珠海市第一中学2023-2024学年高二下学期数学期中模拟卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等差数列中，，，则（ ）
A．54 B．56 C．58 D．61
2．已知函数的导数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（ ）
A．21种 B．30种 C．42种 D．60种
4．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为
A． B． C． D．
5．在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（ ）．
A． B． C．60 D．80
6．已知等差数列中，，前5项的和满足，则公差取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．若正项数列满足，，设，，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．对任意的正整数n，恒有 B．对任意的正整数n，恒有
C．对任意的正整数n，恒有 D．对任意的正整数n，恒有
8．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A． B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项
10．设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（ ）
A．是等差数列，且，公差 B．是等比数列，且公比满足
C．
D．，
11．设定义在上的函数的导函数分别为，若，且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的图象关于对称
C． D．函数为周期函数，且周期为8
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．函数的增区间是 , 曲线在点处的切线方程是 .
13．《九章算术》卷第六《均输》中,有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何 ”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊,且五人所得依次成等差数列,则乙与丙两人共分得 钱
14．如图所示的五个区域中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 （用数字作答）．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知（），若的展开式中，______.
(1)求n的值；
(2)求的系数；
(3)求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
16．已知首项为2的数列中，前n项和满足．
（1）求实数t的值及数列的通项公式；
（2）将①，②，③三个条件任选一个补充在题中，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．已知函数
（1）当时求函数的单调区间；
（2）讨论函数的单调性
18．已知数列，满足，且，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
19．已知，．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）设，是的两个极值点，若，求的最小值．珠海市第一中学2023-2024学年高二下学期数学期中模拟卷03
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．等差数列中，，，则（ ）
A．54 B．56 C．58 D．61
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，由题意列出和的方程组，解得和，最后写出即可.
【详解】设等差数列的公差为，则有，
解得：，故.
故选：C
【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.
2．已知函数的导数为，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先求出，再令即可求解.
【详解】由，
则，
令，
则，
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查了基本初等函数的导数以及导数的基本运算法则，属于基础题.
3．某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有（ ）
A．21种 B．30种 C．42种 D．60种
【答案】C
【分析】把4人分成2个组，选择2个社团，把2个组分配给2个社团.
【详解】4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2 人，有种方案，
3个社团选择2个社团，有种方案，
把2个组分配给2个社团，有种方案，
由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有种．
故选：C
4．在100件产品中，有3件是次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法种数为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：恰好有2件次品时，取法为，恰好有3件次品时，取法为，所以总数为．
考点：排列组合．
5．在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（ ）．
A． B． C．60 D．80
【答案】C
【分析】先根据仅第四项的二项式系数最大确定的值，然后结合二项式展开式的通项即可求解.
【详解】由题意可知，，所以二项式的展开式的通项公式为，
令，得，所以展开式中常数项为
故选：C
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题.
6．已知等差数列中，，前5项的和满足，则公差取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】计算，然后根据，简单计算，可得结果.
【详解】由题可知：
，
又，所以，
解得.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的前和以及公差的范围，关键在于用表示，属基础题.
7．若正项数列满足，，设，，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．对任意的正整数n，恒有 B．对任意的正整数n，恒有
C．对任意的正整数n，恒有 D．对任意的正整数n，恒有
【答案】C
【分析】构造，求导后得到单调性和极值，最值情况，故而得到，推出，A错误；举出反例可得B错误；得到，累加法得到，从而得到，D错误，C正确.
【详解】设函数，则，
可得在上严格递减，在上严格递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，故.
又，则.
因为，即，所以排除B；
因为，故当时，，此时排除A；
因为，即，
所以，得，即，
所以排除D，
故选：C.
【点睛】数列是一种特殊的函数，即定义域为正整数集的函数，故除利用通项公式，求和公式外还可利用函数，导函数的知识点来处理数列问题.
8．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，由可得，利用导数可确定与图象的位置关系，进而得到与有三个不同交点，并根据图象可确定三个交点，采用数形结合的方式可确定与、和的交点总数，即为所求的零点个数.
