专题8 空间点、直线与平面之间的位置关系
知识点一．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
知识点二．直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内
知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 ∥
公共点个数 无数个 1 0
知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号 ∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上
重难点题型一：直线与直线的位置关系
例1．（2021·高一课时练习）以下四个结论：
①若，则为异面直线；
②若，则为异面直线；
③没有公共点的两条直线是平行直线；
④两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】分别根据题设条件结合空间两直线的位置关系的判定方法，以及异面直线的定义，逐项判定，即可求解．
【详解】对于①中，若满足的直线可能是异面直线，可能是平行直线也可能是相交直线，所以①错误．
对于②中，根据直线和平面的位置关系可知，平面内的直线和平面外的直线，可能是异面直线，可能是平行直线，也可能相交直线，所以②错误．
对于③中，在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，所以③错误．
对于④中，在空间中，两条不平行的直线可能是异面直线，所以④错误．
故选：A．
例2．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B．，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D．，AC与EF是异面直线
【答案】D
【解析】如图，在底面半径为1的圆柱中，母线，，是的中点，则，
因为是的中点，又，则，
，，
，
在中，是的中点，是的中点，，
与是共面直线，
若AC与EF是共面直线，则在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线
故选：D．
例3．（23-24高三上·陕西西安·期末）如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解.
【详解】连接，交于点，取的中点，连接.
因为，所以与所成的角为（或其补角）.
令，在中，由，得.
又，，
由余弦定理得，即，解得，
所以.
故选：C
变式训练1．（2023·全国·高三对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
【答案】D
【解析】已知直线与是异面直线，直线与直线分别与两条直线与直线相交于点，
根据题意可得当点与点重合时，两条直线相交，当点与点不重合时，两条直线异面，
所以直线的位置关系是异面或相交.
故选:D．
变式训练2．（23-24高二上·云南玉溪·期末）（多选题）在正方体中，E，F分别是线段BC，的中点，则（ ）
A．
B．
C．异面直线，EF所成角的正切值为
D．异面直线，EF所成角的正切值为
【答案】ABC
【分析】首先做出图形，结合题目进行分析，F是线段的中点，故，故A正确.进而可得B正确. 由正方体的性质知，可知C正确.再进行分析则异面直线，EF所成角即为直线BC，EF所成角，故D错误.
【详解】如图所示，F是线段的中点，连接交于F，F是线段的中点，故，故A正确；
又，故，故B正确；
由正方体的性质知，则异面直线，EF所成角即为直线，EF所成角，
故是异面直线EF与所成角，故，故C正确：
由正方体的性质知，则异面直线，EF所成角即为直线BC，EF所成角，
故是异面直线EF与所成角，故，故D错误，
故选：ABC．
变式训练3．（20-21高一下·湖南张家界·期中）（多选题）如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．直线和平行，和相交
B．直线和平行，和相交
C．直线和相交，和异面
D．直线和异面，和异面
【答案】ACD
【分析】利用平行线的传递性可判断出直线和平行，利用三角形全等可证得和相交，由异面直线的定义可判断出和异面，即可得出合适的选项.
【详解】如下图所示：
因为、分别为、的中点，则，同理可证，
在正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，则，所以，，
延长交直线于点，
因为，则，
又因为，，所以，，所以，，
延长交的延长线于点，同理可证，
因为，所以，，即点、重合，
所以，、相交，
由异面直线的定义结合图形可知，、异面，故B对，ACD均错.
故选：ACD.
重难点题型二：直线与平面的位置关系
例4．（23-24高三上·河南周口·期末）已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与不垂直，则与一定不垂直
B．若与不平行，则与一定是异面直线
C．若，且，则与可能平行
D．若，则与可能垂直
【答案】D
【分析】结合点线面之间的关系逐项判断即可得.
【详解】对A：在平面内，存在无数条直线和垂直，故A错误；
对B：当时，与不是异面直线，故B错误；
对C：若，且，与为异面直线，故C错误；
对D：若，在内存在直线与垂直，故其可能与垂直，故D正确.
故选：D.
例5．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）以下说法错误的是 .
①空间中三点确定一个平面
②一条直线及一个点确定一个平面
③两条直线确定一个平面
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.
【答案】①②③④
【分析】利用空间中点、线、面的位置关系及相关性质、公理、定理推论逐项分析即可.
