专题5 解三角形
知识点一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
知识点二：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列．
重难点题型一：正弦定理的应用
例1．（2024·江西赣州·一模）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知利用余弦定理可求的值，根据正弦定理可求的值．
【详解】∵，
∴由余弦定理可得：,
∴解得：，或（舍去），
∴由正弦定理可得：．
故选:B
例2．（2024高一·全国·专题练习）在中，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理求解即可.
【详解】∵，∴，
∵，∴.
故选：B.
例3．（2024·辽宁·一模）在中，，，则外接圆半径为 .
【答案】
【分析】根据面积公式和数量积的定义可求，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径.
【详解】因为，故,
故，故为锐角，故，
故外接圆的半径为，
故答案为：.
变式训练1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由正弦定理知，，则．因为，所以．
故选：A
变式训练2．（2024高二·全国·竞赛）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用二倍角的正弦公式和正弦定理可求的取值范围.
【详解】因为，故，
所以，
而三角形为锐角三角形，故，故，
故即，
故答案为：.
变式训练3．（22-23高二上·河南·阶段练习）在中，内角的对边分别为，有，，，则 .
【答案】
【分析】根据题意，利用余弦定理求得，再由正弦定理，列出方程，即可求解.
【详解】因为，可得，
又因为，可得，
因为，，由正弦定理，可得，解得.
故答案为：.
重难点题型二：余弦定理的应用
例4．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可得，可求出；再根据为钝角限定出，利用正弦定理可得，可得其范围是.
【详解】根据题意可得面积，
可得，即，
又易知为锐角，可得；
由正弦定理可得，
因为为钝角，可得，所以；
可得，因此；
故答案为：；；
例5．（23-24高三下·山东·开学考试）已知在中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦定理运算求解.
【详解】由余弦定理得，
所以．
故选：D．
例6．（2022高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用余弦定理求出角A，再利用正弦定理求出角B即可得解.
【详解】在中，由及余弦定理得，
而，则，又，
由正弦定理得，而，
解得，又，因此，所以.
故选：D
变式训练4．（2024高三·全国·专题练习）在中，三内角对应的边分别为，且，则面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理和基本不等式可得的范围，再由三角形面积公式得解.
【详解】根据题意由余弦定理可得： ，
即，
所以（当且仅当时等号成立）
∴，（当且仅当时等号成立），
即面积最大值．
故答案为：
变式训练5．（2024高三·全国·专题练习）在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】由余弦定理可得，，故.
故选：A.
变式训练6．（2023·江苏苏州·模拟预测）(多选题)已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．存在使得
D．存在使得
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理的面积公式可得，因式分解即可得出A、B答案；通过假设法即可判断出C、D选项.
【详解】因为，则，
即，因为且，所以，，A正确，B错误；
假设存在使得，则，即，与题意不冲突，假设成立，C正确；
当时，，即存在使得，D正确.
故选：ACD.
重难点题型三：判断三角形的形状
例7．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解
【详解】因为，所以，
因为，所以，所以，所以；
因为，所以，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，因为，所以，
所以，则是直角三角形，
故选：B
例8．（2022高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别是，，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】根据特殊角的三角函数值求出B，再利用正弦定理边化角化简，可得，即可判断出答案.
【详解】在中，，由于,
故，
又，故，而，
则，而，则，（舍），
故，即为等边三角形，
故选：C
变式训练7．（14-15高一下·福建·阶段练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，则此三角形的形状一定是（ ）
A．等腰直角 B．等腰或直角 C．等腰 D．直角
【答案】B
【分析】利用余弦定理化简为，根据或判断三角形形状即可.
【详解】因为，所以由余弦定理得，
化简得，即，
所以或，
即此三角形为等腰三角形或直角三角形.
故选：B
变式训练8．（2023高一·全国·专题练习）对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则
D．若，则一定为锐角三角形
【答案】BD
【分析】根据正弦定理和诱导公式计算即可判断A；由正弦定理化简即可判断B；由余弦定理和基本不等式计算化简即可判断C；根据诱导公式和两角和的正切公式化简计算即可判断D.
【详解】对于A，在中，若，
因为，
则或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若，
由正弦定理得，所以一定为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，
得，又，
所以，
即，
即，
又，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，所以，所以，
又因，所以，故C错误；
对于D，，
所以，
所以，
所以三个数有个或个为负数，
又因为最多一个钝角，
所以，即都是锐角，
所以一定为锐角三角形，故D正确.
故选：BD.
