2022-2023学年江西省九江市武宁县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省九江市武宁县九年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣2 B．4 C．﹣5 D．1
2．（3分）2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg．将数据500000用科学记数法表示，结果是（　　）
A．5×105 B．5×106 C．0.5×105 D．0.5×106
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（　　）
A．15° B．85° C．95° D．115°
5．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查
B．一组数据5，5，3，4，1的众数是5
C．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则乙的成绩比甲稳定
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，tan∠BCD＝，AB＝4，则S阴影＝（　　）
A．2π B． C． D．
7．（3分）若是二元一次方程组的解，则x+2y平方根为（　　）
A．3 B．3，﹣3 C． D．，﹣
8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝3，点D为AC延长线上的一点，CD＝AC，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H，若∠A＝∠CBD，则AB的长为（　　）
A．6 B．5 C．4.2 D．4
9．（3分）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲比乙早1分钟出发
B．乙的速度是甲的速度的2倍
C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟
D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地
10．（3分）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：a2﹣a+2＝　 　．
12．（3分）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为 　 　．
13．（3分）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：　 　．
14．（3分）如图，直线y＝ax经过点A（4，2），点B在双曲线的图象上，连结OB、AB，若∠ABO＝90°，BA＝BO，则k的值为 　 　．
15．（3分）如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE，∠EBF＝∠ACD，AB＝6，BC＝8，则AE的最小值为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（4分）计算：2sin60°+（3.14﹣π）0﹣．
17．（4分）解不等式组：．
18．（8分）化简求值：（+）÷，其中，a为的小数部分．
19．（10分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点）．求证：∠ABC＝∠D；
（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA＝∠C，并简要说明理由．
20．（9分）学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组成．九（1）班组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图，三位同学的成绩如下表．请解答下列问题：
三位同学的成绩统计表
内容 表达 风度 印象 总评成绩
小明 8 7 8 8 m
小亮 7 8 8 9 7.85
小田 7 9 7 7 7.8
（1）求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数．
（2）求表中m的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序．
（3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合理，如何调整？
21．（12分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于B（a，3），C两点．
（1）求B点的坐标及k的值；
（2）根据图象直接写出当不等式y1≥y2时x的取值范围；
（3）已知AB∥x轴，以AB、BC为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
22．（13分）如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD．
（1）求S△COD；
（2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移个单位长度得到新抛物线y1，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．
23．（15分）已知如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，BD＝DC；
（1）如图1，若AD＝1，AC＝4，求sin∠DBC的值；
（2）如图2，若AB＝AD，DE⊥AC，BD＝DE，连接BE，若点F是BE的中点，连接AF，试猜想BC与AF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB＝30°，，点P是直线BC上一点，点A关于DP的对称点是A′，连接BA′，CA′，当BA′﹣CA′取最大值时，请直接写出△A′BC的面积．
