安徽省淮北市濉溪县2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题（含解析）

濉溪县2023-2024学年高一下学期第一次月考
数学
考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：北师大版必修第一册，人教版必修第一册三角函数5.1～5.4.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2.下列各角中，与996°终边相同的角为（ ）
A. B. C.245° D.84°
3.若是锐角，则（）是（ ）
A.第一象限角 B.第三象限角
C.第一象限角或第三象限角 D.第二象限角或第四象限角
4.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知幂函数满足，则（ ）
A. B.1 C. D.
6.若函数对任意都有，且当时，，则（ ）
A. B.8 C. D.12
7.2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列入第五批国家级非遗代表性项目名录.如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为，内弧长为，则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（ ）
A. B. C. D.
8.若关于的不等式的解集为，则的值为（ ）
A. B.1 C.2 D.3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.化成弧度是 B.化成角度是18°
C.1°化成弧度是 D.化成角度是
10.下列不等式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，则下列说法错误的是（ ）
A.函数的最小正周期为 B.函数的图象关于点对称
C.函数的图象关于直线对称 D.函数在上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.时间经过五个小时，时针转过的角为______.
13.已知，若，则的值为______.
14.设函数，，若，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知.
（1）化简；
（2）已知，求的值.
16.（本小题满分15分）
已知函数（）图象的一个最高点坐标为.
（1）求；
（2）求函数的单调增区间；
（3），总成立.求实数的取值范围.
17.（本小题满分15分）
某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照，，，，，分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数；
（3）为了进一步了解学生对数学学习的情况，在成绩位于和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率.
18.（本小题满分17分）
已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性，并作简要说明，无需证明；
（3）若存在，使成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知函数，.
（1）若，求实数的值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.
濉溪县2023-2024学年高一下学期第一次月考数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C B A C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号 9 10 11
答案 AB ACD BC
1. D 因为，所以，.
2. A
3. C 当为奇数时，为第三象限角；当为偶数时，为第一象限角.故选C.
4.C 角的终边经过点，则，故选C.
5. B 由幂函数的定义可知，，即，解得或.
当时，在上单调递减，满足；
当时，在上单调递增，不满足.故选B.
6. A 因为，所以，所以周期为6，
当时，，.
7. C 由题知，内弧对应扇形的半径为，设连接外弧与内弧的两端的线段长均为，
则，∴，∴连接外弧与内弧的两端的线段长均为.故选C.
8. B 因为关于的不等式的解集为，所以当时，，即.由题意可知与轴只有一个交点，即，即，化简得，解得，所以.
9. AB 10. ACD
11. BC 因为，所以函数的最小正周期，故A正确；，所以函数的图象关于直线对称，故B错误；
，
所以的图象关于点对称，故C错误；
若，则，因为在上单调递减，
所以在上单调递减，故D正确.故选BC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.
13. 因为，，所以，所以，，
因此.
14. 因为为偶函数，且当时，函数单调递增，
所以，即，
所以，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.解：（1）.
（2）∵，
∴.
16.解：（1）因为，
得，，而，故.
（2）由（1）得，
由，，得，，
所以函数的单调增区间为，.
（3）由，恒成立，得，
因为，所以.
所以当时，取得最小值.
所以的取值范围是.
17.解：（1）由，
可得.
（2）由（1）知样本数据中数学考试成绩90分以下的所占比例为，
110分以下的所占比例为，
因此，中位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的中位数约为97.5分，
据此可以估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数约为97.5分.
（3）由题意分数段的人数为，
分数段的人数为，
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，
则需在分数段内抽取2人，分别记为，，
分数段内抽取3人，分别记为，，.
设“从这5名学生中任取2人，至少有1人成绩在）内”为事件，
则样本空间，共包含10个样本点，
而事件包含7个样本点，，
∴抽取的这2名学生至少有1人成绩在内的概率为.
18.解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，所以.
又因为，所以，
将代入，整理得，
当时，有，即，
又因为当时，有，所以，所以.
经检验符合题意，所以，.
（2）由（1）知：函数，
因为为上的单调增函数，且，
则函数在上是减函数.
（3）因为存在，使成立，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以不等式可转化为，
又因为函数在上是减函数，
所以，所以，
令，
由题意可得，又因为，
所以.即的取值范围为.
19.解：（1），
∴，∴.
（2）令，
则，
由得，
∵在上是增函数，在上是减函数，
且，，，
∴时，有两个值；或时，有一个值，
其它情况，值不存在，
∴时，，函数只有1个零点，
时，，要有2个零点，有，∴，
时，，要有2个零点，有，∴，
综上，有两个零点时，的取值范围是.