重难点题型四：正、余弦定理与的综合
例9．（23-24高三下·重庆·开学考试）在中，内角的对边分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】由题意首先通过三角恒等变换变换得，进一步结合正弦定理即可得解.
【详解】因为，，
所以，，为外接圆的半径，
所以.
故选：C.
例10．（2022·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式化简计算可得.
【详解】，则，
，
的最大值为.
故答案为：.
变式训练9．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】由余弦定理求得，根据题意和正弦定理可得，即可求解.
【详解】由，得，
而，又，
所以.
，由正弦定理得，
即，得，
所以或，得或（舍去），
所以，即为等边三角形.
故选：B
变式训练10．（2023高三上·全国·专题练习）（多选题）对于，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
【答案】ABD
【分析】利用余弦函数单调性判断A；利用正弦定理推理判断B；利用余弦定理计算判断C；利用正余弦定理计算判断D.
【详解】对于A，在中，由，得，为等腰三角形，A正确；
对于B，在中，，得，由正弦定理得，B正确；
对于C，在中，由余弦定理得，只有一解，C错误；
对于D，在中，由及正弦定理得，
由余弦定理得，则C为钝角，是钝角三角形，D正确．
故选：ABD
重难点题型五：解三角形的实际应用
例11．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得，到觇标底点和顶点的仰角分别为，则的高度差约为（ ）
A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米
【答案】A
【分析】画出示意图，结合三角函数的定义和正切展开式求解即可.
【详解】
模型可简化为如上图，在中，，
所以，而，
代入上式并化简可得米，
故选：A.
例12．（2024高三下·全国·专题练习）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且m，则文星塔高为 m.
【答案】
【分析】设建筑物的高为，用表示、、，利用结合余弦定理求出的值，即可得解.
【详解】如图所示，设建筑物的高为，
则，，，
由余弦定理可得，
，
因为，故，
即，可得.
故答案为：.
变式训练11．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出来雁塔AB的高度即可.
【详解】过点作，交于点，
在直角三角形中，因为，
所以，
在直角三角形中，因为，
所以，
则.
故选：B.
变式训练12．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）瀑布是大自然的奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布》中写到“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川.飞流直下三千尺，疑是银河落九天”.某学校高一数学活动小组为了测量瀑布的实际高度，设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走m，测得瀑布顶端仰角为已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ．
【答案】60m
【分析】根据题意画出图象，结合题中条件求得，在中，由余弦定理建立方程，解出即可.
【详解】如图，设瀑布顶端为，底端为，高为，
该同学第一次测量的位置为,第二次测量的位置为,
则,，
,
所以，
在中，由余弦定理可知：
,
即，
解得，
故答案为：60m.
重难点题型六：三角形中的面积与周长问题
例13．（22-23高二上·全国·期中）已知，，，则的面积是 .
【答案】
【分析】分别求出的三边长，判断出是等边三角形，即可求出面积.
【详解】由题意得，，，，
则，
是边长为的等边三角形，
的面积.
故答案为：.
例14．（2024·全国·一模）在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据余弦定理可求解，由面积公式即可求解.
【详解】在中，，，，
由余弦定理可得，解得，
所以，
故选：A
例15．（2022高三上·河南·专题练习）已知在中，内角，，所对的边分别是，若，且，则的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
【答案】B
【分析】先根据已知条件，把、都用表示出来，利用余弦定理可求出三边长，判断得三角形正好是直角三角形，再求三角形得面积.
【详解】因为，所以，，所以由余弦定理得
，解得（舍去）或，
所以，，所以，所以，
所以的面积为．
故选：B
变式训练13．（2024·湖北武汉·模拟预测）在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】根据，，，利用余弦定理求得，再利用三角形面积公式求解.
【详解】解：在中，，，，
由余弦定理得：，
，
解得，
所以，
故答案为：3
变式训练14．（21-22高二上·辽宁抚顺·期末）（多选题）在中，若，，，则的面积可能为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据余弦定理计算或，再计算面积得到答案.
【详解】根据余弦定理：，即，解得或，
，故或.
故选：AB
变式训练15．（2024·福建福州·模拟预测）在中，，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据题意，由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得到结果.
【详解】由余弦定理得，
且，所以，
所以．
故选：B
重难点题型七：综合应用
例16．（23-24高三上·安徽亳州·期末）设的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，点在边上，，且，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理计算可得；
（2）首先由等面积法求出，再由，代入、的值，即可求出，再检验即可.
【详解】（1）因为，
由余弦定理得，
整理得，
所以，
因为，所以.
（2）由题意知，所以，
由（1）的过程可得，
代入的值整理得，解得或.