2022-2023学年江西省九江市武宁县九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列实数中，比﹣3小的数是（　　）
A．﹣2 B．4 C．﹣5 D．1
【解答】解：∵﹣2＞﹣3，4＞﹣3，﹣5＜﹣3，1＞﹣3，
∴所给的实数中，比﹣3小的数是﹣5．
故选：C．
2．（3分）2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg．将数据500000用科学记数法表示，结果是（　　）
A．5×105 B．5×106 C．0.5×105 D．0.5×106
【解答】解：数据500000用科学记数法表示为5×105．
故选：A．
3．（3分）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
4．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（　　）
A．15° B．85° C．95° D．115°
【解答】解：如图，根据生活意义，得到a，
∴∠3＝∠1＝85°；
∵∠3+∠2＝180°，
∴∠3＝95°．
故选：C．
5．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查
B．一组数据5，5，3，4，1的众数是5
C．甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则乙的成绩比甲稳定
D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件
【解答】解：A、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，本选项说法正确，不符合题意；
B、一组数据5，5，3，4，1的众数是5，本选项说法正确，不符合题意；
C、甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲＝1.1，S2乙＝2.5，则甲的成绩比甲稳定，故本选项说法错误，符合题意；
D、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，tan∠BCD＝，AB＝4，则S阴影＝（　　）
A．2π B． C． D．
【解答】解：连接OC，设AB与CD交于点M，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴＝，CM＝MD，
∵tan∠BCD＝，
∴∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OM＝BM，
∴△OMD≌BMC（SAS），
∴S阴＝S扇形OBD＝＝π．
故选：C．
7．（3分）若是二元一次方程组的解，则x+2y平方根为（　　）
A．3 B．3，﹣3 C． D．，﹣
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
①+②得，5x＝7，
∴x＝，
将x＝代入①得y＝，
∴x+2y＝+＝3，
∴x+2y的平方根为±．
故选：D．
8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝3，点D为AC延长线上的一点，CD＝AC，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H，若∠A＝∠CBD，则AB的长为（　　）
A．6 B．5 C．4.2 D．4
【解答】解：∵DH∥AB，
∴∠ABC＝∠BHD，
∵∠CBD＝∠A，
∴△ABC∽△BHD，
∴．
∵DH∥AB，
∴△ABC∽△DHC，
∴，
∴AB＝3DH，
∵BC＝3，
∴CH＝1，
∴BH＝3+1＝4，
∴，
解得：DH＝2，
∴AB＝3DH＝3×2＝6，
即AB的长是6．
故选：A．
9．（3分）甲、乙两人沿同一直道从A地到B地，在整个行程中，甲、乙离A地的距离S与时间t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（　　）
A．甲比乙早1分钟出发
B．乙的速度是甲的速度的2倍
C．若甲比乙晚5分钟到达，则甲用时10分钟
D．若甲出发时的速度为原来的2倍，则甲比乙提前1分钟到达B地
【解答】解：A、由图象得，甲比乙早1分钟出发，选项正确，不符合题意；
B、由图可得，甲乙在t＝2时相遇，甲行驶的时间为2分钟，乙行驶的时间为1分钟，路程相同，
∴乙的速度是甲的速度的2倍，选项正确，不符合题意；
C、设乙用时x分钟到达，则甲用时（x+5+1）分钟，
由B得，乙的速度是甲速度的2倍，
∴乙用的时间是甲用的时间的一半，
∴2x＝x+5+1，
解得：x＝6，
∴甲用时12分钟，选项错误，符合题意；
D、若甲出发时的速度为原来的2倍，此时甲乙速度相同，
∵甲比乙早1分钟出发，
∴甲比乙提前1分钟到达B地，选项正确，不符合题意；
故选：C．
10．（3分）如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1没有实数根．其中正确的结论个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x＝﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，∵a﹣b+c＞0，∴a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0，所以③正确；
∵抛物线与直线y＝n有一个公共点，
∴由图象可得，抛物线与直线y＝n﹣1有两个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个实数根，所以④错误．
故选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）分解因式：a2﹣a+2＝（a﹣3）2．
【解答】解：a2﹣a+2
＝（a2﹣6a+9）
＝（a﹣3）2．
故答案为：（a﹣3）2．
