人教版八年级下册第十七章 勾股定理 单元验收卷(含解析)

第十七章 勾股定理 单元验收卷
满分：120分 时间：90分钟
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）观察下列各组数：①7，12，15，②8，15，17，③7，24，25，④12，15，20，其中能作为直角三角形三边长的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
2．（本题3分）在中，、、的对应边分别是a、b、c，若，则下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）三角形的三边a，b，c满足，则此三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
4．（本题3分）如图，一棵树（树干与地面垂直）高米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为米，则这棵树断裂处点B离地面的高度的值为（ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
（6） （7） （10）
5．（本题3分）一架5m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙角4m，若梯子的顶端下滑1m，则梯子的底端将滑动（ ）
A．0m B．1m C． D．
6．（本题3分）某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（　　）
A．2560元 B．2620元 C．2720元 D．2840元
7．（本题3分）如图，在中，，，点在上，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列说法错误的是（ ）
A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
B．如果c2=a2+b2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C．如果，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°
D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，那么△ABC是直角三角形 ，且∠A=90°
9．（本题3分）下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．若两数相等，则它们的绝对值相等
C．若两个角是45，那么这两个角相等 D．两直线平行，同位角相等
10．（本题3分）一只蚂蚁从圆柱体的下底面点沿着侧面爬到上底面点，已知圆柱的底面半径为，高为（取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
评卷人得分
二、填空题（共30分）
11．（本题3分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形，，的面积依次为，，，则正方形的面积为 ．
12．（本题3分）一艘轮船以的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距 ．
13．（本题3分）一个三角形的三边长度之比为15：8：17，则这个三角形的最大角是 度．
14．（本题3分）已知：在中，，，，则 ．
15．（本题3分）在平面直角坐标系中，，则线段
16．（本题3分）已知a、b、c是的三边长，且满足关系，则的形状是 ．
17．（本题3分）如图，在中，是边上的中线，，，，则的长为 ．
（14） （17）
18．（本题3分）如图，是一张长方形纸片，．在边上取一点E，在上取一点F，将纸片沿折叠，点C恰好落在点A处，则线段的长度为 ．

（20）
19．（本题3分）在中，，，高，则 ．
20．（本题3分）已知：如图，等腰直角△ABC，∠BAC=90，AB=AC，点D为△ABC外一点，∠ADB=45，连接CD，AD=4，CD=10，则四边形ACBD的面积为
评卷人得分
三、问答题（共60分）
21．（本题6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
22．（本题7分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图1中画一条长度为的线段，要求线段的端点在格点上；
(2)在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；
(3)如图3，点A，B，C是小正方形的顶点，求的度数．
23．（本题7分）如图，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．
24．（本题8分）如图所示，在长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则求的长为多少？

25．（本题10分）如图，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向上，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在渔船的北偏东30°方向上．
（1）求A处与小岛C之间的距离；
（2）渔船到达B处后，航行方向不变，当渔船继续航行多长时间时，才能与小岛C的距离最短．
26．（本题10分）（1）在一次数学探究活动中，陈老师给出了一道题．
如图1，已知中，，，是内的一点，且，，，求的度数．
小强在解决此题时，是将绕旋转到的位置（即过作，且使，连接、．你知道小强是怎么解决的吗？
（2）请根据（1）的思想解决以下问题：
如图2所示，设是等边内一点，，，，求的度数．
27．（本题12分）已知等腰直角三角形，，．点边上的一个动点（不与点重合），点在直线上，连接，且．
(1)若点线段上一点，如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与的数量关系为 ；位置关系为 ．
(2)若点是线段延长线上一点，如图2，作点于直线对称点，连接．求证：．
(3)如图3，若， ，求的长．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
由勾股定理的逆定理得出②③能构成直角三角形，①④不能构成直角三角形；即可得出结论．
【详解】解：，
∴7，12，15不能构成直角三角形，
∴①不能作为直角三角形三边长；
∵，
∴8，15，17能构成直角三角形，
∴②能作为直角三角形三边长；
，
∴7，24，25能构成直角三角形，
∴③能作为直角三角形三边长；
，
∴12，15，20不能构成直角三角形，
∴④不能作为直角三角形三边长；
∴能作为直角三角形三边长的有2组，
故选：B．
2．C
【分析】由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴为直角三角形，
则根据勾股定理得：．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．B
【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理．先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
4．D
【分析】设这棵树断裂处点B离地面的高度的值为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设这棵树断裂处点B离地面的高度的值为x，则、，
∵是直角三角形，
∴，即，解得：，即．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题关键．
5．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用．由题意画出图形，由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意画出图形如下：
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即梯子的底端将滑动，
故选：D．
6．C
【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
【详解】
利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为米、5米，
∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，
∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．
故选C.