当时，，此时为钝角，不符合条件，
当时，，符合条件，所以.
例17．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角A；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而得解；
（2）由余弦定理求得，再利用三角形面积公式即可得解．
【详解】（1）因为，
由正弦定理，又，
，即，由，得.
（2）由余弦定理知，
即，则，解得（负值舍去），
.
例18．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A的平分线交BC于点D，且．
(1)求A：
(2)若，的周长为15，求AD的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）正弦定理边化角结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）由余弦定理得，再利用等面积结合角分线性质得.
【详解】（1）因为，利用正弦定理可得：
，
即．
因为，所以，即，
又，可得．
（2）因为，，所以．
在中，由余弦定理可得：，所以．
又因为为角A的平分线，所以，
所以，
即，所以．
变式训练16．（2024·宁夏银川·一模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角：
(2)若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合正弦定理、三角恒等变换分析求解；
（2）由角平分线性质可得，利用余弦定理解得，，结合面积公式运算求解.
【详解】（1）因为，整理得，
由正弦定理可得：，
且，则，可得，
即，且，可得.
（2）因为为角的角平分线，则，即，
由余弦定理可得，即，
解得或（舍去），则，
所以的面积.
变式训练17．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）如图，在平面四边形中，，，，.
(1)求线段的长度；
(2)求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出线段的长度.
（2）在中，中利用正弦定理，通过，可以求出的值.
【详解】（1）因为，
得，在中，由余弦定理可得：
，
.
故线段的长度.
（2）由（1）知，，
在中，由正弦定理可得：,
即， 得，
又，所以,
在中，由正弦定理可得：,
即， .
所以的值为.
变式训练18．（2024·浙江·一模）在中，内角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到，再结合余弦定理即可求出角；
（2）根据三角形面积公式得到和，再结合中线向量公式计算即可.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，，
因为，所以，
化简得，，
在中，由余弦定理得，，
又因为，所以
（2）由，得，
由，得，所以．
又因为边的中点为，所以，
所以
1．（2024高一·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由，求出三个角，进而可得各角正弦值，再由正弦定理，即可得出结果.
【详解】在中，,所以，
由正弦定理可得：，
故选:D.
2．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合充要条件的性质、正弦定理、二倍角的正弦公式计算即可得.
【详解】当时，由正弦定理可得，
又，在中，，
故，
即，故“”是“”的充分条件；
当时，例如，，，，
有，符合题意，但，
故“”不是“”的必要条件；
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，选项A正确；
B选项，，选项B错误；
在中，由正弦定理得，故C和D正确.
故选：ACD
4．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知中，其内角的对边分别为，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰三角形
【答案】ABD
【分析】A用三角函数单调性来判断，B用正弦定理结合大边对大角小边对小角来判断，C用正弦曲线内角和定理结合诱导公式来判断，D用内角和定理结合余弦曲线判断.
【详解】对于A.因在上单调递减，且，故A正确；
对于B.由正弦定理以及三角形中大边对大角，
所以若，则，则，故B正确；
对于C.，且为三角形内角，所以或者，
所以为等腰三角形或者直角三角形，故C错误；
对于D.，则，即，所以为等腰三角形，故D正确.
故选：ABD.
5．（2024高一下·全国·专题练习）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则 ．
【答案】
【分析】根据余弦定理求得，进而求得．
【详解】由余弦定理，，
因为，所以，
即，解得（舍），
所以，．
故答案为：
6．（2024高三·江苏·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角B= ；若，D为的中点，求线段长度的取值范围为 ．
【答案】
【分析】第一空：由正弦定理边化角以及辅助角公式即可得解；第二空：由余弦定理得，结合向量可得，由基本不等式即可得解.
【详解】因为，
所以，则，
即，所以，
又，则，所以，即，
由，得，所以，所以；
因为，所以，
因为D为AC的中点，所以，则，
由基本不等式得，等号成立当且仅当，
所以，.
故答案为：；.
7．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为．已知．
(1)求A的大小；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出；
（2）由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到，求出，利用三角形面积公式求出答案.
【详解】（1）由，结合正弦定理，
得，
即，
即，
即，
因为，所以，即．
（2）因为，所以．
利用正弦定理得．
而，
故的面积为．专题5 解三角形
知识点一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常见变形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
知识点二：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2）内角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，内角成等差数列．
重难点题型一：正弦定理的应用
例1．（2024·江西赣州·一模）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024高一·全国·专题练习）在中，若，则等于（ ）
A．1 B．2 C． D．
例3．（2024·辽宁·一模）在中，，，则外接圆半径为 .