12．（3分）据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1100亿元．数据“1100亿”用科学记数法表示为 　1.1×1011．
【解答】解：1100亿＝110000000000＝1.1×1011．
故答案为：1.1×1011．
13．（3分）某种药品经过两次降价，由每盒50元调至36元，若第二次降价的百分率是第一次的2倍．设第一次降价的百分率为x，由题意可列得方程：　50（1﹣x）（1﹣2x）＝36　．
【解答】解：设第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为2x，
依题意，得：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．
故答案为：50（1﹣x）（1﹣2x）＝36．
14．（3分）如图，直线y＝ax经过点A（4，2），点B在双曲线的图象上，连结OB、AB，若∠ABO＝90°，BA＝BO，则k的值为 　3　．
【解答】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥BC于D，则∠COB+∠OBC＝90°，
∵∠ABO＝90°，
∴∠OBC+∠ABD＝90°，
∴∠COB＝∠ABD，
在△BOC和△ABD中，
，
∴△BOC≌△ABD（AAS），
∴OC＝BD，BC＝AD，
设B的坐标为（m，n），则OC＝m，BC＝n，
∵点A（4，2），
∴，解得，
∴B的坐标为（1，3），
∵点B在双曲线的图象上，
∴k＝1×3＝3，
故答案为：3．
15．（3分）如图，直角三角形BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE，∠EBF＝∠ACD，AB＝6，BC＝8，则AE的最小值为 ．
【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，连接EH，如图所示：
∴∠BEF＝∠BHF＝90°，
∴E、B、F、H四点共圆，
∴∠EHB＝∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，
∴∠AHE＝∠EBF，
∵∠EBF＝∠ACD，
∴∠AHE＝∠ACD＝定值，
∴点E在射线HE上运动，
当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠D＝90°，
∴AC＝＝＝10，
∴sin∠AHE＝sin∠ACD＝＝，
∵S△ACB＝AB CB＝AC BH，
即×6×8＝10×BH，
∴BH＝，
在Rt△AHB中，由勾股定理得：AH＝＝＝，
∴AE的最小值＝AH sin∠AHE＝×＝．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（4分）计算：2sin60°+（3.14﹣π）0﹣．
【解答】解：原式＝2×+1﹣3+2
＝．
17．（4分）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜﹣2，
解不等式②得：x≥﹣5，
∴不等式组的解集为﹣5≤x＜﹣2．
18．（8分）化简求值：（+）÷，其中，a为的小数部分．
【解答】解：原式＝[+]
＝
＝
＝﹣
∵a为的小数部分，
∴a＝﹣2，
当a＝﹣2，
原式＝﹣﹣＝﹣．
19．（10分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点）．求证：∠ABC＝∠D；
（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA＝∠C，并简要说明理由．
【解答】（1）证明：取格点K，T，连接BT，AT，如图：
由网格的特征知，D，A，T共线，
∵DT2＝18，BT2＝2，BD2＝20，
∴DT2+BT2＝BD2，
∴∠BTD＝90°，
∴tanD＝＝＝；
在Rt△BCK中，tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝∠D；
（2）解：取格点D，E，连接并延长BD交AC于点P，如图：
点P即为所求；
理由：
∵∠AEC＝45°+45°＝90°，CE＝2，AE＝，
∴tanC＝＝；
在Rt△ABD中，tan∠ABP＝＝，
∴∠ABP＝∠C．
20．（9分）学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组成．九（1）班组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图，三位同学的成绩如下表．请解答下列问题：
三位同学的成绩统计表
内容 表达 风度 印象 总评成绩
小明 8 7 8 8 m
小亮 7 8 8 9 7.85
小田 7 9 7 7 7.8
（1）求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数．
（2）求表中m的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序．
（3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合理，如何调整？
【解答】解：（1）“内容”所占比例为1﹣15%﹣15%﹣40%＝30%，
∴表示“内容”的扇形的圆心角度数为360°×30%＝108°；
（2）m＝8×30%+7×40%+8×15%+8×15%＝7.6．
∵7.85＞7.8＞7.6，
三人成绩从高到低的排名顺序为：小亮，小田，小明；
（3）班级制定的各部分所占比例不合理．
可调整为：“内容”所占百分比为40%，“表达”所占百分比为30%，其它不变（答案不唯一）．
21．（12分）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于B（a，3），C两点．
（1）求B点的坐标及k的值；
（2）根据图象直接写出当不等式y1≥y2时x的取值范围；
（3）已知AB∥x轴，以AB、BC为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．
【解答】解：（1）将B（a，3）代入得，
，
∴a＝2，
∴B（2，3），
