2023-2024学年湖南省株洲十三中高一（下）开学数学试卷(含解析）

2023-2024学年湖南省株洲十三中高一（下）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把集合用列举法表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若，，是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.设，则，，的大小关系( )
A. B. C. D.
6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量．则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为( )
A. B. C. D.
7.设函数，若对任意都有成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.下列命题中，真命题的是( )
A. ，是的充分不必要条件
B. “”是“”的充要条件
C. 函数的最小值为
D. 命题“，”的否定是“，”
11.已知函数，则( )
A. 函数为偶函数
B. 曲线的对称轴为，
C. 在区间单调递增
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，，用表示，中的较小者，记为，则函数的最大值为______．
13.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是______．
14.已知集合，，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：
；
已知且，，求的值．
16.本小题分
已知函数．
根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减；
若对，，都有恒成立，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若不等式的解集为空集，求的取值范围；
若，的解集为，求的最大值．
18.本小题分
天气渐冷，某电子设备生产企业准备投入生产“暖手宝”预估生产线建设等固定成本投入为万，每生产万个还需投入生产成本万元，且据测算，若该公司年内共生产该款“暖手宝”万只，每只售价元并能全部销售完．
求出利润万元关于年产量万个的函数解析式；
当产量至少为多少个时，该公司在该款“暖手宝”生产销售中才能收回成本；
当产量达到多少万个时，该公司所获得的利润最大？并求出最大利润．
19.本小题分
对于函数，，，如果存在实数，，使得，那么称函数为与的生成函数．
已知，，，是否存在实数，，使得为与的生成函数？若不存在，试说明理由；
当，时，是否存在奇函数，偶函数，使得为与的生成函数？若存在，请求出与的解析式，若不存在，请说明理由；
设函数，，，，生成函数，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题以集合的表示方法转换为载体考查了特殊数集的含义，正确理解自然数集的定义是解答的关键．
根据表示自然数非负整数将已知中集合用列举法表示后，可得答案．
【解答】
解：表示自然数，
故集合
故选：．
2.【答案】
【解析】解：角的终边与单位圆交于点，
，，，
．
故选：．
根据已知角的终边与单位圆交于点，结合三角函数的定义即可得到的值．
本题考查任意角的三角函数的定义，本题是基础题，解答关键是熟悉任意角的三角函数的定义，单位圆的知识．
3.【答案】
【解析】解：，，是任意实数，且，
选项A，如，则选项A不成立，
选项B，如，则选项B不成立，
选项C，如，则选项C不成立，
选项D，根据增函数，则，选项D正确，
故选：．
运用不等式的性质直接求解．
本题考查了比较两数大小的方法，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：根据题意，函数，其定义域为，
，
所以为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，排除选项A，．
因为，排除选项B．
故选：．
根据题意，先判断函数的奇偶性，排除选项A，再通过，排除选项B即得解．
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断和函数值的计算，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
又在上单调递增，故，，
，
故．
故选：．
采用中间值和指数函数和对数函数单调性比较大小．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数，
当一条鲑鱼静止时，，此时，则，耗氧量为；
当一条鲑鱼以的速度游动时，，此时，
所以，
则，即耗氧量为，
因此鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为．
故选：．
根据题中函数关系式，令和，分别求出对应的，即可得出结果．
本题考查了对数型函数的应用及对数的基本运算，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对任意都有，
是最小值，是最大值；
的最小值为函数的半个周期，
，
的最小值为，
故选：．
由已知可知是中最小值，是值域中的最大值，它们分别在最高和最低点取得，它们的横坐标最少相差半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．
本题是对函数图象的考查，我们只有熟悉三角函数的图象，才能解决好这类问题，同时，其他的性质也要借助三角函数的图象解决，本章是数形结合的典型．
8.【答案】
