四川省绵阳市三台中学校2023-2024学年高二下学期第一次教学质量检测数学试题（含解析）

三台中学校2023-2024学年高二下学期第一次教学质量检测
数学试题
（卷面分值：150分 考试时间：120分钟 ）
注 意 事 项：
1.本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中题卷4页，答卷4页。答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡上。
2.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答卷的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。
3．考试结束后，请将答题卡交回。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．数列的递推公式可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则从1到的平均变化率为（ ）
A．2 B． C． D．
3．已知数列为等差数列，且，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．若，则（ ）
A． B．-2024 C． D．2024
5．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．21 B．18 C．15 D．12
6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ）
A．2022 B．4044 C．2023 D．4046
二、多选题（本大题共4小题，每小5分，共20分．全对5分，部分选对2分，有错选0分）
9．已知数列的前项和公式为，则下列说法正确的是（　　）
A．数列的首项为 B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列 D．数列为递增数列
10．以下叙述不正确的是（ ）
A．若等比数列单调递减，则其公比满足
B．等比数列满足，，则
C．等差数列满足，则
D．公差为负的等差数列满足，当且仅当时其前项和取得最大值
11．下列命题正确的有（ ）
A．已知函数在上可导，若，则
B．
C．已知函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
12．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．比如取正整数，根据上述运算法则得出．猜想的递推关系如下：已知数列满足，，设数列的前 项和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上．）
13．曲线在点在时的切线斜率为 .
14．已知数列的前项和为，若对任意的，且，则 .
15．正项数列共有9项，前3项成等差，后7项成等比，。前项和为，则的值为 .
16．若分别是曲线与圆上的点，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17．等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式：
(2)已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和．
18．已知曲线．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若曲线在处的切线与曲线相切，求的取值．
19．已知数列的前n项和，且的最大值为．
(1)确定常数，并求；
(2)求数列的前15项和．
20．记为等比数列的前项和.已知.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
21．某企业年初在一个项目上投资千万元，据市场调查，每年获得的利润为投资的，为了企业长远发展，每年底需要从利润中取出万元进行科研、技术改造，其余继续投入该项目．设经过年后，该项目的资金为万元．
（1）写出一个递推公式，表示之间的关系，并求证：数列为等比数列；
（2）若该项目的资金达到翻一番，至少经过几年？（，）
22．如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为．
(1)求的值；
(2)求出的通项公式；
(3)设曲线在点处的切线斜率为，求证：．
数学试题参考答案
1．C【分析】观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，由此可以得到递推公式，得出结果.
【详解】数列第一项是1，AB是通项公式的形式，故AB错误；
观察数列可知，数列从第二项起，每一项是前一项的，
所以递推公式为，故C正确，D错误.故选：C.
2．B【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.
【详解】函数从1到的平均变化率为
.故选：B
3．B【分析】利用等差数列的性质即可得解.
【详解】因为数列为等差数列，又，
所以，则，所以.故选：B.
4．A【分析】根据求导公式计算即可.
【详解】，则.故选：A.
5．A【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出
【详解】因为为等比数列的前项和且，
所以成等比数列，即3，6，成等比数列，
所以，所以．故选：A．
6．D【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果.
【详解】
又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，所以其斜率，
所以，解得，所以点P横坐标的取值范围为，故选：D.
7．C【分析】变形得到，利用累乘法得到，故，利用裂项相消法求和得到答案.
【详解】由题意易知，由变形为，故，
所以
，
因为，所以，故，
所以.故选：C
8．D【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解.
【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，
所以，又∵函数，
∴，
令，则，
∴，
∴.故选：D.
9．ABC【分析】利用的关系式，分类讨论与两种情况，求得，从而得解.
【详解】对于A，因为，所以当时，，知A正确；
对于B，当时，，
当时，也满足上式，故数列的通项公式为，故B正确；
对于CD，
所以数列为递减数列，故C正确，D错误.故选：ABC.
10．ABD【分析】分、两种情况讨论，结合递减数列的定义求出的范围，可判断A选项；利用等比中项的性质可判断B选项；计算出的值，可判断C选项；解不等式，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若，则等比数列为摆动数列，不合乎题意，则，
若，则，由，则，
若，则，由，则，A错；
对于B选项，设等比数列的公比为，则，
由可得，B错；
对于C选项，设等差数列的公差为，
则，可得，C对；
对于D选项，因为，由，解得且，
所以，当且仅当或时，数列的前项和取得最大值，D错.故选：ABD
11．CD【分析】根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的导数的运算规则可判断C的正误.