将B（2，3）代入得，
∴k＝2×3＝6；
（2）∵B，C关于原点对称，
∴C（﹣2，﹣3），
由图象知，当x≤﹣2或0＜x≤2时，，即y1≥y2．
故答案为：x≤﹣2或0＜x≤2；
（3）作点C作CH⊥AB于点H，
∵B（2，3），C（﹣2，﹣3），
∴CH＝6，BH＝4，
由勾股定理得，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，
∴菱形ABCD的面积为．
22．（13分）如图，已知二次函数y＝x2﹣3x﹣4的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D，点A为抛物线的顶点，连接CD．
（1）求S△COD；
（2）如图1，点P在直线CD下方抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥CD交于点Q，过点P作PE∥x轴交CD于点E，求PE+PQ的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线DC方向平移个单位长度得到新抛物线y1，点M在新抛物线对称轴上运动，点N是平面内一点，若以B、P、M、N为顶点的四边形是以BM为边的菱形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并选择其中一个点的坐标写出求解过程．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣4，
∴D（0，﹣4），
∴OD＝4，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（﹣1，0），C（4，0），
∴OC＝4，
∴S△COD＝OC OD＝×4×4＝8；
（2）设直线CD的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣3t﹣4），
∵OC＝OD＝4，∠COD＝90°，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠DCO＝45°，
∵PE∥x轴，
∴∠PEQ＝∠DCO＝45°，点E的纵坐标与点P的纵坐标相同，
∴t2﹣3t﹣4＝x﹣4，
∴x＝t2﹣3t，
∴E（t2﹣3t，t2﹣3t﹣4），
∴PE＝t﹣（t2﹣3t）＝﹣t2+4t，
∵PQ⊥CD，
∴△PEQ是等腰直角三角形，
∴PQ＝PE＝（﹣t2+4t），
∴PE+PQ＝﹣t2+4t+（﹣t2+4t）＝﹣（t﹣2）2+2+4，
∵﹣＜0，
∴当t＝2时，PE+PQ取得最大值，最大值为2+4，此时点P的坐标为（2，﹣6）；
（3）依题意，抛物线沿射线DC平移2个单位即抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位．
平移后抛物线解析式为：y1＝（x﹣）2﹣，对称轴为直线x＝．
故设点M（，m），又B（﹣1，0），P（2，﹣6）．
∴BP＝＝3，
BM＝＝，
PM＝＝．
由题意知，以BM为腰的等腰三角形△BPM有两种情况：
①如图1，当BP＝BM时，
则3＝，
解得：m1＝，m2＝﹣．
M1（，），M2（，﹣）．
由平行四边形对角线互相平分可知：
，
∴N1（，﹣6+），N2（，﹣6﹣）；
②如图2，当PM＝BM时，
则＝，
解得：m＝﹣，
∴M3（，﹣），
∴N3（﹣，﹣），
综上：使以BM为边的菱形的N点有：N1（，﹣6+），N2（，﹣6﹣），N3（﹣，﹣）．
23．（15分）已知如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，BD＝DC；
（1）如图1，若AD＝1，AC＝4，求sin∠DBC的值；
（2）如图2，若AB＝AD，DE⊥AC，BD＝DE，连接BE，若点F是BE的中点，连接AF，试猜想BC与AF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠ACB＝30°，，点P是直线BC上一点，点A关于DP的对称点是A′，连接BA′，CA′，当BA′﹣CA′取最大值时，请直接写出△A′BC的面积．
【解答】解：（1）∵AD＝1，AC＝4，
∴BD＝CD＝AC﹣AD＝3，
∵∠BAC＝90°，
∴AB＝，
∴BC＝，
∴sinC＝，
∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠C，
∴sin∠DBC＝；
（2）如图1，
BC＝2AF，理由如下：
延长AF，交DE的延长线于G，
∵DE⊥AC，
∴∠ADG＝∠BAC＝90°，
∴AB∥DE，
∴∠BAF＝∠G，
∵F是BE的中点，
∴BF＝EF，
∵∠AFB＝∠GFE，
∴△ABF≌△GEF（AAS），
∴EG＝AB，AF＝AG，
不妨设EG＝AB＝AD＝1，则BD＝DE＝CD＝，
∴DE+EG＝CD+AD＝，
∴DG＝AC，
∴△ADG≌△BAC（SAS），
∴BC＝AG＝2AF，
（3）如图2，
∵BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴∠DBC＝∠ACB＝30°，∠ABC＝90°﹣∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝30°，∠BDC＝120°，
∵AB＝，
∴AD＝1，
∵点A关于DP的对称点是A′，
∴DA′＝AD＝1，
作等腰三角形QDA′，使∠QDA′＝∠BDC＝120°，QD＝DA′＝1，连接BQ，
∴∠BDQ＝∠CDA′，QA′＝DA′＝，
∴△BDQ≌△CDA′（SAS），
∴CA′＝BQ，
∴BA′﹣CA′＝BA′﹣BQ≤QA，
当B、Q、A′共线时，BA′﹣CA′最大，
如图3，
作DX⊥BA′于X，
∴DX＝DQ＝1，
∴BX＝＝，
∴BQ＝BX﹣QX＝，BA′＝BX+XA，
∴S△DCA′＝S△BDQ＝＝，
∵S△BCD＝BC DH＝＝，
∴S四边形DBCA′＝S△BCD+S△DCA′＝，
∵S△BDA′＝＝，
∴S△A′BC＝S四边形DBCA′﹣S△BDA′＝＝．
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