变式训练1．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练2．（2024高二·全国·竞赛）在锐角三角形中，边，，则边的取值范围是 ．
变式训练3．（22-23高二上·河南·阶段练习）在中，内角的对边分别为，有，，，则 .
重难点题型二：余弦定理的应用
例4．（2024·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则 ；的取值范围是 ．
例5．（23-24高三下·山东·开学考试）已知在中，，则（ ）
A．1 B． C． D．
例6．（2022高三·全国·专题练习）在中，内角的对边分别为，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练4．（2024高三·全国·专题练习）在中，三内角对应的边分别为，且，则面积的最大值为 ．
变式训练5．（2024高三·全国·专题练习）在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（ ）
A． B． C． D．
变式训练6．（2023·江苏苏州·模拟预测）(多选题)已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．存在使得
D．存在使得
重难点题型三：判断三角形的形状
例7．（2024·四川成都·模拟预测）已知的内角A，，所对的边分别为，，，面积为，若，，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
例8．（2022高三·全国·专题练习）在中，内角所对的边分别是，，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
变式训练7．（14-15高一下·福建·阶段练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，则此三角形的形状一定是（ ）
A．等腰直角 B．等腰或直角 C．等腰 D．直角
变式训练8．（2023高一·全国·专题练习）对于，（角所对的边分别为中的余弦定理是），则下列说法正确的是（ ）
A．若，则一定为等腰三角形
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则
D．若，则一定为锐角三角形
重难点题型四：正、余弦定理与的综合
例9．（23-24高三下·重庆·开学考试）在中，内角的对边分别为，则的值为（ ）
A． B． C． D．3
例10．（2022·全国·模拟预测）在中，角所对的边分别为.若，，则的最大值为 .
变式训练9．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知内角A，B，C的对边为a，b，c，若，，则的形状是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
变式训练10．（2023高三上·全国·专题练习）（多选题）对于，有如下判断，其中正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若，则符合条件的有两个
D．若，则是钝角三角形
重难点题型五：解三角形的实际应用
例11．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得，到觇标底点和顶点的仰角分别为，则的高度差约为（ ）
A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米
例12．（2024高三下·全国·专题练习）鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今已有四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且m，则文星塔高为 m.
变式训练11．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底，在水平地面上，来雁塔AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得，在C点处测得E点的仰角为30°，在E点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（，精确到）
A． B． C． D．
变式训练12．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）瀑布是大自然的奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布》中写到“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川.飞流直下三千尺，疑是银河落九天”.某学校高一数学活动小组为了测量瀑布的实际高度，设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走m，测得瀑布顶端仰角为已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ．
重难点题型六：三角形中的面积与周长问题
例13．（22-23高二上·全国·期中）已知，，，则的面积是 .
例14．（2024·全国·一模）在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
例15．（2022高三上·河南·专题练习）已知在中，内角，，所对的边分别是，若，且，则的面积为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．12
变式训练13．（2024·湖北武汉·模拟预测）在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为 ．
变式训练14．（21-22高二上·辽宁抚顺·期末）（多选题）在中，若，，，则的面积可能为（ ）.
A． B． C． D．
变式训练15．（2024·福建福州·模拟预测）在中，，则的面积为（ ）
A．2 B． C．4 D．
重难点题型七：综合应用
例16．（23-24高三上·安徽亳州·期末）设的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，点在边上，，且，求.
例17．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若.
(1)求角A；
(2)若，求的面积．
例18．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A的平分线交BC于点D，且．
(1)求A：
(2)若，的周长为15，求AD的长．
变式训练16．（2024·宁夏银川·一模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求角：
(2)若，角的平分线交于点，且满足，求的面积.
变式训练17．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）如图，在平面四边形中，，，，.
(1)求线段的长度；
(2)求的值.
变式训练18．（2024·浙江·一模）在中，内角所对的边分别是，已知．
(1)求角；
(2)设边的中点为，若，且的面积为，求的长．
1．（2024高一·全国·专题练习）在中，角的对边分别为，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）记的内角A，B的对边分别为a，b，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
4．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）已知中，其内角的对边分别为，下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则为等腰三角形
5．（2024高一下·全国·专题练习）的内角A，B，C的对边分别为，已知，，，则 ．
6．（2024高三·江苏·专题练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则角B= ；若，D为的中点，求线段长度的取值范围为 ．
7．（23-24高三上·浙江宁波·期末）在中，内角所对的边分别为．已知．
(1)求A的大小；
(2)若，求的面积．
