山东省菏泽市第二中学西安路校区2023-2024学年高三下学期3月月考数学试题（含解析）

菏泽市第二中学西安路校区高三下学期3月月考数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从某班所有同学中随机抽取人，获得他们某学年参加社区服务次数的数据如下：，，，，，，，，，，这组数据的众数是( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，则的值为
( )
A. B. C. D.
3.的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则( )
A. B. C. D.
4.四羊方尊又称四羊尊为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，则四羊方尊的容积约为( )
A. B. C. D.
5.将甲、乙、丙等名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配人，则甲、乙、丙分到同一个地区的概率为( )
A. B. C. D.
6.辽宁的盘锦大米以粒粒饱满、口感香糯而著称已知某超市销售的盘锦袋装大米的质量单位：服从正态分布，且，若从该超市中随机选取袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数的方差为
( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足，则( )
A. B. C. D.
8.已知动点在直线上，过总能作圆的两条切线，切点为，且恒成立，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知在区间上单调递增，则的取值可能在
( )
A. B. C. D.
10.已知集合，则
( )
A.
B.
C.
D.
11.拋物线的焦点到准线的距离为，经过点的直线与交于两点，则
( )
A. 当时，直线斜率的取值范围是
B. 当点与点重合时，
C. 当时，与的夹角必为钝角
D. 当时，为定值为坐标原点
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.年月日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．在“一带一路”欢迎晚宴上，我国拿出特有的美食、美酒款待大家，让国际贵宾们感受中国饮食文化、茶文化、酒文化．这次晚宴菜单中有“全家福”“沙葱牛肉”“北京烤鸭”“什锦鲜蔬”“冰花锅贴”“蟹黄烧麦”“天鹅酥”“象形枇杷”假设在上菜的过程中服务员随机上这八道菜每次只上一道菜，则“沙葱牛肉”“北京烤鸭”相邻的概率为 ．
13.在中，内角 的 对边分别为，且，则的最小值为 ．
14.已知球 的 表面积为，正四面体的顶点，，均在球的表面上，球心为的外心，棱与球面交于点若平面，平面，平面，平面，且与之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，则的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列满足．
求的通项公式；
设，证明：．
16.本小题分
年初，公司发布了新的文生视频大模型：“”，模型可以生成最长秒的高清视频．一经发布在全世界又一次掀起了人工智能的热潮．为了培养具有创新潜质的学生，某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营．选拔考试分为“编程语言”和“数据结构算法”两个科目，考生两个科目考试的顺序自选，若第一科考试不合格，则淘汰；若第一科考试合格则进行第二科考试，无论第二科是否合格，考试都结束．“编程语言”考试合格得分，否则得分；“数据结构算法”考试合格得分，否则得分．
已知甲同学参加“编程语言”考试合格的概率为，参加“数据结构算法”考试合格的概率为．
若甲同学先进行“编程语言”考试，记为甲同学的累计得分，求的分布列；
为使累计得分的期望最大，甲同学应选择先回答哪类问题？并说明理由．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，且，．
证明：平面；
若，点满足，求二面角的大小．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点．
求的离心率；
若的重心为，点，求的最小值；
若的垂心为，求动点的轨迹方程．
19.本小题分
大数据环境下数据量积累巨大并且结构复杂，要想分析出海量数据所蕴含的价值，数据筛选在整个数据处理流程中处于至关重要的地位，合适的算法就会起到事半功倍的效果．现有一个“数据漏斗”软件，其功能为；通过操作删去一个无穷非减正整数数列中除以余数为的项，并将剩下的项按原来的位置排好形成一个新的无穷非减正整数数列．设数列的通项公式，，通过“数据漏斗”软件对数列进行操作后得到，设前项和为．
求；
是否存在不同的实数，使得，，成等差数列？若存在，求出所有的；若不存在，说明理由；
若，，对数列进行操作得到，将数列中下标除以余数为，的项删掉，剩下的项按从小到大排列后得到，再将的每一项都加上自身项数，最终得到，证明：每个大于的奇平方数都是中相邻两项的和．
菏泽市第二中学西安路校区高三下学期3月月考数学试题
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】借助众数定义即可得．
【详解】由数据可知，其中服务次数为的个数最多，故众数为．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】借助向量数量积的运算计算即可得．
【详解】．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】借助三角形面积公式及余弦定理计算即可得．
【详解】，由，故，又，
故，，由余弦定理可得：
，
即．
故选：．
4.【答案】
【解析】【分析】根据台体的 体积公式运算求解．
【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为．
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】先求出将甲、乙、丙等名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配人共有多少种分法，再求出甲、乙、丙分到同一个地区的分法数，根据古典概型的概率公式，即可求得答案．
【详解】将甲、乙、丙等名志愿者分到三个地区，每个地区至少分配人，
则有人分到一个地区，分配方法共有种，
其中甲、乙、丙分到同一个地区的分配方法有，
故所求的概率为，
故选：
6.【答案】
【解析】【分析】由题意根据正态分布的对称性求出的值，确定质量在的盘锦大米的袋数，根据二项分布的方差公式，即可求得答案．
【详解】由题意知某超市销售的盘锦袋装大米的质量单位：服从正态分布，
且，故，
从该超市中随机选取袋盘锦大米，则质量在的盘锦大米的袋数
故，
故选：
7.【答案】
【解析】【分析】赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案．
【详解】中，令得，
，
故，
故，
其中，
，
，
，
，
上面个式子相加得，
，
令得，
中，令得，
故．
故选：
8.【答案】
【解析】【分析】设，，然后得到恒成立，进一步转化为最短即为点到直线的距离，计算即可．
【详解】设，则，
恒成立，即，则恒成立，
最短即为点到直线的距离，则，解得或．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】借助辅助角公式可将函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得的范围．
【详解】，
当，由，则，
则有
解得
即，，
有，，即，即或，
当时，有，时，有，
故的取值可能在或．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】求出集合，根据集合的运算即可判断，；结合，可判断；由，结合判别式，可求得的范围，即可判断．
【详解】由题意得，
故，， A错误，B正确；
由于，故，则， C正确；
若，则能取到所有的正数，
即，则或，
即， D正确，
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】根据条件，得到，，再结合各个选项的条件，联立直线与抛物线方程，逐一分析判断，即可求出结果．
【详解】依题意可得，
对于选项A，当时，设直线的方程为，代入，
得，则，得到且，
所以，故选项 A错误，
对于选项B，当点与点重合时，直线的方程为，代入，
得，设，
则，
则，所以选项 B正确，
当时，直线的方程为，代入，
得，则，，易知异号，所以，则，
所以，得到，所以选项正确，
又当时，在内，则，
又三点不可能共线，所以与的夹角必为钝角，所以选项 C正确，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】根据元素相邻关系进行捆绑并结合排列问题得出结果．
【详解】服务员随机上这八道菜有种排法，
“沙葱牛肉”，“北京烤鸭”相邻有种排法，
所以所求概率．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】【分析】由正弦定理及条件可得，再利用基本不等式即可求出结果．
【详解】由正弦定理得，，
因为，所以，
当且仅当即等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得，然后利用平行平面的性质求得，，再利用余弦定理求得，即可求解的周长．
【详解】设与之间的距离为，设球的半径为，则由题意得，解得，
所以，所以，所以，
由，，三点共线，故存在实数使得，
所以，所以，即，
解得，所以，所以，所以，
又且与之间的距离为，则，，
所以，，所以，
又，所以的周长为．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题考查学生的空间想象能力，解题关键是找到点的位置．本题中应用正四面体的性质结合球的半径，求出边长，利用平行平面的距离，得到所求三角形的边长即可求解．
15.【答案】【小问详解】
由题意可知，当时，；
当时，由得，
故，
也适合该式，故；
【小问详解】
证明：由题意知，
故
，
由于，则，故，
即．