【详解】设，令可得：；
设与相切于点，
，切线斜率为，则切线方程为：，即，
，解得：，；
设与相切于点，
，切线斜率为，则切线方程为：，即，
，解得：，；
作出与图象如下图所示，
与有三个不同交点，
即与有三个不同交点，设三个交点为，
由图象可知：；
与无交点，与有三个不同交点，与有两个不同交点，
的零点个数为个.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求解函数零点个数常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根的个数，即为所求零点个数；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
二、多选题
9．已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ）
A． B．展开式中的常数项为45
C．含的项的系数为210 D．展开式中的有理项有5项
【答案】ABC
【分析】根据二项式的展开式的通项公式，结合第3项与第5项的系数之比为，可得.再根据公式逐个选项判断即可.
【详解】二项式的展开式的通项为，由于第3项与第5项的系数之比为，则，故，得.
∴(n＋5)(n－10)＝0，解得n＝10，故A正确；
则，令，解得，
则展开式中的常数项为，故B正确；
令，解得，则含的项的系数为，故C正确；
令，则r为偶数，此时，故6项有理项．
故选：ABC
10．设数列的前项和为，若存在实数，使得对于任意的，都有，则称数列为“数列”．则以下数列为“数列”的是（ ）
A．是等差数列，且，公差
B．是等比数列，且公比满足
C．
D．，
【答案】BC
【分析】求出数列的前项和，然后判断对，有无正实数，使得成立.
【详解】A中，若是等差数列，，公差，
则，是关于的二次函数，当时，，对于任意的，不存在实数，使得恒成立，所以数列不是“数列”．
B中，若是等比数列，且公比满足，
则，
所以数列是“数列”．
C中，，
所以
，
则数列是“数列”．
D中，在数列中，，，
当是奇数时，，
数列中奇数项构成常数列，且各项均为1；
当是偶数时，，即任意两个连续偶数项和为0，
则对于任意的，，不存在实数，使得恒成立．
所以数列不是“数列”．
故选：BC．
11．设定义在上的函数的导函数分别为，若，且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的图象关于对称
C． D．函数为周期函数，且周期为8
【答案】AD
【分析】对于A项，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；
对于D项，根据找到与的关系，根据A项的表达式得到的周期；
对于C项，根据的表达式，令特值求解即可.
对于B项，根据，且为偶函数求出一个周期内仅有的两条对称轴，得结果.
【详解】对于A 项，为偶函数
令，则
，故A正确；
对于D 项，
用代替原来的得：①
又是偶函数
用代替原来的得：②
由①②结合得：③
又
用代替原来的得：④
由③④联立得：⑤
用代替原来的得：⑥
⑥⑤得：,所以函数为周期函数，且周期为8，
用代替原来的得：⑦
用代替原来的得：⑧
用代替原来的得：⑨
结合⑦⑧⑨得，
用代替原来的得：，
所以函数为周期函数，且周期为8，故D正确；
对于C 项，为满足题意的一组解，
但，故C错误.
对于B项，因为 为满足题意的一组解，
但不关于对称，所以B错误.
故选：AD
三、填空题
12．函数的增区间是 , 曲线在点处的切线方程是 .
【答案】 （开区间也对）
【分析】第一个空：先求函数的定义域，然后求导，求出当导函数不小于零时，的取值范围；
第二个空：把代入导函数中，求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程．
【详解】第一个空：函数,，，显然当时，有，所以函数的增区间是（开区间也对）；
第二个空：，所以曲线在点处的切线方程是．
【点睛】本题考查了利用导数求函数的切线方程以及单调区间的问题．
13．《九章算术》卷第六《均输》中,有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何 ”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊,且五人所得依次成等差数列,则乙与丙两人共分得 钱
【答案】
【分析】设出等差数列的首项和公差，利用前项和以及前两项和等于后三项和列方程组，解方程组求得，由此求得乙、丙两人分得的钱，再相加求得结果.
