2023-2024学年贵州省新高考协作体高二（下）入学数学试卷（含解析）

2023-2024学年贵州省新高考协作体高二（下）入学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知区间，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.若函数且的图象经过第二、三、四象限，则一定有( )
A. ，且 B. ，且
C. ，且 D. ，且
4.已知非零复数满足为的共轭复数，则的模为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，其中一条渐近线的方程为，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，，则等于( )
A. B. C. 或 D. 或
7.我校高二班周一有语文、数学、英语、物理、化学、体育和班会共节课，已知体育不能排在第一、二节，且数学课的前一节课不能是体育课，班会课只能在第六、七节，则该班周一的排课方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.如图，是正四面体的内切球，球，，，分别是四个角处与球及正四面体的三个侧面都相切的球则球的体积与球，，，的体积之和的比为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 若，则的值为
B. 与方向相同的单位向量
C. 若，则，
D. 与夹角为钝角的充要条件是
10.已知，为两条不同的直线，，两个不同的平面，且，，则( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.
B. 函数为偶函数
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在上的最小值为
12.已知定义在上的函数满足且，则( )
A. B. C. 为偶函数 D. 为周期函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线过点和，则直线的一般式方程为______．
14.已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是______．
15.在的展开式中，含项的系数为______用数字作答．
16.已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且，若点的坐标为，则的值为______过点作的准线的垂线，垂足为，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理、将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计生活垃圾，整理数据后得到如下统计图．
根据统计图信息，完善下表并估计厨余垃圾投放正确的概率；
垃圾箱种类 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
投放量 厨余垃圾
可回收物
其他垃圾
求厨余垃圾分别在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差结果保留整数
18.本小题分
已知与平面直角坐标系两坐标轴都相切的圆过点．
求圆的标准方程；
若圆的半径满足其中为原点，且过点的直线与圆交于，两点，求的最小值．
19.本小题分
如图，四边形为正方形，平面，，．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
20.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，若．
求角；
若平面内一点满足，且，求面积的最大值．
21.本小题分
如图，是棱长为的正方体的中心，是棱的中点，是正方体表面满足的动点．
举出个点的位置要求：这个点不共线，无需说明理由；
记由中所举个点所确定的平面为，求平面与平面所成角的余弦值；
求动点的轨迹的长度．
22.本小题分
设椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点已知面积的最大值为，且点到点的距离等于，其中是椭圆的半焦距．
求椭圆的标准方程．
若线段，的中点分别为，，过点作直线交椭圆于点，，则是否存在满足的直线？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
则．
故选：．
结合补集的定义，即可求解．
本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以．
故选：．
根据二倍角公式变形即可求值．
本题考查三角恒等变换，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：如图所示，图象与轴的交点在轴的负半轴上纵截距小于零，即，且，
，且故选C．
故选：．
观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．
考查指数型函数的图象与性质，本题由函数的图象可以看出其变化趋势，由图象特征推测出参数的范围．
4.【答案】
【解析】解：设，
，
则，即，解得，，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，复数模公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：由双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，
设双曲线的方程为，可得渐近线方程为，
其中一条渐近线的方程为，
则，．
故选：．
由焦点在轴上的双曲线的渐近线方程，可得，的方程，由离心率公式可得所求值．
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：在中，因为，所以，
因为，所以．
因为，
所以．
当时，，
即；
当时，，
即．
综上可知，的值为或．
故选：．
先求得，，而，从而利用和角余弦公式即可求解．
本题考查两角和与差的三角函数及同角三角函数间的基本关系，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：班会课安排在第六节课，则该班周一的排课方法有种，
班会课安排在第七节课，则该班周一的排课方法有种，
故该班周一的排课方法共有种．
故选：．
先将班会课按在第六节课和在第七节课两种情况进行分类，再结合总体剔除法计算即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，设正四面体的顶点在底面的射影为，
则根据对称性可知正四面体的外接球与内切球同球心，且球心在上，
设正四面体的棱长为，正四面体外接球与内切球的半径分别为，，
则易知，，
在中，由勾股定理可得，
，解得，，
：：，正四面体的内切球与的另一个交点为的中点，
过作与底面平行的平面，如图，
则可得正四面体与正四面体相似，且相似比为：，
故正四面体与正四面体的内切球的体积比为：，
又根据对称性可知正四面体的四个顶点所对应的小内切球的体积相等，
故球的体积与球，，，的体积之和的比为．
故选：．
根据正四面体的外接球与内切球的结论，即可求解．
