贵州省六盘水市第四中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

六盘水市第四中学2023-2024学年度下学期第一次月考试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.若集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.下列函数的最小正周期为且为奇函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的中心角的弧度数是（ ）
A.1 B.2或4 C.4 D.1或4
6.已知，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，为上一点，且，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上，贯穿全场的雪花元素为观众带来了一场视觉盛宴，象征各国，各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界（如图①），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图②）.已知正六边形的边长为2，若点是线段上的动点（包括端点），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知，，则下列结论正确的有（ ）
A. B.与方向相同的单位向量是
C. D.
10.已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A.
B.函数的图象关于点成中心对称
C.函数在上单调递增
D.若，则的最小值为
11.下列结论正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，的最小值为2
C.当时，的最小值是5
D.设，，且，则的最小值是
12.下列说法不正确的是（ ）
A.已知，，若，则组成集合为
B.不等式对一切实数恒成立的充要条件是
C.命题:，为真命题的充要条件是
D.不等式解集为，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.求值：__________.
14.设，为单位向量，且，则__________.
15.已知函数是偶函数，则__________.
16.已知，函数在上单调递减，则实数的取值可以是__________.（填写一个正确答案即可）
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知，且是第三象限角.
（1）求和的值；
（2）求的值.
18.（12分）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点.记，.
（1）请用，表示向量；
（2）若，设，的夹角为，若，求证：.
19.（12分）如图所示，某地夏天从8~14时的用电量变化曲线近似满足函数.
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式.
20.（12分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值.
21.（12分）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为（），北岸上的点在点的正北方向.
（1）若游船沿到达北岸点所需时间为6min，求的大小和的值；
（2）当，时，游船航行到北岸的实际航程是多少？
22.（12分）已知函数（为常数，且，）.请在下面四个函数：①，②，③，④，中选择一个函数作为，使得具有奇偶性.
（1）请写出表达式，并求的值；
（2）当为奇函数时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
（3）当为偶函数时，请讨论关于的方程解的个数.
参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D D C C D A D A
8、【答案】A
【详解】
如图，以正六边形的中心为坐标原点，方向为轴正方向，建立直角坐标系.因正六边形边长为2，故得：，，，，
设点，，则得：，故，
于是，，
则：，
因，故得：，即：.故选：A.
二、多选题
9 10 11 12
ABC BD AD ABCD
三、填空题
13. 14.1 15. 16.内任取一个
四、解答题：
17.（1），
（2）
18.【答案】（1），由题意得，
所以.
（2）由题意，.
∵，，∴.
∴，
∴.
19.【答案】解：（1）最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.
（2）观察图象可知从8~14时的图象是的半个周期图象，
∴，.
∵，∴.
∴.
将，代入上式，又∵，∴解得.
∴所求解析式为，.
20.【答案】（1），
（2），函数减区间为，
，
21.【答案】（1），（2）
【解析】（1）设游船的实际速度为.
由，，得，.
如图所示速度合成示意图，由，得，.
所以的大小为，的值为.
（2）当，时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，由向量数量积运算得：
.∴.
在中，，从而.
所以.
故游船的实际航程为.
22.【答案】（1）若选①，，则，该函数的定义域为
若函数为奇函数，则，不合乎题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，化简可得，
则不为常数，即函数不可能为偶函数，不合乎题意；
若选②，的定义域为，所以，函数的定义域为，
此时，函数为非奇非偶函数，不合乎题意；
若选③，，则.
若函数为奇函数，则，不合乎题意；
若函数为偶函数，则，
由，可得，
整理可得，
则不为常数，不合乎题意.
选④，，，
当为奇函数，则，即，可得；
当为偶函数，则，则，可得；
（2）当为奇函数时，，，则，
由于函数在上为增函数，函数在为减函数，
所以，函数在上为增函数，则，
若对于任意的，都有成立
，
设，，
任取、，且，即，
则，
∵，则，，可得，即，
所以，函数在上为增函数，所以，，∴.
所以的取值范围是；
（3）当为偶函数时，，，
令，当且仅当时，等号成立，
则，，
又在单调递增，所以.
①当，此时方程无解；
②当，存在唯一解，
又因为为偶函数，不妨设，
，
因为，则，，所以，，∴，
所以在单调递增，在单调递减，
（ⅰ）当时，，此时方程有唯一解；
（ⅱ）当时，，此时方程有两个解；
下证必要性：令，该函数的定义域为，
，则为偶函数，在单调递增，
，，
所以在有一个零点，
又因为函数是偶函数，则函数在也有一个零点，
所以当，时原方程一共有两个解.