【详解】①若空间中不共线的三点确定一个平面，故错误；
②经过一条直线及直线外一点确定一个平面，故错误；
③由推论3、4两条相交或平行直线确定一个平面，故错误；
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补.
故错误；
故答案为：①②③④.
例6．（23-24高二上·上海·期末）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．垂直于同一个平面的两条直线平行
C．是空间两条直线，若且，则
D．若直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂直于平面
【答案】C
【分析】根据空间中的点线面的关系即可求解.
【详解】对于A，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确；
对于B，垂直于同一个平面的两条直线平行，正确；
对于C，是空间两条直线，若且，则或者异面，故C错误；
对于D，根据线面垂直的判定定理即可知D正确.
故选：C
变式训练4．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．
B．若直线上有无数个点不在平面内，则直线l与平面平行．
C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行．
D．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行．
【答案】A
【分析】根据线线，线面平行的定义和关系，即可判断选项.
【详解】根据线面平行的定义，可知A正确；
若直线上有无数个点不在平面内，则直线l与平面平行或相交，故B错误；
若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行或异面，故C错误；
若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线与这个平面平行或在平面内，故D错误.
故选：A
变式训练5．（22-23高一下·浙江·期中）若直线不平行平面，则以下命题成立的是 .
①内的所有直线都与异面；
②内不存在与平行的直线；
③内直线都与相交；
④直线与平面有公共点.
【答案】④
【分析】由题意得到直线在平面内或直线与平面相交，判断出①②③错误，④正确.
【详解】因为直线不平行平面，所以直线与平面的位置关系是：直线在平面内或直线与平面相交，则内的不是所有直线都与异面
若直线在平面内，存在与平行的直线，①②③错误，④正确.
故答案为：④
变式训练6．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中错误的是（ ）．
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与平面垂直
【答案】ACD
【分析】依据空间中直线与平面的位置关系，结合图形判断，，，的正误即可.
【详解】过直线与平面的交点与直线垂直的直线只有一条，在平面内与此直线平行的直线都与直线垂直，错误；
在直线上取一点，过该点作平面的垂线，两条直线确定一个平面，该平面与平面垂直，所以过直线有且只有一个平面与平面垂直，正确；
类似于A，在平面外可能有无数条直线垂直于直线并且平行于平面，错误；
如图，，，可作的平行平面，则且，错误.
故选：.
重难点题型三：平面与平面的位置关系
例7．（20-21高二上·云南曲靖·期中）如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
【答案】A
【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可．
【详解】如图所示，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，
故用符号语言可表达为，，，
故选：A
例8．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是两条不同直线， 是两个不同平面，对下列命题：
①若，则.
②若，则且.
③若，，则.
④若，则.
⑤若，则.
其中正确的命题是 （填序号）.
【答案】③⑤
【分析】由给定条件，举例说明判断命题①②④，利用线面垂直的性质判断③，利用线面平行的性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理判断⑤作答.
【详解】如图，长方体中，记平面为，
对于①，记直线为，直线为，则，但与相交，①不正确；
对于②，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而，②不正确；
对于③，因为，，所以，又，所以，③正确，
对于④，记平面为平面，直线为直线，直线为直线，满足，而与是异面直线，④不正确；
对于⑤，因，则过直线作平面，令，如图，
于是得，而，则有，由，所以，⑤正确.
故答案为：③⑤
变式训练7．（23-24高二上·上海·期末）已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【分析】利用长方体中线面的关系，逐一确定各选项.
【详解】
A选项：令平面为平面，为直线，为直线，
有：，，但，A错误；
B选项：令平面为平面，令平面为平面，
令平面为平面，有：，，而，B错误；
C选项：令平面为平面，令平面为平面，为直线，
有：，，则，而，C错误；
D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.
故选：D
变式训练8．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 .
①．，则 ②．，则
③．，则 ④．，则
【答案】①④
【分析】根据空间中直线与平面的位置关系一一判断.
【详解】对①，因为，所以，
又因为，所以，①正确；
对②，由，可得或，②错误；
对③，由，可得直线与平面的位置关系可以是平行或相交，③错误；
对④，因为，所以，④正确；
故答案为：①④.
重难点题型四：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”、
例9．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.
(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由中位线性质和线段成比例即可得证.
（2）利用两个平面内的公共点在两个平面的交线上，即可得证.
【详解】（1）、分别是、的中点，
，
，，
.
（2）因为，
，平面，
所以平面，同理平面.