【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
7．D
【分析】由勾股定理求出CD=1，再根据∠ADC是△ABD的外角，证出∠B=∠BAD，从而有BD=AD，即可求出BC的长．
【详解】解：在Rt△ACD中，由勾股定理得：
CD= ＝1，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠ADC=2∠B，
∴∠B=∠BAD，
∴BD=AD=，
∴BC=+1．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角形外角的性质、等腰三角形的判定等知识，利用外角证出∠B=∠BAD是解题的关键．
8．C
【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理以及三角形的内角和进行判断即可．
【详解】解：A．因为∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，所以2∠C=180°，即∠C=90°．故选项正确；
B．因为，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°，故该选项正确；
C．因为，所以，则△ABC是直角三角形，且∠B=90°．故选项错误；
D．因为∠A：∠B：∠C=5：2：3，所以∠A=90°，∠B=36°，∠C=54°，则△ABC是直角三角形，且∠A=90°．故选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的定义，熟练掌握直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．D
【分析】先分别写出四个命题的逆命题，根据三角形全等的判定方法对A的逆命题进行判断；根据相反数的绝对值相等对B的逆命题进行判断；根据两个角相等，这两个角可为任意角度可对C的逆命题进行判断；根据平行线的判定定理对D的逆命题进行判断．
【详解】A. “全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以A选项错误；
B. “若两数相等，则它们的绝对值相等”的逆命题为“若两数的绝对值相等，则这两数相等”，此逆命题为假命题，所以B选项错误；
C. “若两个角是45°,那么这两个角相等”的逆命题为“若两个角相等,你们这两个角是45°”，此逆命题为假命题，所以C选项错误；
D. “两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以D选项正确.
故选D.
【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握掌握各性质定义.
10．C
【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点、的最短距离为线段的长．
在中，，，为底面半圆弧长，
，
所以．
故选：C．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答．
11．
【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形D的面积，即可得到结果．
【详解】
由题意得，正方形的面积为，
则正方形的面积．
故答案为：．
12．26
【分析】先算出它们离开港口半小时后各自航行的路程，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意可知，两艘轮船航行的路线成垂直关系，
它们离开港口半小时后各自航行的路程分别为、，
∴它们离开港口半小时后相距，
故答案为：26．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13．90
【分析】一个三角形的三边符合a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
【详解】解：设三角形的三边分别为8x，15x，17x，
∵（8x）2+（15x）2=（17x）2，
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，最大角是90°．
故答案为：90．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形．
14．
【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，过点A作交延长线于H，利用平角的定义和三角形内角和定理求出，则，，利用勾股定理得到，代值计算即可．
【详解】解：如图所示，过点A作交延长线于H，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴，即，
∴（负值舍去），
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据坐标系中两点距离计算公式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
16．等腰直角三角形
【分析】
本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆运用，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，列式求出a、b，c的关系，即可得解．
【详解】解：根据题意得：，
，
的形状是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
17．
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
如图：作交的延长线于点E，,再证可得，；再运用勾股定理可得，最后根据三角形的中线的定义即可解答．
【详解】解：作交的延长线于点E，,
∵是边上的中线，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴,
∴，
∵
∴.
故答案为：．
18．
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质．等腰三角形的判定和性质，图形的折叠问题．过点F作于点G，则，，根据平行线的性质乙折叠的性质可得，从而得到，设，则，在中，根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点F作于点G，则，，

根据题意得：，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
19．12.5或5.5
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
【详解】解：分两种情况讨论：①如图1，锐角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中，，，
由勾股定理得，
，
的长为；
②如图2，钝角中，，，边上高，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
的长为．
故答案为：12.5或5.5．
20．22
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交DA的延长线于F，由∠BAC=90，AB=AC，得到∠EAB+∠FAC=∠EAB+∠EBA=90，证出∠ABE=∠FAC，推出△ABE≌△AFC，得到AE=CF，BE=AF，设AE=CF=x，AF=BE=DE=y，根据勾股定理得到CF=AE=，AF=BE=DE=3，AC= =2，于是得到S四边形ACBD=S△ABD+S△ABC=AD BE+AC AB=×4×3+×2×2=22．
【详解】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交DA的延长线于F，
∵∠BAC=90，AB=AC，
∴∠EAB+∠FAC=∠EAB+∠EBA=90，
∴∠ABE=∠FAC，
在△ABE与△CAF中， ，
∴△ABE≌△AFC，
∴AE=CF，BE=AF，
∵∠ADB=45，
∴DE=BE，
设AE=CF=x，AF=BE=DE=y，
在Rt△CDF中，DF2+CF2=CD2，
即：（x+2y）2+x2=102，
∵x+y=4，
∴x=，y=3，
∴CF=AE=，AF=BE=DE=3，
∴AC==2，
∴S四边形ACBD=S△ABD+S△ABC=AD BE+AC AB=×4×3+×2×2=22．
故答案为22．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的求法，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
21．△ABC的周长是6+2
【分析】根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可求出答案．
【详解】解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=180°﹣90°﹣60°=30°，
∴BC=2AB=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=
=2，
∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2．
答：△ABC的周长是6+2．
【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
22．(1)详见解析
(2)详见解析
(3)
【分析】（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）连接AC，证明△ABC是等腰直角三角形即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，线段AB即为所求；
；
（2）解：如图所示，△ABC即为所求；
；
（3）解：如图3所示，连接AC，
∵，，，
∴，，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知勾股定理与勾股定理的逆定理是解题的关键．
23．24 cm
【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】如图，连接AC，
在Rt△ABC中，AB=4cm， BC=3cm，
AC= 5cm，
在△ACD中 ，CD=12cm，　DA=13cm，
∴AC2 +CD2=AD2，
△ADC是直角三角形，∠ACD=90°，
S四边形ABCD=S△ADC-S△ABC，
S四边形ABCD = ×AC×CD-× AB×BC
= ×5×12- ×4×3
=24（cm ） .
