2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型五 平行四边形问题课件 24张PPT

(共24张PPT)
类型五　平行四边形问题
函数微技能——分类讨论思想确定动点位置
一阶
例10　如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，连接AC.
探究1：P是平面内一点，找出点P，使得以
A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形；
例10题图①
解：①若AC为平行四边形的边时，AC∥BP，且AC＝BP，在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹);
例10题图①
①解：满足条件的点P如解图①所示；
例10题解图①
【方法总结】二次函数中特殊四边形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为________或__________讨论；以探究1为例，若AC为边时，过点B作BP∥AC，点P可在x轴上方，也可在x轴下方；作图依据：____________________________________________________________；
若AC为对角线时，依据平行四边形对角线互相平分可得作法：____________________________________________________________．
边
对角线
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
取AC的中点D，连接BD并延长至点P，使得DP＝DB.
②若AC为平行四边形的对角线时，BP与AC交于AC的中点，在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)．
例10题图②
②解：满足条件的点P如解图②所示．
例10题解图②
探究2：在抛物线上找一点Q，在x轴上找一点M，使得以A、C、Q、M为顶点的四边形为平行四边形．在图③中画出所有满足条件的点Q、M的示意图(保留作图痕迹)．
例10题图③
满足条件的点Q、M如解图所示．
例10题解图③
设问突破
二阶
例11 如图，抛物线y＝x2＋6x＋5与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为M，对称轴l与x轴的交点为D，与直线AC的交点为E.
一题多设问
(1)点G为x轴上一动点，在抛物线上是否存在点H，使得以A、C、G、H为顶点且AC为对角线的四边形是平行四边形？
若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；
例11题图①
【思维教练】根据平行四边形对边平行且相等的性质即可求得点H坐标，进一步求得点G坐标；
(1)解：存在．
如解图①，过点C作x轴的平行线交抛物线于点H，连接AH，过点C作CG∥AH，与x轴的交点即为点G.
例11题图①
∵抛物线的解析式为y＝x2＋6x＋5，
∴C(0，5)，A(－5，0)，
令y＝5，即x2＋6x＋5＝5，解得x1＝0，x2＝－6，
∴H(－6，5)，∴CH＝AG＝6，∴G(1，0)；
H
G
(2) 点P为直线AC上一动点，在直线AC下方的抛物线上是否存在点Q，使得以B、D、P、Q为顶点且BD为边的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
例11题图②
【思维教练】根据点P在直线AC上，设出点P、Q坐标，列等量关系式yP＝yQ解方程即可；
(2)解：存在．
设直线AC的解析式为y＝kx＋d，
∴代入点A(－5，0)，C(0，5)，
解得 ，
∴直线AC的解析式为y＝x＋5.
∵BD＝2，∴PQ＝2.
设P(p，p＋5)，则Q(p＋2，p2＋10p＋21)．
由题意可知p＋5＝p2＋10p＋21，
解得p＝ 或p＝ ，
∴Q点的坐标为( ， )或( ， )；
例11题图②
【思维教练】分AB为平行四边形的边和对角线两种情况进行讨论，分别求解即可；
(3)点S是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，是否存在点N，使得以A、B、S、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
例11题图③
(3)解：存在．
①当AB为平行四边形的边时，设N(n，n2＋6n＋5)，则S(－3，n2＋6n＋5)，
∵SN＝AB，即|n＋3|＝4，解得n＝1或n＝－7.
∴点N的坐标为(1，12)或(－7，12)；
②当AB为平行四边形对角线时，易得点N与点M重合，
∴点N的坐标为(－3，－4)．
综上所述，符合题意的点N的坐标为(1，12)或(－7，12)
或(－3，－4)；
例11题图③
【思维教练】根据点K、J分别为抛物线和直线AC上的点，设出点K坐标，即可表示出点J坐标，已知KJ∥ME，从而只需KJ＝ME
即可得到平行四边形，再根据K、J点坐标及其相对位置，
列出等量关系式，即可求出点K坐标．
(4)设点K是抛物线上一点，过点K作KJ∥y轴，交直线AC于点J，是否存在点K，使得以M、E、K、J为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
例11题图④
例11题解图②
(4)解：存在．
如解图②，设点K的坐标为(e，e2＋6e＋5)．
∵KJ∥y轴，交直线AC于点J，直线AC的解析式为y＝x＋5，
∴点J的坐标为(e，e＋5)．
当x＝－3时，y＝(－3)＋5＝2，
∴E(－3，2)， ∴ME＝6.
