确；
对于C，只能说明长度的大小关系，但还有方向，无法比较大小，C错误；
对于D，当时，，，此时未必共线，D错误.
故选：B.
变式向训练5．（2024下·全国·高一专题练习）已知是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
【答案】
【分析】由向量共线可得，由此构造方程组求得结果.
【详解】与是共线向量，
，即，
，解得：，
.
故答案为：.
变式向训练6．（2011上·陕西·高一统考期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据正六边形的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，由正六边形的性质可得四边形为平行四边形，故，故A正确.
对于B，因为，故，故B正确.
对于C，由正六边形的性质可得，故，故C正确.
对于D，因为交于，故不成立，故D错误，故选：D.
重难点题型突破4 平行向量的基本定理及其应用
例7．（2023下·河南·高一校联考期中）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【分析】判断出哪个选项的两个向量共线即可.
【详解】对于C，共线，不能作为基底，
对于ABD，两组向量都不共线，
故选：C.
例8．（2024下·全国·高一专题练习）（多选题）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据平面向量共线定理逐一判断即可.
【详解】对于A，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于B，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于C，，则为共线向量，不能作为平面向量的基底；
对于D，明显不存在实数使，则不共线，可以作为平面向量的基底.
故选：ABC.
变式向训练7．（2024上·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）（多选题）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】ACD
【分析】分别判断四个选项中的两个向量是否共线得到答案.
【详解】对于A，，，由零向量与任意向量共线，可知两个向量不能作为基底；
对于B，因为，，所以，所以两个向量不共线，可以作为基底；
对于C，因为，，所以，可知两个向量共线，故不可以作为基底；
对于D，由，，得：，可知两个向量共线，故不能作为基底；
故选：ACD
变式向训练8．（2023下·湖南·高二开学考试）（多选题）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算结合给定图形计算判断ABC；利用数量积的定义及运算律计算判断D作答.
【详解】在中，为的中点，为的中点，，
对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，由，有，C正确；
对于D，依题意，，于是
，D正确.
故选：BCD
重难点题型突破5 平行向量的坐标运算
例9．（2024下·全国·高一专题练习）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】由向量求出的坐标，进而求出点C的坐标.
【详解】由P，Q分别为的边，的中点，
，得，
点为坐标原点，，
因此，所以点C的坐标为
故答案为：.
例10．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据向量坐标的加减可得.
【详解】
故选：A
变式向训练9．（2023·陕西西安·统考一模）已知向量，，若，则 .
【答案】
【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用模的坐标表示计算即得.
【详解】向量，，由，得，解得，
即，，
所以.
故答案为：
变式训练10．（2024上·青海西宁·高三统考期末）已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据向量运算的坐标表示求得正确答案.
【详解】.
故选：A
重难点题型突破6 共线的坐标表示
例11．（2024上·广东湛江·高三统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量平行的充要条件即可得解.
【详解】因为，所以，所以.
故选：B.
例12．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）设向量，若，则实数m的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量线性运算的坐标表示，再结合向量共线的坐标表示求解即得.
【详解】向量，则，
由，得，解得，
所以实数m的值为.
故选：D
变式训练11．（2024下·云南红河·高一开远市第一中学校校考开学考试）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用向量平行与垂直的坐标表示，对选项逐一分析判断即可得解.
【详解】因为，
对于AB，，则，故A正确，B错误；
对于C，，，
则，则，故C正确；
对于D，，显然，
则，故不成立，故D错误.
故选：AC.
变式训练12．（2024·陕西西安·统考一模）已知平面向量，若与共线，则实数 ．
【答案】2
【分析】利用向量共线的坐标表示可得答案.
【详解】，
若与共线，则，
解得.
故答案为：.
1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据平面向量的相关概念，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】对于①，由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误；
对于②，长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确；
对于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误；
对于④，若，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误.
故选：A
2．（2023下·北京·高一东直门中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
【答案】D
【分析】根据单位向量、零向量、共线向量的定义判断即可.
【详解】对于A：单位向量大小相等都是，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故A错误；
对于B：零向量与它的相反向量相等，故B错误．
对于C：平行向量一定是共线向量，故C错误；
对于D：模为的向量为零向量，零向量与任非零意向量共线，故D正确；
故选：D．
3．（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量基本定理求解即得.
【详解】向量不共线，则，由共线，得，，
于是，则且，解得，
所以实数的值为.
故选：C
4．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算的坐标运算可得结果.
【详解】因为，故.
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据平面向量的定义以及向量共线的概念一一判断.