所以是平面与平面的公共点，
又平面平面，
所以，所以三点共线
例10．（2023·四川泸州·三模）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．
(1)求证：直线、、交于一点；
(2)若，求多面体的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可得四边形为梯形，再根据平面的性质证明三线交于一点；
（2）根据题意利用割补法求体积.
【详解】（1）连接、，
因为、分别为、的中点，所以且．
因为是直四棱柱，且底面是正方形，
所以，且，即四边形是平行四边形，
所以且，所以，且，
所以四边形为梯形，所以与交于一点，记为，
即，且平面，平面，
所以平面，平面，
又因为平面平面，则直线，
所以直线、、交于一点.
（2）连接，
由题意可得：.
变式训练9．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】由基本事实3，证明点在两平面的交线上即可.
【详解】平面，
平面，同理，平面.
是平面与平面的公共点.
又平面平面，
,三点共线.
变式训练10．（22-23高一下·四川绵阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.
(1)已知点满足，求证四点共面；
(2)求三棱柱的表面积.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用正方体的结构特征，结合平行公理、平面基本事实推理作答.
（2）求出三棱柱各个面的面积作答.
【详解】（1）在正方体中，取中点，连接，如图，
因为是的中点，则，即四边形是平行四边形，
则有， 由，知为的中点，而为中点，于是，即有，
所以四点共面.
（2）显然三棱柱是直三棱柱，，
上下两个底面的面积和为，
侧面积，
所以三棱柱的表面积.
重难点题型五：截面问题、
例11．（23-24高二上·江西·期末）如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，得到五边形即为截面，根据三角形全等或相似得到各边长度，求出截面周长.
【详解】延长，与直线相交于，
连接与分别交于点，连接，
则五边形即为截面，
正方体的棱长为2，点分别是的中点，
所以，
由得，
，，
所以分别为靠近的三等分点，故，
所以由勾股定理得，
，
，
所以的周长为.
故选：C.
例12．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解.
【详解】如图所示，
过点作于点，因为，
所以，
则四棱台的高为，则四棱台的体积为，
解得，所以侧棱长为.
如图所示：
过于点，于点，连接，
由对称性可知，
所以，
而，
所以，
所以，同理，
分别在棱上取点，使得，
易得，
所以截面多边形的周长为.
故选：D.
变式训练11．（2023·河南·模拟预测）在正四棱柱中，，点分别是，的中点，则过点的平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先作出图形，然后分析图形的特征，求出边长，进而得出周长.
【详解】如图，延长交的延长线于点，交的延长线于点，
连接并延长交于点，交的延长线于点，
连接，分别交，于点，，
连接，，则六边形所在平面即为平面，
六边形即为过点的平面截正四棱柱所得的截面多边形，
由全等三角形可知，，，分别为，，的中点，
因为，所以，
所以六边形的周长为．
故选：D．
变式训练12．（22-23高一下·天津南开·期中）如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 .
【答案】
【分析】为中点，则截面图形为梯形，利用勾股定理求各边的长，可得周长.
【详解】为中点，连接，
正方体中，，，则四边形为平行四边形，
有，，
为中点，是的中点，则，得，
则平面截正方体所得的截面图形为梯形，
其中，，，
则梯形的周长为 即所得的截面图形的周长是
故答案为：
变式训练13．（22-23高一下·江苏淮安·期中）正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为
【答案】
【分析】先作出平面截正方体所得截面，进而求得该截面的周长.
【详解】连接并延长交延长线于Q，则
过Q作，交于H，交于K，则，
过K作，交于T，连接，
则六边形即为平面截正方体所得截面，
又均为棱的中点，则截面的周长为
故答案为：
1．（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（ ）
A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线
【答案】C
【分析】根据直线a和b没有公共点，结合空间直线的位置关系进行判断．
【详解】∵直线a和b没有公共点，
∴直线a与b不是相交直线．
∴直线a与b可能是相交直线或异面直线．
故选：C．
2．（23-24高二上·广西桂林·开学考试）已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定与性质定理，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，则或，所以A错误；
对于B中，若，则，所以和相交、平面或异面，所以B错误；
对于C中，由，可得，又因为，所以，所以C正确；
对于D中，如图所示，若，此时与不一定垂直，所以D不正确.
故选：C.