∵ME∥y轴，KJ∥y轴， ∴KJ∥ME，
要使得以M，E，K，J为顶点的四边形为平行四边形，
只需KJ＝ME＝6.
①当点K在点J的下方时，
KJ＝e＋5－(e2＋6e＋5)＝－e2－5e，
则－e2－5e＝6，解得e1＝－2，e2＝－3，
则K1(－2，－3)，K2(－3，－4)(与点M重合，舍去)；
②当点K在点J的上方时，
KJ＝(e2＋6e＋5)－(e＋5)＝e2＋5e，
则e2＋5e＝6，解得e3＝－6，e4＝1，
则K3(－6，5)，K4(1，12)．
综上所述，点K的坐标为(－2，－3)或(－6，5)或(1，12)．
例11题解图②
综合训练
三阶
6. (2023黔东南州26题14分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C(0，－3)，顶点D的坐标为(1，－4)．
(1)求抛物线的解析式；
第6题图
(1)解：∵抛物线交y轴于点(0，－3)，
∴c＝－3，
又∵顶点坐标为(1，－4)，
∴ ＝1，即b＝－2a， ＝－4，
即－3－a＝－4，解得a＝1，
∴b＝－2，
∴抛物线解析式为y＝x2－2x－3； (4分)
第6题图
(2)在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标；
第6题图
【解法提示】根据解析式y＝x2－2x－3可得点A坐标为(－1，0)，
∴AC＝ ，分三种情况：
①当以∠ACE为顶角时，可得纵坐标为 －3或－ －3，
此时点E坐标为(0，－3)或(0，－ －3)；
②当以∠EAC为顶角时，可直接得到E的坐标为(0，3)；
(2)(0， －3)或(0，－ －3)
或(0，3)或(0，－ )；(8分)
第6题图
③当以∠AEC为顶角时，设点E纵坐标为m，
则m2＋12＝(m＋3)2，解得m＝－ ，
∴点E的坐标为(0，－ )，
综上所述，点E的坐标为(0,－3)或(0，－ －3)或(0，3)或(0，－ )．
(3)点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
(3)解：存在．令x2－2x－3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，
∴点A坐标为(－1，0)，点B坐标为(3，0)，以BD为边
作平行四边形，则另一边PQ可利用平移得到，且根据
平行四边形的中心对称性，点Q和点D距离x轴的距离
相等，都为4.
当x2－2x－3＝4时，x1＝1＋2 ，x2＝1－2 ，
第6题图
即点Q的坐标为(1＋2 ，4)，点P的坐标(－1＋2 ，0)
或点Q的坐标为(1－2 ，4)，点P的坐标(－1－2 ，0)．
当x2－2x－3＝－4时，x1＝x2＝1，与点D重合，不能构成平行四边形．
综上所述，点Q的坐标为(1＋2 ，4)，点P的坐标(－1＋2 ，0)
或点Q的坐标为(1－2 ，4)，点P的坐标(－1－2 ，0)．(14分)
第6题图
【一题多解】存在．
∵D(1，－4)，
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右(或向左)平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这点便是点Q，当然此时点D的对应点便是点P，
∴点Q的纵坐标为4，
设Q(t，4)，代入抛物线y＝x2－2x－3得：
t2－2t－3＝4，即t2－2t－7＝0，
解得t1＝1＋2 ，t2＝1－2 ，
此时，Q1(1＋2 ，4)或Q2(1－2 ，4)，
第6题图
如解图，分别过点D、Q1、Q2作x轴的垂线，垂足分别为点F、G1、G2.
∵抛物线y＝x2－2x－3与x轴的右交点B的坐标为(3，0)，D(1，－4)，
∴FB＝PG＝3－1＝2，
∴点P1的横坐标为(1＋2 )－2＝－1＋2 ，
点P2的横坐标为(1－2 )－2＝－1－2 .
综上，点P、Q的坐标为
P(－1＋2 ，0)，Q(1＋2 ，4)，
或P(－1－2 ，0)，Q(1－2 ，4)． (14分)
第6题解图