四川省宜宾市珙县中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（含答案）

珙县中学校2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，向量，且，则（ ）
A． B． C．3 D．
3．展开式中的系数为（ ）
A．45 B． C． D．
4.圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）
A．0.45 B．0.6 C．0.75 D．0.8
6．若随机变量，且，则=（ ）
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
7.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（ ）
A．2 B． C． D．
8．从5名候选人中选派出3人参加A，B，C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方案有(　　)
A．36种 B．48种
C．56种 D．64种
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有甲 乙 丙等8名学生排成一排照相，计算其排法种数，在下列答案中正确的是（ ）
A．甲排在两端，共有种排法
B．甲 乙都不能排在两端，共有种排法
C．甲 乙 丙三人相邻（指这三个人之间都没有其他学生），共有种排法
D．甲 乙 丙互不相邻（指这三人中的任何两个人都不相邻），共有种排法
10．在的展开式中,下列说法正确的是( )
A．常数项是 B．第四项和第六项的系数相等
C．各项的二项式系数之和为 D．各项的系数之和为
11.两数 1,9 的等差中项是 , 等比中项是 , 则曲线 的离心率可能是 ( )
A. B. C. D.
12．下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　）
A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X
B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知二项式的展开式中只有第4项的二项式系数最大，且展开式中各项的系数和为64，则正数的值为 .
14．已知随机变量，若E（X）=2，则=______．
15．已知数列满足，，则______.
16．某观光旅游团计划在春节期间，安排游人去某地的甲、乙、丙、丁等六个小镇游览，每个小镇游览一天，连续游览六天.若小镇甲不排在首末两天，乙、丙、丁三个小镇排在相邻的三天，则不同的游览顺序方案共有 种.
四、解答题 ：17小题10分，18-22每小题12分，共计70分
17. 已知圆内有一点， 过的直线交圆于、两点．
（1）当为弦的中点时， 求直线的方程;
（2）若圆与圆相交于、两点， 求直线的方程及．
18.已知是以1为首项的等差数列，是以2为首项的正项等比数列，且满足.
(1)求与的通项公式；
(2)求的前项和.
19. 第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．
（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；
（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．
20．（本小题满分17分）如图，在四棱锥P—ABCD中，平面平面ABCD，，，M为棱PC的中点．
（1）证明：平面PAD；
（2）若，
求二面角P—DM—B的余弦值；
21. 某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
22. 已知椭圆的离心率为，且左顶点A与上顶点B的距离.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过坐标原点的直线交椭圆于P，Q两点两点不与椭圆上、下顶点重合），当的面积最大时，求的值.
数学答案
一、选择题　
　1.B２.A３.C４.D５.C６.A７.D８.B
二、多选题　
　９.A、D10.A、C11.A、B12.A、C、D
三、填空题
13. 3 14. 12 15. -5 16. 72
四、解答题
17.答案：（1）
（2）直线的方程为，
小问1解析：
解：因为弦中点，由垂径定理得，
因为直线的斜率为，故直线的斜率为，
故直线的方程为，即.
小问2解析：
解：将圆的方程与圆的方程作差，可得，
即直线 的方程为 ，
圆心到直线的距离，
由垂径定理得.
19. 答案：（1）.
（2）.
小问1解析：
记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，
则，，
故
小问2解析：
设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，
,,
,
,
故.
21.（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得的分布列为
0 1 2 3
所以.
22. 答案：（1）
（2）
小问1解析：
设椭圆的半焦距为，由题意，得，可得.又，解得.
所以椭圆的标准方程为.
小问2解析：
设点到直线的距离为.
①直线的斜率不存在时.
设直线的方程为，且，则，
所以，当时等号成立.即当时，的面积最大，
此时，.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，
由消去并整理可得.
由题意知.
由韦达定理，，
则.
又，所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以当，且）时，的面积最大.
此时
.
综上所述，当的面积最大时，.