3．（22-23高一下·河北石家庄·期中）（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线与平面不平行，则l与相交
B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内
C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行
D．如果是异面直线，，，则，是异面直线
【答案】BD
【分析】根据线线、线面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对A，若直线与平面不平行，则与相交或，故A错误；
对B，直线在平面外，则直线与平面平行或相交，
故直线在平面无交点或仅有个交点，故B正确；
对C，若直线与平面相交，
直线上仍存在两个在平面不同侧的点到平面的距离相等，则故C错误；
对D，如果是异面直线，，则异面，
则是异面直线，故D正确.
故选：BD
4．（22-23高三上·山东青岛·期中）（多选题）如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交
C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2
【答案】BCD
【分析】A：连接，根据、、与面位置关系即可判断；B：为中点，连接，易得，根据它们与面的位置关系即可判断；C：若分别是中点，连接，易知直线和所成的角为，再证明△为等边三角形即可得大小；D：若分别是中点，求面和面的夹角即可，根据面面角的定义找到其平面角即可.
【详解】A：连接，如下图面，而面，面，
所以M，N，A，B四点不共面，错误；
B：若为中点，连接，N为棱的中点，
由长方体性质知：，显然面，
若面，而面，显然有矛盾，
所以直线与平面相交，正确；
C：若分别是中点，连接，
由长方体性质易知：，
而，故，即直线和所成的角为，
由题设，易知，即△为等边三角形，
所以为，正确；
D：若分别是中点，显然，易知共面，
所以平面和平面的夹角，即为面和面的夹角，
而面面，长方体中，，
如下图，为和面夹角的平面角，，正确.
故选：BCD
5．（23-24高二上·广东深圳·期末）在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
【答案】/
【分析】构造平行线，得到两条异面直线所成的角，解三角形得到所求角的余弦.
【详解】如图：
取的中点，连接，，因为，故即为异面直线与所成的角.
在中，，，
由余弦定理：.
故答案为：
6．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点．
①存在唯一的直线与直线和直线都相交；
②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是；
③存在唯一的直线与直线和直线都垂直；
以上三个命题中，所有真命题的序号是 .
【答案】①③
【分析】根据异面直线的性质以及夹角即可结合选项求解.
【详解】对于①，若直线与直线相交，则直线在平面内，若直线与直线相交，则直线在平面内，
因此直线为平面与平面的交线，因此只有一条；
对于②，直线和直线所成角为，其补角为，，故应该是三条直线；
对于③，异面直线的公垂线有且只有一条，过点作与公垂线平行的直线即可；
故答案为：①③.
7．（23-24高二上·四川自贡·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．
(1)求证：E、F、C、四点共面：
(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明，即可得四点共面；
（2）由平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，在平面内解三角形即可.
【详解】（1）连接.
在中，点E，F分别为棱，AB的中点，
则，
在正方体中，，
，且，
四边形是平行四边形，
，则，
故、、、四点共面.
（2）由（1）知，，
则即为所求异面直线与BC所成的角，
设正方体的棱长为，
在中，，
则，
所以.
故所求异面直线与BC所成角的余弦值为．专题8 空间点、直线与平面之间的位置关系
知识点一．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
知识点二．直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b
公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一个平面内
知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 ∥
公共点个数 无数个 1 0
知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号 ∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上
重难点题型一：直线与直线的位置关系
例1．（2021·高一课时练习）以下四个结论：
①若，则为异面直线；
②若，则为异面直线；
③没有公共点的两条直线是平行直线；
④两条不平行的直线就一定相交．
其中正确答案的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
例2．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB=2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则（ ）
A．AE=CF，AC与EF是共面直线
B．，AC与EF是共面直线
C．AE=CF，AC与EF是异面直线
D．，AC与EF是异面直线
例3．（23-24高三上·陕西西安·期末）如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．
变式训练1．（2023·全国·高三对口高考）两条直线分别和异面直线都相交，则直线的位置关系是（ ）
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．可能是平行直线 D．可能是异面直线，也可能是相交直线
变式训练2．（23-24高二上·云南玉溪·期末）（多选题）在正方体中，E，F分别是线段BC，的中点，则（ ）
A．
B．
C．异面直线，EF所成角的正切值为
D．异面直线，EF所成角的正切值为
变式训练3．（20-21高一下·湖南张家界·期中）（多选题）如图，在正方体中，、、、、、分别是棱、、、、、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．直线和平行，和相交
B．直线和平行，和相交
C．直线和相交，和异面
D．直线和异面，和异面
重难点题型二：直线与平面的位置关系
例4．（23-24高三上·河南周口·期末）已知是两条不同的直线，为平面，，下列说法中正确的是（ ）
A．若，且与不垂直，则与一定不垂直
B．若与不平行，则与一定是异面直线
C．若，且，则与可能平行
D．若，则与可能垂直
例5．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）以下说法错误的是 .
