湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期4月联考数学
班级：____________ 姓名：____________ 准考证号：______________
（本试卷共6页，22题，考试用时120分钟，全卷满分150分）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．若直线与直线互相垂直，则的值为
A． B． C． D．
3．若函数，则函数在处的切线方程为
A． B．
C． D．
4．平行六面体中，为的中点，设a，b，c，用a，b，c表示，则
A．abc B．abc
C．abc D．abc
5．已知函数，若的值域是，则的值为
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为，直线与抛物线在第一象限交于点，则
A． B． C． D．
7．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第行黑圈的个数为，白圈的个数为，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．
8．函数，则方程解的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，.
9．对于实数a，b，c，下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
10．已知直线，圆的方程为，则下列表述正确的是
A．当实数变化时，直线恒过定点
B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为
C．当时，圆关于直线对称
D．当时，直线与圆没有公共点
11．双曲线的光学性质为：，是双曲线的左 右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过（如图1）；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分（如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是
图1 图2
A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，的面积为
C．当时，若，则双曲线的离心率为
D．存在点，使双曲线在点处的切线经过原点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．某企业有甲、乙两个工厂共生产一精密仪器1000件，其中甲工厂生产了560件，乙工厂生产了440件，为了解这两个工厂各自的生产水平，质检人员决定采用分层抽样的方法从所生产的产品中随机抽取75件样品，已知该精密仪器按照质量可分为A，B，C，D四个等级．若从所抽取的样品中随机抽取一件进行检测，恰好抽到甲工厂生产的A等级产品的概率为，则抽取的B，C，D三个等级中甲工厂生产的产品共有__________件．
13．函数的最小值为__________．
14．已知数列的前项和为，，，对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知向量m，n，函数m·n．
（1）求的单调递减区间；
（2）中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，的面积为，求的值．
16．已知是等差数列，，，数列的前项和为，且．
（1）求、的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
17．如图1所示，梯形中，，，为的中点，连结交于，将沿折叠，使得（如图2）．
（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
18．已知椭圆，、分别为椭圆的左 右焦点，为椭圆上的任一点，的周长是，当，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于另一点．已知被圆截得的弦长为，求的面积．
19．已知函数．.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，证明：对任意的，．高二数学试卷参考答案
1.D 【解析】集合，
.所以.
故选：D
2.D 【解析】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得.
故选：D
3.B 【解析】因为函数，所以，
，又，所以切点为，求得函数在处的切线方程为，即.
故选：B
4.A 【解析】依题意
故选：A．
5.C 【解析】当时，，因为的值域是，又在上单调递减，所以
.
故选：C
6.B 【解析】由题意得,，
直线与抛物线在第一象限交于点
，解得，
由于在第一象限，故取横坐标为1，则.
故选：B
7.D 【解析】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，
∴，
又∵;
;
;
;
.
故选：D
8.C 【解析】 ，函数定义域为，
，
令，解得或；令，可得或，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，取极大值；当时，取极小值；
因此，函数的大致图像如图所示，
因为，所以与的图像有2个交点，可知方程有2个解.
故选：C
9.BD 【解析】
对于A选项,若，当时，，故A错误；
对于B选项，由条件，利用基本不等式可得，故B正确；
对于C选项,若，则，故C错误；
对于D选项,因为，由指数函数的单调性可知，故D正确；
故选：BD
10.ACD 【解析】对于A选项，由直线的方程，可化为,直线恒经过定点，故A正确；
对于B选项，因直线与平行，则直线方程为：．则两条直线的距离为，故B错误；
对于C选项，圆C的方程为，即圆C的标准方程为，所以圆心，当，即 时，直线经过圆心，所以圆C关于直线对称，故C正确；
对于D选项,当时,圆心到直线的距离，所以直线与圆C没有公共点，故D正确;；
故选：ACD
11.ABC 【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为，
对于A选项，因为直线与双曲线有两个交点，所以，故A正确；
对于B选项，由双曲线的定义知，，
若，则
因为，
所以，
解得，所以,
故B正确；
对于C选项,当时，因为，，，所以，求得，故C正确；
对于D选项，假设双曲线C在点处的切线经过原点，因为平分，由角分线定理知，,所以,又，所以假设不成立.
故D错误；
故选：ABC.
12.27 【解析】由分层抽样原则知：从甲工厂抽取了件样品，
设抽取甲工厂生产的等级产品有件，则，解得：，
抽取的三个等级中，甲工厂生产的产品共有件.
故答案为：.
13.【解析】∵函数，
∴，令，得，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴f（x）在处取极小值，也是最小值，
∴．函数最小值为.
故答案为：.
14. 【解析】数列中，得
当
累加得，
，则，
当时符合上式，则，
所以
对于任意的，不等式，
即恒成立，
∴，
设，
可得，
即有，解得，
则实数t的取值范围是．
故答案为：
15.【解析】（1）因为 ……3分
所以，,
解得， …………5分
所以的单调递减区间为． …………6分
（2）因为，所以．
因为，所以，所以，
所以， …………8分
因为的面积为，
所以，所以 …………10分
由余弦定理得
…………13分
16.【解析】（1）由已知得，所以，
故 …………3分
，①
，②，
①②得，即 …………5分
数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
． …………7分
（2），则
…………9分
将两式相减得：
…………12分
所以. …………15分
17.【解析】（1）连接，则都是正三角形，四边形是菱形，
所以， ， …………2分
且,又，
， …………4分
所以面，
又因为面，所以； …………7分
（2）由（1）知两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，,，，，，，, …………9分
设平面的法向量为，，
令，则，
平面的法向量为，，
令，则 …………12分
设平面与平面的夹角的大小为，
， …………14分
所以平面与平面的夹角的余弦值为. …………15分
18.【解析】（1）由椭圆的性质可知，， …………2分
解得， …………3分
所以椭圆方程为 …………5分
（2）由题意知直线l的斜率不为0，由（1）知（1，0），设直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程整理得：
，
， …………8分
所以
， …………10分
圆到的距离， …………12分
被圆截得的弦长为得：，解得，
所以， …………15分
所以． …………17分
19.【解析】（1）函数…1分
当时，恒成立，所以在上单调递增； …………2分
当时，令，此时单调递减，
令，此时单调递增. …………4分
综上可得：当时，的增区间为，无减区间；
当时，的增区间为，减区间为. …………6分
（2）当时，
要证明，
只需证明，设， …………8分
则问题转化为证明对任意的，，
因为，
令，则显然是增函数，且
，
所以存在唯一，使得，即，
所以得 …………11分
容易知道该方程有唯一解，不妨设为，则满足，
当变化时，和变化情况如下表
﹣ 0 +
递减 递增
， ………15分
由在上单调递减，可知.
因此不等式得证． …………17分