【详解】对于A，，故A错误.
对于B，，故B错误.
对于C，，若，则即，故C正确.
对于D，，故，故，故D正确.
故选：CD.
12．ABD【分析】求出数列的前几项，可得数列中从第4项起以4，2，1循环，然后一一分析判断即可.
【详解】因为数列满足，，
所以
，
所以，所以AB正确，C错误，
因为数列中从第4项起以4，2，1循环，而，
所以，所以D正确，故选：ABD
13．3【分析】求导，将代入导函数即可求解.
【详解】，当时，，故曲线在点在时的切线斜率为3.
故答案为：3
14．10【分析】由已知递推式求得，进而求即可.
【详解】由题设，则.故答案为：10
15. 【分析】设出正项数列成等比数列的后7项的公比，求出及，再分组求和即得.
【详解】正项数列成等比数列的后7项的首项为，设公比为，则，而，解得，于是，显然，
所以.故答案为：
16．【分析】根据题意转化为求曲线上一点到圆心距离的最小值，找出取得最小值时候满足的条件，结合导数计算法则列式求解答案即可.
【详解】设圆圆心为，如下图所示，
由题意可知，取得最小值时，取得最小值，
当垂直于曲线在点处的切线时，最小，设，则对求导得，所以，即，由于时满足上式，且在单调递增，所以有唯一解，
所以，此时，所以故答案为：
17．(1) (2)
【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解方程组即可
（2）由（1）可知，从而利用分组求和即可求出.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意得，解得，
所以．
（2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，
所以，所以
．
18．(1) (2)2
【分析】（1）由导数的几何意义，求出在处的导数值，即直线的斜率，由点斜式方程可得；
（2）先求切线方程，再联立直线与曲线方程，最后由解出.
【详解】（1）因为，又，，
故曲线在处的切线方程：， 即.
（2）因为，则曲线在处的切线方程为：，
又直线与曲线相切，
联立方程消得：，
由题意有，即，解得：.
19．(1)； (2)
【分析】（1）根据题意，求得，结合，即可求得数列的通项公式；（2）由（1）求得，结合，即可求解.
【详解】（1）解：由数列的前n项和，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，
即，解得，所以，
当时，，
当时，（符合上式），所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
且当且时，可得；当且时，可得，
所以数列的前15项和：．
20．(1) (2)
【分析】（1）当时，作差变形得，求得公比为4，再利用求得，利用等比数列通项公式求解即可；
（2）根据（1）求得，再利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）当时，；
当时，，即，
所以等比数列的公比是4，所以，即，得，
故数列是首项为1，公比为4的等比数列，从而.
（2）由（1）知，，故.
则，
，
两式相减得，
，
故.
21．（1）证明见解析； （2）年.
【解析】（1）根据题意可得出，化简得出，利用等比数列的定义可证明出数列为等比数列；
（2）由（1）中的结论求出数列的通项公式，令，解此不等式即可得出结论.
【详解】（1）证明：由题意知．
即，所以．
由题意知，
所以数列的首项为，
所以是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）知数列的首项为，公比为．
所以，所以．当，得．
两边取常用对数得，所以，所以，
因为，所以．即至少经过年，该项目的资金达到翻一番．
22．(1)，； (2)； (3)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，用表示出点的坐标，再代入曲线方程，计算作答.
（2）令为数列的前n项和，利用与表示出点的坐标，代入曲线方程即可得与的关系，再利用递推关系求出通项.
（3）由（2）求出点的横坐标，利用导数的几何意义求出，再利用裂项相消法求和
【详解】（1）依题意，为正三角形，且，观察图象得，而点在曲线上，
即，解得，为正三角形，且，点在曲线上，
，整理得，解得，所以，.
（2）令为数列的前n项和，是正三角形，点，
，于是点在曲线上，
则，即，当时，，
两式相减得：，整理得，
则，而满足上式，因此，，
即数列是首项为，公差的等差数列，，
所以数列的通项公式是.
（3）由（2）知，当时，，
则点的横坐标，显然满足上式，因此，
由求导得，，于是，
当时，，
所以.
【点睛】易错点睛：裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．