①空间中三点确定一个平面
②一条直线及一个点确定一个平面
③两条直线确定一个平面
④如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等.
例6．（23-24高二上·上海·期末）下列命题中，为假命题的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．垂直于同一个平面的两条直线平行
C．是空间两条直线，若且，则
D．若直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂直于平面
变式训练4．（22-23高一下·江苏南京·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．
B．若直线上有无数个点不在平面内，则直线l与平面平行．
C．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行．
D．若两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行．
变式训练5．（22-23高一下·浙江·期中）若直线不平行平面，则以下命题成立的是 .
①内的所有直线都与异面；
②内不存在与平行的直线；
③内直线都与相交；
④直线与平面有公共点.
变式训练6．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）设直线与平面相交但不垂直，则下列说法中错误的是（ ）．
A．在平面内有且只有一条直线与直线垂直
B．过直线有且只有一个平面与平面垂直
C．与直线垂直的直线不可能与平面平行
D．与直线平行的平面不可能与平面垂直
重难点题型三：平面与平面的位置关系
例7．（20-21高二上·云南曲靖·期中）如图所示，用符号语言可表达为（ ）
A．，， B．，，
C．，，， D．，，，
例8．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是两条不同直线， 是两个不同平面，对下列命题：
①若，则.
②若，则且.
③若，，则.
④若，则.
⑤若，则.
其中正确的命题是 （填序号）.
变式训练7．（23-24高二上·上海·期末）已知m、n是两条不同直线，、、是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
变式训练8．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间的两条不同直线，是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 .
①．，则 ②．，则
③．，则 ④．，则
重难点题型四：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”、
例9．（23-24高二上·北京·阶段练习）如图，在空间四边形中，、分别是、的中点，，分别在，上，且.
(1)求证：；
(2)设与交于点，求证：三点共线.
例10．（2023·四川泸州·三模）如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为，的中点．
(1)求证：直线、、交于一点；
(2)若，求多面体的体积．
变式训练9．（2023高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中， 分别在上，与交于点，求证：三点共线.
变式训练10．（22-23高一下·四川绵阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.
(1)已知点满足，求证四点共面；
(2)求三棱柱的表面积.
重难点题型五：截面问题、
例11．（23-24高二上·江西·期末）如图，正方体的棱长为2，点E，F分别是，的中点，过点，E，F的平面截该正方体所得的截面多边形记为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
例12．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式训练11．（2023·河南·模拟预测）在正四棱柱中，，点分别是，的中点，则过点的平面截正四棱柱所得截面多边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式训练12．（22-23高一下·天津南开·期中）如图，正方体的棱长为2，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 .
变式训练13．（22-23高一下·江苏淮安·期中）正方体的棱长为1，当，，分别是，，的中点时，平面截正方体所截面的周长为
1．（23-24高二上·上海·期末）如果直线a和b没有公共点，那么a与b（ ）
A．共面 B．平行
C．可能平行，也可能是异面直线 D．是异面直线
2．（23-24高二上·广西桂林·开学考试）已知是空间中两个不同的平面，是空间中两条不同的直线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．（22-23高一下·河北石家庄·期中）（多选题）下列说法中正确的是（ ）
A．若直线与平面不平行，则l与相交
B．直线在平面外，则直线上不可能有两个点在平面内
C．如果直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行
D．如果是异面直线，，，则，是异面直线
4．（22-23高三上·山东青岛·期中）（多选题）如图，在长方体中，，M，N分别为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．M，N，A，B四点共面 B．直线与平面相交
C．直线和所成的角为 D．平面和平面的夹角的正切值为2
5．（23-24高二上·广东深圳·期末）在正方体的棱长为2，为中点，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为 .
6．（23-24高二上·上海·期末）如图，在正四棱柱中，分别是棱的中点，直线过点．
①存在唯一的直线与直线和直线都相交；
②存在唯一的直线与直线和直线所成的角都是；
③存在唯一的直线与直线和直线都垂直；
以上三个命题中，所有真命题的序号是 .
7．（23-24高二上·四川自贡·阶段练习）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．
(1)求证：E、F、C、四点共面：
(2)求异面直线与BC所成角的余弦值．