【解析】【分析】根据数列递推式，采用两式相减的方法，即可求得答案；
由的结果可得的表达式，利用裂项相消求和的方法，即可证明结论．
16.【答案】解：
由题意的所有可能取值为，，，
所以，，
，
所以的分布列为

甲同学选择先回答“编程语言”考试这类问题，理由如下：
由可知，
甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，
则的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为

，
所以，
所以甲同学选择先回答“编程语言”考试这类问题．

【解析】由已知可得的所有可能取值，分别计算概率即可求解；
设甲同学先进行“数据结构算法”考试，记为甲同学的累计得分，求解的分布列，分别计算，的期望，比较大小，即可求解．
17.【答案】【小问详解】
过作于点，平面平面，且平面平面，平面，
故平面又平面，．
又，，平面，平面，
所以平面，
【小问详解】
由平面，平面，故，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
故，，所以，
，
设平面的法向量，
则，令有，故，
平面的法向量，
则，
又二面角所成角为锐角，
二面角所成角的余弦值为，角的大小为．

【解析】【分析】由面面垂直的性质定理得证线面垂直后可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明结论成立；
建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．
18.【答案】解：
因为双曲线经过点，所以，解得，
所以的离心率，
易知设．
因为的重心为，所以，解得
因为 ，所以，即．
因为不共线，所以且
所以的轨迹不含两点．
故，当且仅当时，等号成立，
即的最小值为．
因为为的垂心，所以，
设，
当直线或的 斜率为时，点的坐标为或，
此时点与点重合，不合题意，舍．
当直线或的斜率不为时，直线与的斜率存在，
则，
由知，则，
则．
因为，所以，
，则，得，
则，因为构成三角形，故不能在轨迹上，
综上，动点的轨迹方程为去除点

【解析】将点代入双曲线的方程求出值，即可求得的离心率；
根据三角形的重心公式求得动点的轨迹方程，根据两点间距离公式求出的最小值；
根据求动点的轨迹方程．
19.【答案】解：
由，知：当时，；
当时，故，，
则，；
假设存在，由单调递增，不妨设，，，，，
化简得，，，
，，
与“，且，”矛盾，故不存在；
由题意，，则，，，
所以保留，，则，，，
又，，，，，
将，删去，得到，则，，
，，，
即：，，，
即：
记，下面证明：，
由，，，，
时，，，
；
时，，，
；
时，，，
；
时，，，
，
综上，对任意的，都有，原命题得证．

【解析】结合题意可得，借助等比数列前项和公式计算即可得；
借助反证法，假设存在，结合等差数列的性质得到与假设矛盾之处即可得；
借助题意，计算出后，可得，，即可得，，再得到，，
即可得，设出，从而证明，分、、、逐个证明即可得．
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于由题意得到的通项公式后，设出，从而证明，此时需分、、、逐个证明．