【详解】设甲、乙、丙、丁、戊分别为，等差数列公差为，依题意有，即，解得.乙、丙两人共分得.
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列基本元的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.
14．如图所示的五个区域中，现要求在五个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】利用分步乘法及分类加法计数原理即可求解.
【详解】设这四个颜色分别为，先给区域涂色，有种涂法；
假设区域涂的是颜色1，再给区域涂色，可以是颜色,有种涂法;
假设区域涂的是颜色，再给区域涂色，可以是颜色，有种涂法;
假设区域涂的是颜色，如果区域涂的是颜色，则区域可以涂颜色或颜色，有种涂法;
如果区域涂的是颜色4,那么区域可以涂颜色，有1种涂法.
所以不同的涂色方法种数为 (种)
故答案为：.
四、解答题
15．在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知（），若的展开式中，______.
(1)求n的值；
(2)求的系数；
(3)求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】
（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出.
（2）由（1）的结论，结合二项式定理求出.
（3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.
【详解】（1）选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即，
所以.
选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，
所以.
选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，的展开式中项为：，
所以.
（3）由（1）知，的展开式中，当时，，
当时，，
所以.
16．已知首项为2的数列中，前n项和满足．
（1）求实数t的值及数列的通项公式；
（2）将①，②，③三个条件任选一个补充在题中，求数列的前n项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由可求出，然后可求出；
（2）若选①用裂项相消法求出答案，若选②用分组求和法求出答案，若选③用错位相减法求出答案.
【详解】令得，所以
当时，经验证符合上式
若选①，，
所以
若选②：
若选③，，
，
则，
两式相减得：
，
故．
17．已知函数
（1）当时求函数的单调区间；
（2）讨论函数的单调性
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）将的值代入，分析的取值正负由此得到的单调区间；
（2）对于与的大小作分类讨论，从而分析出的单调性.
【详解】（1）当时，
当时，；当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上可知：的单调递增区间：和；单调递减区间：；
（2），
当时，，时，时，时，
所以在上递增，在上递减，在上递增；
当时，，时，时，时，
所以在上递增，在上递减，在上递增；
当时，，所以在上递增；
综上可知：时，在上递增，在上递减，在上递增；
时，在上递增，在上递减，在上递增；
时，在上递增.
【点睛】本题考查利用导数求解具体函数的单调区间以及分析含参函数的单调性，难度一般.分析含参函数的单调性时，要注意分类讨论.
18．已知数列，满足，且，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据递推关系式变形可构造等差数列，利用等差数列求解；
（2）求出，放缩后利用裂项相消法求和可证不等式成立.
【详解】（1），
，又，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，即.
（2）由（1）知，
，
，
.
19．已知，．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）设，是的两个极值点，若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由导数求得f(x)在x=2处的切线斜率，再由点斜率式写出切线方程．（2）定义域为，，分和和和四种情况讨论的单调性．（3）由（2）知，当时在单调递增，单调递减，单调递增．所以，记，，
由导数求得最小值．
【详解】（1）时，，
∴，又∵
∴在处的切线方程为
即
（2）定义域为
令，则或
若，则在单调递增，单调递减
若，则在单调递增，单调递减，单调递增
若，则在单调递增
若，则在单调递增，单调递减，单调递增
（3）由（2）知，当时
在单调递增，单调递减，单调递增
故
记，，则
∴在单调递增
∴，即的最小值为
【点睛】可导函数y=f(x)在处的导数就是曲线y=f(x)在处的切线斜率,这就是导数的几何意义,在利用导数的几何意义求曲线切线方程时,要注意区分“在某点处的切线”与“过某点的切线”,已知y=f(x)在处的切线是,若求曲线y=f(x)过点(m,n)的切线,应先设出切点,把(m,n)代入,求出切点，然后再确定切线方程.而对于切线相同，则分别设切点求出切线方程，再两直线方程系数成比例．