本题考查正四面体的内切球问题，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为向量，，
若，则，即，A正确；
，，，B正确；
若，则，，
故，，，
故，，
由，，
故，，C正确；
若，的夹角为钝角，则且与不共线，
所以且，D错误．
故选：．
由已知结合向量平行的坐标表示检验选项A，结合向量的单位向量检验选项B，结合向量的夹角公式检验选项C，．
本题主要考查了向量平行的坐标表示，向量夹角的坐标表示，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由面面垂直的判定定理即可判断，故A正确；
对于，若，，可得直线与直线可能平行、相交、异面，故B错误；
对于，若，又则，故C正确；
对于，若，，则或，故D错误．
故选：．
由面面垂直的判定定理即可判断，由线面之间的关系即可判断．
本题考查空间线面的位置关系的判断，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：由函数的部分图象，
可得，则，A正确；
，，又，所以，所以为奇函数，B错误；
所以函数的图象关于直线对称，C正确；
时，，所以，D正确．
故选：．
先利用图象求出解析式，再利用正弦型函数的性质的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为定义在上的函数满足且，
令，，可得，所以，故A正确；
令，，可得，又，，所以，故B错误；
令，，可得，所以，
所以函数为偶函数，故C正确；
令，可得，
所以，，
，
所以，即函数为周期函数，且周期为，故D正确．
故选：．
令，，可判断；令，，可判断；令，，可判断；令，可判断．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：，又直线过点，
则直线方程为，一般式方程为．
故答案为：．
根据点斜式可得直线方程．
本题考查直线方程的计算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：当时，不等式为，解集为；
当时，不等式的解集为，
应满足，解得；
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
讨论和时，求出不等式的解集为应满足的条件，即可求出的取值范围．
本题考查了不等式恒成立的应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：的展开式通项公式为：，
令，解得，
故含项的系数为．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由在抛物线上，得，
所以抛物线的方程为，焦点的坐标为，
如图，由抛物线的定义，知，
所以，所以；
如图，延长交准线于点，
因为，所以是的中点，
在中，中线．
故答案为：；．
由题意得到抛物线的方程为，焦点的坐标为，利用抛物线的定义得到，，即可求解，延长交准线于点，利用直角三角形的中线性质即可求解．
本题考查了抛物线的性质，属于中档题．
17.【答案】解：由题意可知，“厨余垃圾”箱中一共有垃圾，“可回收物”箱中一共有垃圾，
所以“其他垃圾”箱中一共有垃圾，
再由扇形图可知，“其他垃圾”箱中厨余垃圾有，可回收垃圾，其他垃圾，
补全表格如下：
垃圾箱种类 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
投放量 厨余垃圾
可回收物
其他垃圾
厨余垃圾投放正确的概率为；
厨余垃圾分别在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量为，，，
平均数为，
所以方差为．
【解析】根据统计图中数据信息求解即可；
利用方差的定义求解．
本题主要考查了统计图的应用，考查了方差的定义，属于基础题．
18.【答案】解：圆过点且圆与两坐标轴均相切．
设圆：，
圆过点，，
又圆两坐标轴均相切，得，且，
则，解得或，
即或者，
即圆的标准方程为或；
若圆的半径满足其中为原点，
即圆的标准方程为，
直线过圆内一定点，
当时，有最小值，
，
的最小值．
【解析】设圆：，由圆过点代入方程，再根据圆与两坐标轴均相切得出，，且，解出，即可得出圆的方程；
直线过圆内一定点，当时，有最小值，由此能求出的最小值．
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：证明：四边形为正方形，
，又平面平面，平面，
平面，
又，同理可得平面，
又，且，平面，
平面平面，又平面，
平面；
由题意易知平面，
到平面的距离为，
又由知平面，
又四边形为正方形，，
到平面的距离等于到平面的距离，
三棱锥的体积为．
【解析】根据面面平行的判定定理与性质，即可证明；
转化三棱锥的顶点，再根据三棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查线面平行的证明，三棱锥的体积的求解，属基础题．
20.【答案】解：因为，由正弦定理可得，
即，
在中，可得或，
可得；
建立平面直角坐标系，以为坐标原点，
，所在是直线分别为，轴，设，，
因为满足，
又因为，所以，当且仅当，
即，时取等号，
即，
所以，
即面积的最大值为．
【解析】由题意及正弦定理可得，在三角形中，由角之间的关系，可得角的大小；
由可建立平面直角坐标系，设，的坐标，由向量的关系，可得的坐标，求出它的模长的不等式，由题意及基本不等式可得的乘积的最大值，进而求出的面积的最大值．
本题考查正弦定理的应用及向量的运算性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：当为四边形中心时，；
当在上，且时，；
当在上，且时，．
以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
因为是的中点，所以，
所以，，
设是平面的法向量．
则，令，得，
由于中所举的三个点不共线，且均满足，
所以平面为与垂直的平面，可取为其法向量，
所以平面与平面所成角的余弦值为：
．
点的轨迹为如图所示的矩形，
所以点的轨迹的长度为．
【解析】当为四边形中心，或当在上，且，或当在上，且时，．
以为原点，，，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成角的余弦值．
点的轨迹为矩形，由此能求出点的轨迹的长度．
本题考查正方体的结构特征、二面角、点的轨迹等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】解：由面积的最大值为，得，即，
由，得，解得，
所以，，
所以椭圆的标准方程为；
由题意，得，，因为直线过点，
所以设直线的方程为，设，，
则，
联立，得，
所以，
因为，
所以，
即，解得，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或．
【解析】由椭圆的性质列方程即可求解；
设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得，再由，代入即可求解．
本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题．
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