【点睛】此题考查了勾股定理及逆定理，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
24．
【分析】先根据矩形的性质得，，再根据折叠的性质可以得到，，，然后根据题目中的数据，即可得到的长，最后根据勾股定理即可求得和的长．
【详解】解：四边形是长方形，，
，
是翻折而成，
，，
∴是直角三角形，
，
在中，
设，
在中，，即，解得
【点睛】本题考查的是翻折变换、勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
25．（1）20海里；（2）当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短．
【分析】（1）作BH⊥AC于H．首先证明AB=BC，AH=HC，在直角△ABH中利用勾股定理求出HA即可解决问题；
（2）作CK⊥AB交AB的延长线于K．求出BK即可解决问题；
【详解】（1）作BH⊥AC于H．
∵∠CBD=∠CAB+∠BCA，∠CAB=30°，∠CBD=60°，
∴∠ACB=∠BAC=30°
∴BA=BC=30×=20海里．
∵BH⊥AC，
∴BH=AB=10海里，
∴AH==10海里，
∴AC=2AH=20海里．
（2）作CK⊥AB交AB的延长线于K．
在Rt△BCK中，∠BCK=90°－∠CBK=30°，
BK= BC=10海里，
∴时间t=小时=20分钟．
∴当渔船继续航行20分钟才能与小岛C的距离最短．
【点睛】此题考查勾股定理的应用—方向角问题，解题关键在于结合航海中的实际问题，利用勾股定理和含有30°角的直角三角形性质是解决问题的关键．
26．（1）；（2）
【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等腰直角三角形，得到：利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理得到，再利用，即可得解；
（2）将绕点逆时针旋转到的位置，连接；根据旋转的性质，得到是等边三角形，利用勾股定理逆定理，得到，利用，即可得解．
【详解】解：（1）如图1，由题意得：
；；
由勾股定理得：；
，，
，
，
，
．
（2）如图2，将绕点逆时针旋转到的位置，连接；
则，，；
为等边三角形，，；
，，
，
，，
．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，以及勾股定理逆定理．通过旋转，构造全等三角形，进而得到等腰三角形和直角三角形，是解题的关键．
27．(1)
(2)证明见解析
(3)或
【分析】（1）根据证明即可求证；
（2）根据点关于直线的对称点，等腰直角三角形的性质可证，可得，，再证明可得，在中，根据勾股定理即可求证；
（3）根据题意，结合图形，分类讨论：①如图所示，在延长线上时；②如图所示，在上，在点的左边时；根据（1），（2）的结论即可求证．
【详解】（1）解：，理由如下，
∵等腰直角三角形，，，
∴，
∵点关于直线的对称点，且，
∴，，则
∵，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
故答案为：．
（2）证明：如图所示，
∵点关于直线的对称点，且，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，则，，
在中，
，
∴，
∴，
∴在中，，且，，
∴．
（3）解：①如图所示，在延长线上时，作关于对称点，连接，
∵在中，，，
∴，
∴，
由（2）知， ，，
设，则，
∴，
∴由（2）的结论可知，，即，解得，，
∴；
②如图所示，在上，在点的左边时，作关于对称点，连接，
同理，
∵，BD＝，
∴，
由（1）知， ，设，则，，
∴，即，解得，，
∴，
∴，
∴；
综上所示，或．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
答案第1页，共2页
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