四川省绵阳市三台中学校2023-2024学年高三下学期第二学月测试文科数学试题（含答案）

秘密★启用前【考试时间：2024年3月26日下午14：4016：40】
三台中学校2023-2024学年高三下学期第二学月测试
数学（文）
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共6页；答题卡共2页.满分150分，考试时间150分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的学校 班级 姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用05毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸 试题卷上答题无效.
3.考试结束后将答题卡收回.
第I卷（选择题，共60分）
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为纯虚数，则实数的值为（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知点满足不等式组，则的最小值为（ ）
A.-3 B.-1 C.5 D.7
5.已知命题：若，则；命题，不等式恒成立，则下列命题是真命题的是（ ）
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.2 B. C. D.
7.已知平面直角坐标系中，椭圆的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则陏圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在正三棱柱中，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
9.在区间上随机取一个实数，使得成立的概率是（ ）
A. B. C. D.
10.设圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线的距离为3，则实数（ ）
A.2 B.4 C.26 D.41
11.已知函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A.-3 B.0 C.3 D.6
12.已知函数，则（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题，共90分）
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上.
13.已知向量，若，则__________.
14.已知圆锥的母线长为5，侧面积为，则此圆锥的体积为__________（结果中保留）.
15.在中，，则外接圆半径为__________.
16.已知函数的最小正周期为的图像关于点对称，.若在上存在最大值2，则实数的最小值是__________.
三 解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22 23为选考题，考生根据要求作答.
17.随着科学技术飞速发展，科技创新型人才需求量增大，在2015年，国家开始大力推行科技特长生招生扶持政策，教育部也出台了《关于“十三五”期间全面深入推进教育信息化工作的指导意见（征求意见稿）》为选拔和培养科技创新型人才做好准备.某调研机构调查了两个参加国内学科竞赛的中学，从两个中学的参赛学员中随机抽取了60人统计其参赛获奖情况，并将结果整理如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次
A中学 11 6
B中学 34 9
（1）试判断是否有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关？
（2）用分层抽样的方法，从样本中获得区前三名及以上名次的学生中抽取5人，再从这5人中任选3人进行深度调研，求所选的3人中恰有2人来自中学的概率.
附：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
18.如图，多面体中，四边形为菱形，.
（1）求证：平面平面；
（2）当时，求三棱锥的体积.
19.已知数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）在，与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若，求数列的前项和.
20.已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.
（1）求的方程；
（2）点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.
21.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围.
请考生在22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目记分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.[选修4-4：极坐标与参数方程]
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于点，且，求的值.
23.[选修4-5：不等式选讲]
已知.
（1）求的解集；
（2）记的最小值为，且，求证：.
三台中学校2023-2024学年高三下学期第二学月测试
数学（文）参考答案
1-5CADBA 6-10.DDAAC 11-12AB
13.-4 14. 15.3 16.
12.B 【详解】因为函数的定义域为，
又，所以为偶函数，当时，任取，
，
即，所以在上为减函数，因为，
所以，即，
设，则，
，若，则，所以，
因为，所以，
又，即，
所以，即，故选：B.
16. 【详解】，即，
又，
当时，，因为在上存在最大值2，
所以，解得，即.故答案为：
17.（1）没有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关（2）
【详解】（1）补全列联表如下：
未获得区前三名及以上名次 获得区前三名及以上名次 总计
A中学 11 6 17
中学 34 9 43
总计 45 15 60
所以，
故没有的把握认为获得区前三名及以上名次与所在的学校有关.
（2）由题知，用分层抽样抽取的5人中，来自中学的有2人，记为，来自中学的有3人，记为，从这5人中任选3人进行深度调研，所有的结果有：，共10种，其中恰有2人来自中学的结果有，共6种，故所求概率.
18.（1）证明见解析（2）
【详解】（1）四点共面四边形为菱形，，
平面平面，
平面平面平面；
（2）因为平面平面，所以，
又因为平面，故平面，
又因为互相平分，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
所以，
又因为，所以三棱锥的体积为.
19.（1）（2）
【详解】（1）因为，当时，解得，当时，所以，即，所以，
即数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以.
（2）因为，所以，
所以，则，
所以.
20.（1）；（2）证明见解析.
【详解】1）设，由，得，
解得，即，而曲线的渐近线方程为，
由点在的渐近线上，得，即，因此，所以的方程为.
（2）由（1）知，设直线为，
由消去得：，
则，
，由三点共线，得，同理，
因此
，
所以的中点为定点.
21.（1）；（2）.
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，
求导得，
当时，，由，得，由，得，
则函数在上递增，在上递减，函数只有极大值，不合题意；
当时，由，得或，
①若，即，由，得或，由，得，
函数在上递增，在上递减，函数的极大值为，极小值为，符合题意；
②若，即，由，得或，由，得，
则函数在上递增，在上递减，因此函数的极大值为，极小值为，符合题意；
③若，即，由在上恒成立，得在上递增，
函数无极值，不合题意，所以的取值范围为.
22.（1）（2）
【详解】（1）由得，将代入可得即
（2）将曲线的参数方程带入曲线得：，即设两点对应的参数分别为，则，所以异号，
23.（1）或（2）证明见解析
【详解】（1）当时，，解得
当时，，解得当时，，解得
当时，，解得综上所述，的解集为或
（2）由已知可得，所以当时，的最小值为.
，当且仅当取等，令，则
当且仅当取等，此时.