【详解】对A，都是单位向量，则模长相等，但方向不一定相同，
所以得不到，A错误；
对B，“”推不出“”，但 “”能推出 “”，
所以“”是“”的必要不充分条件，B正确；
对C，因为与反向共线，
且，都为单位向量，则＋＝，C正确；
对D，若，则，D正确，
故选:BCD.
6．（2021·高一课时练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有 个.
【答案】9
【分析】根据正六边形的特点，以及向量共线的定义可求答案.
【详解】由正六边形的性质可知，与向量共线的向量有，共9个.
故答案为：9.专题3 平面向量的概念、线性运算与坐标表示
知识点一．向量的有关概念
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．
（3）特殊向量：
①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
②单位向量：长度等于1个单位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行．
④相等向量：长度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量．
知识点二．向量的线性运算和向量共线定理
（1）向量的线性运算
运算 定义 法则（或几何意义） 运算律
加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律
减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则
数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时，
知识点三．平面向量基本定理和性质
1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量与不共线，平面内的任一向量都可以分解成形如的形式，并且这样的分解是唯一的．叫做，的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．
推论1：若，则．
推论2：若，则．
3、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
知识点四．平面向量的坐标表示及坐标运算
（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有
向量向量点．
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
知识点五．平面向量的直角坐标运算
①已知点，，则，
②已知，，则，，
，．
，
重难点题型突破1 平面向量的基本概念
例1．（2023上·广东湛江·高二湛江二十一中校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．零向量没有方向 B．若，则
C．若，，则 D．若，，则
例2．（2023下·甘肃兰州·高二统考期末）关于空间向量的命题：
①方向不同的两个向量不可能是共线向量；
②长度相等，方向相同的向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若，则．
其中所有真命题的序号有 ．
变式向训练1．（2023下·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则
C． D．若，则
变式向训练2．（2024·全国·高一专题练习）（多选题）下列结论中，错误的是（ ）
A．表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；
B．若，则，不是共线向量；
C．若，则四边形是平行四边形；
D．有向线段就是向量，向量就是有向线段.
重难点题型突破2 平面向量的线性表示
例3．（2024下·全国·高一专题练习）如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2024下·全国·高一专题练习）已知四边形为菱形，则下列等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式向训练3．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知点是的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
变式向训练4．（2023上·黑龙江·高三统考期中）（多选题）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破3 平行向量与共线向量
例5．（2023下·陕西榆林·高一校考期中）（多选题）如图，在正六边形中，点为其中心，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例6．（2023下·新疆·高一兵团第三师第一中学校考阶段练习）关于向量，，下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
变式向训练5．（2024下·全国·高一专题练习）已知是两个不共线的向量，，，若与是共线向量，则实数 .
变式向训练6．（2011上·陕西·高一统考期末）如图，在正六边形中，点为其中点，则下列判断错误的是（ ）
A． B．
C． D．
重难点题型突破4 平行向量的基本定理及其应用
例7．（2023下·河南·高一校联考期中）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和 B．与
C．与 D．与
例8．（2024下·全国·高一专题练习）（多选题）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
变式向训练7．（2024上·湖南长沙·高一长沙一中校考期末）（多选题）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
变式向训练8．（2023下·湖南·高二开学考试）（多选题）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，与相交于点，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，则
重难点题型突破5 平行向量的坐标运算
例9．（2024下·全国·高一专题练习）已知P，Q分别为的边，的中点，若，，则点C的坐标为 ．
例10．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
变式向训练9．（2023·陕西西安·统考一模）已知向量，，若，则 .
变式训练10．（2024上·青海西宁·高三统考期末）已知向量，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
重难点题型突破6 共线的坐标表示
例11．（2024上·广东湛江·高三统考期末）已知向量，，若，则（ ）
A．8 B． C． D．
例12．（2023上·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考开学考试）设向量，若，则实数m的值为（ ）
A． B．2 C． D．
变式训练11．（2024下·云南红河·高一开远市第一中学校校考开学考试）（多选题）已知向量，则下列结论正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
变式训练12．（2024·陕西西安·统考一模）已知平面向量，若与共线，则实数 ．
1．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若，则.其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023下·北京·高一东直门中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等
C．平行向量不一定是共线向量 D．模为的向量与任意非零向量共线
3．（2024上·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2024下·全国·高一专题练习）已知向量，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列命题正确的是（ ）
A．若都是单位向量，则.
B．“”是“”的必要不充分条件
C．若都为非零向量，则使＋＝成立的条件是与反向共线
D．若，则
6．（2021·高一课时练习）如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E，F，O中的任意一点为起点，与起点不同的另一点为终点的所有向量中，与向量共线的向量共有 个.