【解析】解：由题，
即，
化简得或，
因为，所以，
．
故选：．
根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案．
本题考查两角和与差的正切公式、倍角公式的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对，的定义域为，的定义域为，定义域和解析式都相同，两者是同一函数，对．
对，的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一函数，错．
对，的定义域为，的定义域为，且函数解析式相同，则为同一函数，对．
对，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，错．
故选：．
运用同一函数的定义依次判断即可．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目．
10.【答案】
【解析】解：对于，当，时，，但是当时，得到，不一定成立，例如，，
故，是的充分不必要条件，故A正确；
对于，若，则，若，则，所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
对于，，等号成立的条件是，解得：，不成立，
所以等号不成立，
所以函数的最小值不是，故C错误；
对于，命题“，”的否定是“，”，故D正确．
故选：．
利用充分性与必要性判断的正确性；根据基本不等式判断；根据全称命题与存在命题的关系判断的正确性．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：
，
即，
对于，，易知为偶函数，所以A正确；
对于，由的对称轴方程，故B错误；
对于，，单调递减，则单调递增，故C正确；
对于，，则，所以，故D错误．
故选：．
利用两角和的正弦公式、余弦公式化简，再根据三角函数的性质逐项判断即可．
本题考查两角和与差的三角函数，考查正弦函数的单调性、对称性及最值的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查函数最值的求法，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．
画出函数图像，找较低图像的最高点即可得解．
【解答】解：画出两函数图像可得，函数与的交点为，，
所以，
所以．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】解：由题意关于的不等式的解集是，可得，且，
可变为，即得，
，或，
不等式的解集是
故答案为：．
由题意得到可得，且，则不等式，解得即可．
本题考查一元二次不等式的解法，求解问题的关键是根据不等式的解集是，解出参数，所满足的条件，再根据一元二次不等式的解法求出不等式不等式的解集．
14.【答案】
【解析】解：由，故A，
由，得，
故有，即，即，
即的最小值为．
故答案为：．
由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：原式．
，
由可得，而，
故或．
【解析】利用指数幂的运算性质和对数的运算性质计算即可；
利用诱导公式可求，根据结合可求的值．
本题主要考查了指数幂的运算性质及对数运算性质的应用，还考查了诱导公式的应用，属于基础题．
16.【答案】证明：设，，，
则，
因为，，，故，，即，
故，故，故在区间上单调递减．
设，，，则，
因为，，，故，，即，
故，故，故在区间上单调递增．
由可得在区间上单调递减．
故在区间上，，因，
故，故．
故实数的取值范围为．
【解析】根据单调性的定义可证明在区间上单调递减；
根据中函数的单调性可求函数的最值，从而可求实数的取值范围．
本题主要考查了函数单调性的判断，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．
17.【答案】解：若不等式的解集为空集，则，
根据题意，的图象是开口向下的抛物线，关于直线对称，
故，解得，的取值范围是；
根据题意，可得的两根为，，
所以，可知，且，
，
当且仅当，即，时，等号成立．
因此，当，时，的最大值为．
【解析】根据题意可知在上的最大值为负数或，由此列式算出实数的取值范围；
利用韦达定理算出、满足的条件，然后根据基本不等式与“的代换”，算出的最大值．
本题主要考查二次函数的图象与性质、运用基本不等式求最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
18.【答案】解：生产万个产品的总销售额为万元，总成本为万元，
所以利润为；
由题意知，当时，求出的最小值即可，
由，解得万，
所以取个；
当时，是单调增函数，所以；
当时，是二次函数，且图象开口向下，对称轴为，
所以；
当时，，
当且仅当，即时，；
综上，产量达到万个时，利润取得最大值，为万．
【解析】根据利润总销售额总成本，求出利润函数；
令，取的最小值即可；
分段求出利润函数的最大值，比较即可得出结果．
本题考查了分段函数模型应用问题，也考查了函数最值的计算问题，是中档题．
19.【答案】解：因为，
取，
故，
故存在实数，使得为与的生成函数；
若存在，则，故，
所以，
故；
依题意可得，，
令，可得，即或，
令或，
结合图象可知，
当时，的图象与直线只有一个交点，
所以实数的取值范围为．
【解析】根据两角差的正弦化简后可得为与的生成函数；
根据奇函数和偶函数的性质可求与的解析式；
根据生成函数的定义可求，利用对数的运算性质可求得有且只有一个实数，结合二次函数的图象可求参数的取值范围．
本题主要考查了函数与方程的综合应用，考查数形结合，函数的奇偶性的应用，考查计算能力，是中档题．
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